Cette thèse présente quelques résultats de la théorie des probabilités non commutatives, et traite en particulier des inégalités de martingales dans des algèbres de von Neumann et de leurs espaces de Hardy associés. La première partie démontre un analogue non commutatif de la décomposition de Davis faisant intervenir la fonction carrée. Les arguments classiques de temps d'arrêt ne sont plus valides dans ce cadre, et la preuve se base sur une approche duale. Le deuxième résultat important de cette partie détermine ainsi le dual de l'espace de Hardy conditionnel h_1(M). Ces résultats sont ensuite étendus au cas 1

Thesis (MComm (Mathematics))--University of Stellenbosch, 2007. / The word numéraire refers to the unit of measurement used to value a portfolio of assets. The change of numéraire technique involves converting from one measurement to another. The foreign exchange markets are natural settings for interpreting this technique (but are by no means the only examples). This dissertation includes elementary facts about the change of numeraire technique. It also discusses the mathematical soundness of the technique in the abstract setting of Delbaen and Schachermayer’s Mathematics of Arbitrage. The technique is then applied to financial pricing problems. The right choice of numéraire could be an elegant approach to solving a pricing problem or could simplify computation and modelling.

[pt] O trabalho tem como objetivo ser uma introdução ao estudo de mercados financeiros tratados em tempo discreto com horizonte finito, bem como a dinâmica dos ativos financeiros principais. Descrevemos os tipos de ativos negociados em nosso mercado, dando enfoque aos contratos. Elaboraremos a hipótese central do modelo, a ausência de arbitragem e assim mostraremos como poderemos encontrar um preço correto ou então apresentaremos um intervalo de preços para os contratos. Posteriormente, mostraremos resultados gerais relativos à correta precificação de contratos, usando para isso os instrumentos de processos estocásticos e martingais. Apresentaremos alguns exemplos a título de ilustração. / [en] The dissertation aims to be an introduction to the study of financial markets in discrete time with finite horizon, as well as the dynamics of the main financial assets. We describe the types of assets traded in the market, focusing on contracts. We will elaborate the central hypothesis of the model, the absence of arbitrage and thus show how we can find a correct price or, at least, a range of prices of the contracts. Subsequently, we will show general results regarding how to find correct prices for contracts, using the machinery of stochastic processes and martingales.As an illustration, we present some examples.

Submitted by Bruna Rodrigues (bruna92rodrigues@yahoo.com.br) on 2016-09-28T12:43:44Z No. of bitstreams: 1 DissTM.pdf: 842829 bytes, checksum: 853077899d252d353370dd8f9b86616d (MD5) / Approved for entry into archive by Marina Freitas (marinapf@ufscar.br) on 2016-10-10T19:04:27Z (GMT) No. of bitstreams: 1 DissTM.pdf: 842829 bytes, checksum: 853077899d252d353370dd8f9b86616d (MD5) / Approved for entry into archive by Marina Freitas (marinapf@ufscar.br) on 2016-10-10T19:04:35Z (GMT) No. of bitstreams: 1 DissTM.pdf: 842829 bytes, checksum: 853077899d252d353370dd8f9b86616d (MD5) / Made available in DSpace on 2016-10-10T19:04:42Z (GMT). No. of bitstreams: 1 DissTM.pdf: 842829 bytes, checksum: 853077899d252d353370dd8f9b86616d (MD5) Previous issue date: 2016-04-15 / Não recebi financiamento / Find fair (according to some criterion) prices for assets in financial markets is one of the most important pillars of Finance Theory. To accomplish this, the Asset Pricing Theory has a mathematical formulation, based mainly on Probability Theory. In this dissertation we present such theory, which is essentially based on mar- tingales, important objects of Probability Theory. Alternatively, we also present an Asset Pricing Theory based on the Coherence Theory of Bruno de Finetti in order to compare, informally, such approaches. / Encontrar preços justos (segundo algum critério) para ativos em mercados financeiros é um dos pilares mais importantes da Teoria de Finanças. Para alcançar esse objetivo, a Teoria de Precificação de Ativos tem uma formulação matemática, fundamentada principalmente na Teoria de Probabilidades. Neste trabalho apresentaremos tal teoria, que é essencialmente baseada em martingales, objetos de grande importância na Teoria de Probabilidades. Alternativamente, apresentaremos uma Teoria de Precificação baseada na Teoria da Coerência de Bruno de Finetti com o objetivo de comparar, de modo informal, tais teorias.

In this monograph we continue with the inspection initiated in [1] on the fundamental tools introduced in the approach proposed in [2,3] for the study of metastability. We give the definition of the Poisson random measures and prove the main properties that we will subsequently use to construct Markov processes with finite state space. Such construction will allow us to provide a probabilistic proof of the fact that the law of a Markov process solves the martingal problem. / En esta monografía continuamos con el desarrollo iniciado en [1] sobre las herramientas fundamentales usadas en el abordaje propuesto en [2,3] para el estudio de la metaestabilidad. Definimos las medidas aleatorias de Poisson y probamos las principales propiedades que seran usadas para construir procesos de Markov con espacio de estados finito. Esta forma de abordar la propiedad Markoviana nos permitirá dar una demostración probabilística de que la ley de un proceso de Markov resuelve un problema martingala.

[pt] Na primeira parte dessa tese, estudamos o desvio no número de triângulos com respeito à média em ambos os modelos de grafos aleatórios G(n,m) e G(n, p). Focamos no caso em que o grafo aleatório é esparso, no qual a densidade de arestas vai para zero quando o número de vértices cresce para o infinito. Nosso foco também reside no caso de desvios moderados, i.e., aqueles cuja ordem está entre o desvio padrão e a média. Além disso, também derivamos o mesmo tipo de resultado para cerejas (caminhos de comprimento dois). Na segunda parte dessa tese, estudamos a desigualdade de Freedman. Essa desigualdade fornece limitantes para a probabilidade de desvio de um martingal limitado usando sua variância condicional. No nosso trabalho, obtemos uma versão mais forte da desigualdade de Freedman, impondo condições adicionais de simetria nos incrementos do processo martingal. / [en] In the first part of this thesis, we study the deviation of the number of triangles with respect to its mean in both the random graph models G(n,m) and G(n, p). We focus on the case where the random graph is sparse, in which the edge density goes to zero as the number of vertices increases to infinity. Also, our focus is in the case of moderate deviations, i.e., those of order in between the standard deviation and the mean. In addition, we derive the same kind of results for cherries (paths of length two). In the second part of this thesis, we study Freedman s inequality. This inequality gives bounds on the probability of the deviation of a bounded martingale using its conditional variance. In our work, we obtain a strengthening of Freedman s inequality, under additional symmetry conditions on the increments of the martingale process.

[pt] Nesta dissertação fazemos uma exposição do Teorema Fundamental do Apreçamento para modelos em tempo discreto, o qual afirma que, sob certas hipóteses, a ausência de oportunidades de arbitragem equivale a existência de uma medida de martingal equivalente. Discutimos inicialmente o resultado no caso de espaços amostrais finitos e posteriormente o caso geral, através da técnica da Transformada de Esscher. / [en] This dissertation is concerned with the Fundamental Asset Pricing Theorem for discrete-time models which asserts that, under suitable hypothesis, absence of arbitrage opportunities is equivalent to the existence of an equivalent martingale measure. We first discuss the case of finite sample spaces and then the general case, by the use of the Esscher Transform technique.

Quelques problèmes en analyse harmonique non commutative / Some problems on noncommutative harmonique analysis

L'objectif de cette thèse est de traiter trois problèmes relatifs aux réseaux de grande taille. Les outils utilisés à cette fin sont issus des probabilités et plus spécifiquement de la théorie des files d'attente. En plus d'améliorer la compréhension des systèmes étudiés, les travaux réalisés dans cette thèse ont permis de prouver des résultats théoriques nouveaux ainsi que d'illustrer certains phénomènes probabilistes. Dans le Chapitre II, un modèle de réseau à partage de bande passante est étudié. Contrairement à ce qui avait été étudié dans la littérature, les utilisateurs n'utilisent pas de contrôle de congestion. On suppose qu'ils envoient des données avec un débit maximum et protègent leur transmission à l'aide d'un mécanisme basé sur des codes correcteurs d'erreur. Le modèle obtenu est analysé pour deux topologies de réseaux spécifiques : les réseaux linéaires et les arbres montants. A l'aide de limites fluides, les conditions de stabilité de ces réseaux sont établies. Ces limites fluides donnent lieu à un phénomène intéressant de moyennage stochastique. Ensuite, une autre méthode de renormalisation est utilisée pour prouver que la région de stabilité de ces processus converge vers la région optimale lorsque que les débits maximaux des utilisateurs deviennent infiniment petits par rapport à la taille des liens du réseau. Dans le Chapitre III, on se propose d'étudier CSMA/CA, un algorithme d'accès implémenté dans certains standards de réseaux sans fil. Chaque lien est constitué d'un émetteur et d'un récepteur et un graphe d'interférence modélise les collisions potentielles entre les liens. Les arrivées et les départs de ces derniers sont prises en compte. Une approximation est faite en supposant que la dynamique d'accès au canal est infiniment plus rapide que la dynamique des arrivées et départs de liens. Il est alors établi que le CSMA permet une utilisation optimale des ressources radio dans le cadre des réseaux ad-hoc. Cependant, il est également prouvé que ce même algorithme n'est pas efficace pour les réseaux avec une station de base ; dans ce cas, un biais en faveur des transmissions vers la station de base est observé. A la fin du chapitre, l'hypothèse simplificatrice est discutée. Les deux derniers chapitres de la thèse sont consacrés à l'étude d'un grand système distribué de stockage de données avec pertes. L'objectif est d'estimer la vitesse de perte des fichiers ou la durée de vie d'un fichier donné. Dans le Chapitre IV, c'est le premier point de vue qui est adopté. Le système est considéré de manière globale. Le système est constitué d'un grand nombre de fichiers qui peuvent avoir chacun deux copies au maximum. Chaque copie disparaît au bout d'un temps aléatoire. Un mécanisme centralisé de sauvegarde permet alors de restaurer les copies perdues. Un fichier dont les deux copies ont été détruites est définitivement perdu. Le système est étudié dans le cas limite où le nombre de fichiers tend vers l'infini. Afin de décrire correctement le système, trois échelles de temps différentes sont étudiées. Ralentir le temps permet de comprendre le mécanisme de sauvegarde ; laisser le temps inchangé permet de définir la capacité du système ; accélérer le temps permet d'évaluer la vitesse de perte des fichiers. Le principe de moyennage stochastique est également observé à l'échelle de temps la plus rapide. Dans le chapitre V, le point de vue d'un fichier donné est adopté. Des liens sont établis avec les modèles classiques d'Ehrenfest, issu de la physique statistique, et d'Erlang, issu des télécommunications. Des méthodes basées sur les martingales sont utilisées pour calculer la transformée de Laplace des temps d'atteinte de ces deux processus. Ces transformées permettent alors d'estimer le comportement asymptotique de ces temps d'atteinte et notamment le temps de disparition d'un fichier.

Nós consideramos decomposições de estatísticas $U$ para obter testes para componentes de variância. As distribuições assintóticas das estatísticas de testes sob a hipótese nula são obtidas supondo apenas a existência do quarto momento do erro condicional e do segundo momento dos efeitos aleatórios. Isso permite sua utilização em uma classe bastante ampla de distribuições. Sob a suposição adicional de existência do quarto momento dos efeitos aleatórios, obtemos também a distribuição assintótica das estatísticas sob uma seqüência de hipóteses alternativas locais. Comparamos a eficiência dos testes propostos com aqueles dos testes clássicos, obtidos sob suposição de normalidade, por meio de estudos de simu-lação. Os testes propostos se mostram mais adequados nas situações em que a amostra é de tamanho moderado ou grande, independentemente da distribuição das fontes de variação, e nas situações em que existe fortes afastamentos da normalidade. / We consider decompositions of U-statistics to obtain tests for null variance components in linear mixed models. Their asymptotic distributions under the null hypothesis are obtained only assuming the existence of the first four moments of the conditional error distribution and the existence of the first two moments of the random effects distribution. Thus, the proposed U-tests may be employed in a large class of models. Under the additional assumption of the existence of the fourth moment of the distribution of the random effects, we also obtain the asymptotic distribution of the U-tests under a sequence of local hypothesis. We compare their efficiency with that of classical tests derived under the assumption of normality, through simulation studies. The proposed tests are more efficient in situations where the sample size is moderate or large, independently of the distribution of the sources of variation; they also perform better in situations where the underlying distributions are far from normal.