This thesis considers Small Area Estimation with a main focus on estimation and prediction theory for repeated measures data. The demand for small area statistics is for both cross-sectional and repeated measures data. For instance, small area estimates for repeated measures data may be used by public policy makers for different purposes such as funds allocation, new educational or health programs and in some cases, they might be interested in a given group of population. It has been shown that the multivariate approach for model-based methods in small area estimation may achieve substantial improvement over the usual univariate approach. In this work, we consider repeated surveys including the same subjects at different time points. The population from which a sample has been drawn is partitioned into several subpopulations and within all subpopulations there is the same number of group units. For this setting a multivariate linear regression model is formulated. The aim of the proposed model is to borrow strength across small areas and over time with a particular interest of growth profiles over time. The model accounts for repeated surveys, group individuals and random effects variations. The estimation of model parameters is discussed with a restricted maximum likelihood based approach. The prediction of random effects and the prediction of small area means across time points, per group units and for all time points are derived. The theoretical results have also been supported by a simulation study and finally, suggestions for future research are presented. / <p>The series name Linköping <em>Studies in Science and Technology. Licentiate Thesis</em> in the thesis is incorrect. The correct name is <em>Studies in Science and Technology. Thesis</em>.</p>

This report focuses on an introduction of game theoretical models and how they can be applied in the Swedish housing market. Game theory is a study of mathematical models of human conflicts and cooperation between rational decision makers within a competitive situation. There are several different strategies that a player can use. In this thesis each strategy is assigned to one player. So how will the players behave in a game, and what strategy is the most successful? By using the software MatLab, the authors creates a game where the strategies assigned to each player gets randomly distributed budgets and are randomly selected to place bids during the game. The game is then played 1 000 000 times to see what strategy is the most successful. It is also tested to see what strategy is the most successful if the players have the same budgets. The authors conclude that in practice it is the size of the budget that determines who will win the bidding, hence there are minor differences between the different strategies in how much they pay on average to win. / Denna rapport fokuserar på en introduktion av spelteoretiska mo-deller och hur de kan som kopplas till den svenska bostadsmarknaden. Spelteori är en studie om matematiska modeller för mänskliga konflikter och samarbete mellan rationella beslutstagare i en konkurrensut- satt marknad. Det finns flera olika strategier en spelare kan använda sig av. I denna rapport blir varje spelare tilldelad en strategi. Så frågan ställs hur spelarna kommer att bete sig och vilken av strategierna som är den mest framgångsrika. Genom att använda programvaran Matlab, skapar författarna ett program där varje strategi är tilldelad varje spelare och som helt slumpmässigt får en budget och även blir slumpmässigt valda att spela, d.v.s lägga bud under spelets gång. Spelet spelas därefter 1 000 000 gånger för att se vilken av strategierna som är mest framgångsrik. Det är även testat att se vilken strategi som får bäst resultat om de alla har samma budget. Författarna drar slutsatsen att i praktiken är det storleken på budgeten som bestämmer vem som vinner budgivningen, dock att det även finns mindre skillnader mellan strategierna som bestämmer hur mycket de i genomsnitt får betala när de vinner.

The aim of this work is to create a variant of the RSA classical algorithm, through extensions from the ring of integers Z to two Euclidean domains:the domain of Gaussian integers, Z[i], and the domain generated by p2, Z[p2]. To achieve this purpose, the study of the theory behind both these sets becomes necessary, to ensure that all the properties are preserved when moving into extensions and so that the construction of the algorithm is possible. Moreover, a description of modular arithmetic is needed, to see how modules behave inside these new sets, since they are the most important ingredient for the algorithm.

The aim of this work is to present new contributions to the theory of peaked solitons. The thesis consists of two papers,which are named “Newsolutionswith peakon creation in the Camassa–HolmandNovikov equations” and “Peakon-antipeakon solutions of the Novikov equation” respectively. In Paper I, a new kind of peakon-like solution to the Novikov equation is discovered, by transforming the one-peakon solution via a Lie symmetry transformation. This new kind of solution is unbounded as x → +∞ and/or x → –∞, and has a peak, though only for some interval of time. Thus, the solutions exhibit creation and/or destruction of peaks. We make sure that the peakon-like function is still a solution in the weak sense for those times where the function is non-differentiable. We find that similar solutions, with peaks living only for some interval in time, are validweak solutions to the Camassa–Holm equation, though it appears that these can not be obtained via a symmetry transformation. In Paper II we investigate multipeakon solutions of the Novikov equation, in particular interactions between peakons with positive amplitude and antipeakons with negative amplitude. The solutions are given by explicit formulas, which makes it possible to analyze them in great detail. As in the Camassa–Holm case, the slope of the wave develops a singularity when a peakon collides with an antipeakon, while the wave itself remains continuous and can be continued past the collision to provide a global weak solution. However, the Novikov equation differs in several interesting ways from other peakon equations, especially regarding asymptotics for large times. For example, peakons and antipeakons both travel to the right, making it possible for several peakons and antipeakons to travel together with the same speed and collide infinitely many times. Such clusters may exhibit very intricate periodic or quasi-periodic interactions. It is also possible for peakons to have the same asymptotic velocity but separate at a logarithmic rate; this phenomenon is associated with coinciding eigenvalues in the spectral problem coming from the Lax pair, and requires nontrivial modifications to the previously known solution formulas which assume that all eigenvalues are simple.

No description available.

The trade-off between risk and return for equities has long been a challenge for portfolio and risk managers in order to create financial success and stability. This issue has led to several researchers trying to explain equity returns through various factor models. The capital asset-pricing model (CAPM) formulated by Sharpe (1964), Lintner (1965), and Black (1972) was the first model explaining the relation between cross-sectional returns relative the broad market index. Since then, factor models have evolved and fundamental multiple factor models have been found to successfully explain the risk structure of equities, through linear combinations of firm specific data and market data. In this paper, we implement and analyze a fundamental factor model. The objective is to build a dynamic and robust model that provide portfolio and risk managers with insight of what drives returns and risks of equities and portfolios. A key to understand the advantages of factor models lies in the characteristics of factors and the concept of factor mimicking portfolios, whose return perfectly replicates those of factors. These portfolios are derived through cross-sectional regressions of security returns and standardized exposure towards factors, which results in portfolios with a desired exposure. The model implementation is applied and evaluated for both a European and Swedish estimation universe, and the result indicate that some factor mimicking portfolios yield an excess return relative the market during 2015-01-01 to 2017-01-01.

No description available.

No description available.

Our society is constantly changing. At the beginning of the last century there was industrialization that accounted for the great change, today it is digitization. As part of increased digitalization in schools, the curriculum has been revised to clarify the school's mission in strengthening students' digital skills. The purpose of this study was to investigate how teachers use digital tools today in mathematics education and what perceptions exist about the need for skills development to teach, based on the revised curriculum. In order to answer the purpose of the study, qualitative interviews have been conducted, with ten teachers from three schools. The result shows that all teachers today use digital tools in mathematics teaching and that they mainly use digital tools to vary teaching and increase student motivation. Furthermore, the result shows that the most common areas of use for digital tools in mathematics education are at digital reviews, for skills training, for deepening and for personalization. Although all teachers today use digital tools, the result shows that among the majority of teachers there is an uncertainty and skills development need, to feel safe in teaching based on the revised curriculum. The result also shows that digital skills and interest in digital technology seem to have a strong connection. / Vårt samhälle är i ständig förändringen. I början av förra århundradet var det industrialiseringen som stod för den stora förändringen, idag är det digitaliseringen. Som ett led till ökad digitalisering i skolan har läroplanernarevideratsför att förtydliga skolans uppdrag i att stärka elevers digitala kompetens. Syftet med denna studien var att undersöka hur lågstadielärare använder sig av digitala verktyg idag, samt vilka uppfattningar som finns om behov av kompetensutveckling för att undervisa utifrån den reviderade läroplanen. För att besvara studiens syfte har kvalitativa intervjuer genomförts, med tio lågstadielärare från tre skolor. Resultatet visar att samtliga lärare idag använder sig av digitala verktyg i matematikundervisningen och att de främst använder digitala verktyg för att variera undervisningen och öka elevers motivation. Vidare visar resultatet att frekventa användningsområdena för digitala verktyg i matematikundervisningen är vid digitala genomgångar, vid färdighetsträning, och för individanpassning. Trots att alla lärare idag använder digitala verktyg visar resultatet att det bland flertalet lärare finns en osäkerhet och ett kompetensutvecklingsbehov, för att känna säkerhet i att undervisa utifrån den reviderade kursplanen i matematik. Resultatet visar även att behov av kompetensutveckling och intresse för digital teknik har ett samband.

Historisk sett, har det på den finansiella marknaden skett många olika händelser som skapat finansiella kriser. För att motverka detta har det under senare tid ställts högre och högre krav från tillsynsmyndigheter på finansiella institut som exempelvis banker, när det kommer till dess riskhantering. I det här examensarbetet kommer vi att undersöka en matematisk optimeringsmetod för att utföra ett av de modernare angreppsätten av traditionella stress test, så kallade omvända stress tests. Denna metod kommer appliceras både på enkla linjära portföljer, det vill säga portföljer endast bestående av ”Delta-One”-tillgångar, men även på icke-linjära portföljer som även består av mer komplexa finansiella derivat, vars prisfunktion beror av underliggande tillgångar och andra faktorer. I detta fallet kommer en version av Levenberg-Marquards optimeringsalgoritm att användas för att lösa de optimeringsproblem vår modell ställs inför. Vår omvända stress test-modell kommer ha tre olika startparametrar, antingen från ett givet scenario, en given trolighet eller en given förlustnivå. Modellen kommer sedan kunna returnera två av de tre variablerna förutsatt att den tredje ges som en inparameter. Med hjälp av den här modellen kommer man alltså, till väldigt låg beräkningsmässig kostnad kunna få ett mått för troligheten att ett specifikt rik-scenario inträffar. Dessa scenarion kan sedan analyseras vidare för att hitta potentiella svagheter i ett företags eller förvaltares investeringsportfölj. Syftet med arbetet är vidare att analysera det som modellen genererar och sedermera dra slutsatser kring resultatets pålitlighet. Detta för att kunna säkerställa att modellen kan appliceras i verkligenheten på så sätt bidra till Svenska Handelsbankens utvecklingssarbetet rörande reverse stress testing. I metoden görs antagandet att riskfaktorernas avkastningar är multivariat normalfördelade, och troligheten är kvantifierad baserat på Mahalanobis avstånd. För att beräkna troligheten kan vi använda en koppling som säger att Mahalanobis avstånden för multivariat normafördelade genererade scenarion kommer vara Chi2-fördelade. Förlustfunktionen för modellen är trivial för linjära portföljer, men för icke-linjära portföljer är den beräknad genom en andra gradens Taylorutveckling, där vi approximerat våra egna delta och gamma-känsligheter med hjälp av minsta kvadratmetoden. Resultaten visar att det finns potential med den matematiska modellen som grund till omvända stress test, men även att stora brister och problem kring träffsäkerhet och generaliserbarhet existerar. Vi har funnit att dessa behöver åtgärdas för att göra modellen användbar i verkligheten.