In this thesis, applications of a numerical continuation method to two- and three-dimensional bifurcation problems are presented. The 2D problems are motivated by solar applications. In particular, it is shown that the bifurcation properties of a previously studied model for magnetic arcades depend strongly on the pressure function used in the model. The bifurcation properties of a straight flux model for coronal loops are investigated and compared with the results of linear ideal MHD stability analysis. It is shown that for line-tied boundary conditions, the method for the calculation of the equilibrium sequence determines whether the first or the second bifurcation point coincides with the linear stability threshold. Also, in this thesis, the 3D version of the continuation code is applied for the first time. The problems treated with the 3D code are therefore chosen with the intention to demonstrate the general capabilities of the code and to see where its limitations are. Whereas the code performs as expected for relatively simple albeit nonlinear bifurcation problems, a clear need for further development is shown by more involved problems.

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Dissertation (Ph.D.)-- Worcester Polytechnic Institute. / Keywords: Newton; Picard; periodic solutions; dynamical systems. Includes bibliographical references (p.10-11).

As equações diferencias parciais tem origem na modelagem do problemas nas ciências e engenharia, tais como a equação do calor, equação da onda, equação de Poisson, entre outras. Para muitas destas equações não é tão simples obter uma técnica analítica para achar sua solução e nestes casos é necessário uso de soluções aproximadas obtidas pelo computador. Existem técnicas tradicionais para solução numérica de uma grande classe de equações diferenciais, mas quando esta equação está na forma implícita, muitas destas técnicas já não podem ser aplicadas. Frequentemente as equações diferenciais parciais de segunda ordem tem maior estudo que as equações de primeira ordem sendo uma das razões que os modelos envolvem derivadas de segunda ordem. No caso das equações diferenciais parciais de primeira ordem implícitas a não linearidade em alguns casos não permite determinar uma solução de forma simples. O trabalho desenvolvido faz uma revisão do método das características para estabelecer as condições necessárias e suficientes, que permitam encontrar uma solução, ao mesmo tempo evidencia a complexidade de determinar uma solução clássica. Dentro das aplicações existentes relacionadas com as Equações Diferenciais Parciais Implícitas de Primeira Ordem, podemos mencionar a Equação cinemática e a Equação de Hamilton-Jacobi que podem-se associar com o movimento de partículas. Para a solução de uma Equação Diferencial Implícita de Primeira Ordem o método das características tem uma estrutura de solução que permite resolver a equação de forma analítica e numérica, desde que se verifique o Teorema de Cauchy. O objetivo deste trabalho de mestrado é obter um método numérico para a solução de equações diferenciais parciais de primeira ordem implícitas. Nós propomos um método numérico do tipo previsor-corretor que resolve uma EDP de primeira ordem implícita, utilizando o sistema característico em conjunto com as condições de banda, para reduzir o erro global nas iterações. / Partial differential equations arise in the modeling of problems in science and engineering, such as the heat equation, wave equation, Poisson equation, among others. For many of these equations it is not so simple to obtain an analytical technique to find a solution in these cases and it is necessary to use a computer to obtain approximate solutions. There are traditional techniques for numerical solution of a large class of differential equations, but when this equation is in implicit form, many of these techniques can no longer be applied. Often partial differential equations of second order are more studied than first order equations the reason being that one of the models involve secondorder derivatives. In the case of implicit partial differential equations of first order the non-linearity in some cases does not allow for a solution in simple from to be determined. The work reviews the method of characteristics to establish the necessary and sufficient conditions that will find a solution at the same time demonstrates the complexity of determining classical solution. Within existing applications related to Partial Differential Equations of First Order Implicit, we can mention the textit kinematic equation and textit equation Hamilton-Jacobi that can be associated with the movement of particles. For the solution of a differential equation First Implicit Order the method of characteristics has a solution framework that enables solve the equation analytically and numerically, provided there is the Cauchy theorem. The objective of this master thesis is to obtain a numerical method for the solution of partial differential equations first order implicit. We propose a numerical method of predictor-corrector type that resolves a EDP first implicate order, using the characteristic system in conjunction with the band conditions, to reduce the overall error in iterations.

Newton-Picard methods are iterative methods that work well for computing roots of nonlinear equations within a continuation framework. This project presents one of these methods and includes the results of a computation involving the Brusselator problem performed by an implementation of the method. This work was done in collaboration with Andrew Salinger at Sandia National Laboratories.

As equações diferencias parciais tem origem na modelagem do problemas nas ciências e engenharia, tais como a equação do calor, equação da onda, equação de Poisson, entre outras. Para muitas destas equações não é tão simples obter uma técnica analítica para achar sua solução e nestes casos é necessário uso de soluções aproximadas obtidas pelo computador. Existem técnicas tradicionais para solução numérica de uma grande classe de equações diferenciais, mas quando esta equação está na forma implícita, muitas destas técnicas já não podem ser aplicadas. Frequentemente as equações diferenciais parciais de segunda ordem tem maior estudo que as equações de primeira ordem sendo uma das razões que os modelos envolvem derivadas de segunda ordem. No caso das equações diferenciais parciais de primeira ordem implícitas a não linearidade em alguns casos não permite determinar uma solução de forma simples. O trabalho desenvolvido faz uma revisão do método das características para estabelecer as condições necessárias e suficientes, que permitam encontrar uma solução, ao mesmo tempo evidencia a complexidade de determinar uma solução clássica. Dentro das aplicações existentes relacionadas com as Equações Diferenciais Parciais Implícitas de Primeira Ordem, podemos mencionar a Equação cinemática e a Equação de Hamilton-Jacobi que podem-se associar com o movimento de partículas. Para a solução de uma Equação Diferencial Implícita de Primeira Ordem o método das características tem uma estrutura de solução que permite resolver a equação de forma analítica e numérica, desde que se verifique o Teorema de Cauchy. O objetivo deste trabalho de mestrado é obter um método numérico para a solução de equações diferenciais parciais de primeira ordem implícitas. Nós propomos um método numérico do tipo previsor-corretor que resolve uma EDP de primeira ordem implícita, utilizando o sistema característico em conjunto com as condições de banda, para reduzir o erro global nas iterações. / Partial differential equations arise in the modeling of problems in science and engineering, such as the heat equation, wave equation, Poisson equation, among others. For many of these equations it is not so simple to obtain an analytical technique to find a solution in these cases and it is necessary to use a computer to obtain approximate solutions. There are traditional techniques for numerical solution of a large class of differential equations, but when this equation is in implicit form, many of these techniques can no longer be applied. Often partial differential equations of second order are more studied than first order equations the reason being that one of the models involve secondorder derivatives. In the case of implicit partial differential equations of first order the non-linearity in some cases does not allow for a solution in simple from to be determined. The work reviews the method of characteristics to establish the necessary and sufficient conditions that will find a solution at the same time demonstrates the complexity of determining classical solution. Within existing applications related to Partial Differential Equations of First Order Implicit, we can mention the textit kinematic equation and textit equation Hamilton-Jacobi that can be associated with the movement of particles. For the solution of a differential equation First Implicit Order the method of characteristics has a solution framework that enables solve the equation analytically and numerically, provided there is the Cauchy theorem. The objective of this master thesis is to obtain a numerical method for the solution of partial differential equations first order implicit. We propose a numerical method of predictor-corrector type that resolves a EDP first implicate order, using the characteristic system in conjunction with the band conditions, to reduce the overall error in iterations.

Orientadores: Maria Amelia Novais Schleicher, Joerg Dietrich Wilhelm Schleicher / Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matematica, Estatistica e Computação Cientifica / Made available in DSpace on 2018-08-15T16:25:22Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Coimbra_TiagoAntonioAlves_M.pdf: 1644714 bytes, checksum: 5d506a3202c2283333d0f29819623fcc (MD5) Previous issue date: 2010 / Resumo: O deslocamento de um evento sísmico sob a chamada operação de continuação de afastamento (Offset Continuation Operation - OCO) pode ser descrita por uma equação diferencial parcial de segunda ordem que foi denominada de equação da onda imagem para OCO. Por substituição de uma solução tentativa da forma da teoria dos raios, pode se deduzir uma equação iconal OCO que descreve os aspectos cinemáticos da propagação da onda imagem OCO. Neste trabalho, resolvemos a equação da onda imagem OCO por meio do método das características. As características desta equação são as trajetórias OCO que descrevem o caminho do deslocamento de um evento sísmico sob variação do afastamento entre fonte e receptor. O conjunto de pontos finais de diversas trajetórias OCO, traçadas a partir do mesmo afastamento inicial até o mesmo afastamento final, define o raio de velocidade OCO ou, mais breve, raio OCO. Este raio OCO pode ser empregado para análise de velocidade. O algoritmo consiste do traçamento de raios OCO e então encontrar o ponto de interseção entre o raio OCO e o evento de reflexão sísmica dentro da seção final de afastamento comum. O procedimento tem a vantagem sobre a análise de velocidade convencional de que está baseado numa comparação de dados simulados com dados adquiridos ao invés de dois conjuntos de dados simulados. Exemplos numéricos demonstram que o traçamento de raios OCO pode ser executado de maneira precisa e de que a análise de velocidade resultante fornece velocidades confiáveis. Além disso, baseado nas expressões analíticas para os raios OCO que começam a partir do afastamento zero (migraton to common offset - MCO), deduzimos uma equação da onda imagem para continuação de velocidade MCO. Demonstramos que, em muitas situações práticas, esta equação pode ser empregada diretamente para OCO, assim evitando a necessidade de traçar trajetórias e raios OCO / Abstract: The dislocation of a seismic event under the so-called Offset Continuation Operation (OCO) can be described by a second-order partial differential equation, which has been called the OCO image-wave equation. By substitution of a ray-like trial solution, an OCO image-wave eikonal equation is obtained that describes the kinematic aspects of OCO imagewave propagation. In this work, we solve the OCO image-wave eikonal equation by means of the method of characteristics. The characteristics of this equation are the OCO trajectories that describe the path of dislocation of a seismic event under variation of the source-receiver offset. The set of endpoints of several OCO trajectories traced from the same initial to the same final offset under varying values for the medium velocity defines the OCO velocity ray or briefly OCO ray. This OCO ray can be employed for velocity analysis. The algorithm consists of OCO ray tracing an then finding the intersection point of the OCO ray with the seismic reflection event in the final common-offset section. The procedure has the advantage over conventional velocity analysis that it is based on a comparison of simulated and acquired data rather than two sets of simulated data. Numerical examples demonstrate that the OCO ray tracing can be accurately executed and that the resulting velocity analysis yields reliable velocities. Moreover, based on the analytic expressions for the OCO rays starting from zero-offset (migraton to common offset, MCO), we derived an image-wave equation for MCO velocity continuation. We demonstrate that in many practical situations this equation can be directly employed for OCO, thus avoiding the need to trace OCO trajectories and OCO rays / Mestrado / Geofisica Computacional / Mestre em Matemática Aplicada

La maîtrise du bruit et des vibrations est un objectif fréquemment rencontré dans le domaine industriel. Qu’il s’agisse de questions de confort ou de sécurité, les domaines d’applications sont nombreux et variés : transport, BTP, ingénierie civile et militaire… Dans cette thèse, un problème de vibroacoustique interne avec couplage fluide-structure est étudié. Il s’agit d’une cavité remplie de fluide dont les parois sont constituées d’une structure sandwich viscoélastique. Les difficultés numériques associées à ce modèle portent sur la non linéarité du matériau et sur les propriétés des opérateurs matriciels manipulés (conditionnement, non symétrie). Le calcul des vibrations du système dissipatif couplé nécessite une valeur initiale, choisie comme la solution du problème conservatif. Cette solution n’étant pas aisée à déterminer, deux solveurs aux valeurs propres basés sur la Méthode Asymptotique Numérique (MAN) sont proposés pour résoudre le problème des vibrations libres du système conservatif. Associant des techniques de perturbation d'ordre élevé et de continuation, la MAN permet de transformer le problème non linéaire de départ en une suite de problèmes linéaires, plus simples à résoudre. Les solutions obtenues sont ensuite utilisées comme point initial pour déterminer la réponse libre du système dissipatif. Un solveur de Newton d’ordre élevé, basé sur les techniques d’homotopie et de perturbation est développé pour résoudre ce problème. Enfin, le régime forcé est étudié. Pour toutes les configurations envisagées, les résultats obtenus mettent en évidence des performances numériques améliorées par rapport aux méthodes classiquement utilisées (Arpack, Newton…). / Noises and vibrations control is a common objective in the industrial field. Whether it is a question of comfort or safety, the fields of application are numerous and varied: transport, building, civil and military engineering… In this thesis, a vibroacoustics interior problem with fluid-structure coupling is studied. A cavity filled of fluid whose walls are made of a sandwich viscoelastic structure is considered. The numerical difficulties associated with this model relate to the non-linearity of the viscoelastic material and the properties of the matrix operators used (conditioning, non-symmetry). The calculation of the vibrations of the coupled dissipative system requires an initial value, chosen as the solution to the conservative problem. Since this solution is difficult to determine, two eigenvalue algorithms based on the Asymptotic Numerical Method (ANM) are proposed to solve the problem of free vibrations of the conservative system. Combining high order perturbation and continuation techniques, ANM transforms the initial non-linear problem into a set of linear problems that are easier to solve. The solutions obtained are then used as the initial point to determine the free vibrations of the dissipative problem. A high order Newton solver, based on homotopy and perturbation techniques, is developed to solve this problem. Finally, the forced harmonic response of the damped system is computed. For all the configurations tested, the results obtained show improved numerical performance compared to the methods conventionally used (Arpack solver, Newton algorithm…).

QC 20100601

Studying the zeros of a parameter dependent operator F defined on a Hilbert space H is a fundamental problem in mathematics. When the Hilbert space is finite dimensional, continuation provides, via predictor-corrector algorithms, efficient techniques to numerically follow the zeros of F as we move the parameter. In the case of infinite dimensional Hilbert spaces, this procedure must be applied to some finite dimensional approximation which of course raises the question of validity of the output. We introduce a new technique that combines the information obtained from the predictor-corrector steps with ideas from rigorous computations and verifies that the numerically produced zero for the finite dimensional system can be used to explicitly define a set which contains a unique zero for the infinite dimensional problem F: HxR->Im(F). We use this new validated continuation to study equilibrium solutions of partial differential equations, to prove the existence of chaos in ordinary differential equations and to follow branches of periodic solutions of delay differential equations. In the context of partial differential equations, we show that the cost of validated continuation is less than twice the cost of the standard continuation method alone.