O objetivo da dissertação é analisar a assinatura em um contexto geral que considera a dinâmica no tempo e a dependência estocástica, utilizando a teoria de martingais para processos pontuais. / The main goal in this work is to analyse the signature structure in a broader context considering time dynamics and stochastic dependence using the point processes martingale theory.

Nós consideramos decomposições de estatísticas $U$ para obter testes para componentes de variância. As distribuições assintóticas das estatísticas de testes sob a hipótese nula são obtidas supondo apenas a existência do quarto momento do erro condicional e do segundo momento dos efeitos aleatórios. Isso permite sua utilização em uma classe bastante ampla de distribuições. Sob a suposição adicional de existência do quarto momento dos efeitos aleatórios, obtemos também a distribuição assintótica das estatísticas sob uma seqüência de hipóteses alternativas locais. Comparamos a eficiência dos testes propostos com aqueles dos testes clássicos, obtidos sob suposição de normalidade, por meio de estudos de simu-lação. Os testes propostos se mostram mais adequados nas situações em que a amostra é de tamanho moderado ou grande, independentemente da distribuição das fontes de variação, e nas situações em que existe fortes afastamentos da normalidade. / We consider decompositions of U-statistics to obtain tests for null variance components in linear mixed models. Their asymptotic distributions under the null hypothesis are obtained only assuming the existence of the first four moments of the conditional error distribution and the existence of the first two moments of the random effects distribution. Thus, the proposed U-tests may be employed in a large class of models. Under the additional assumption of the existence of the fourth moment of the distribution of the random effects, we also obtain the asymptotic distribution of the U-tests under a sequence of local hypothesis. We compare their efficiency with that of classical tests derived under the assumption of normality, through simulation studies. The proposed tests are more efficient in situations where the sample size is moderate or large, independently of the distribution of the sources of variation; they also perform better in situations where the underlying distributions are far from normal.

L'objectif de cette thèse est d'étudier l'existence et l'unicité de solution d'équations différentielles stochastiques rétrogrades avec grossissement de filtration. La motivation de ce problème mathématique provient de la résolution d'un problème financier de couverture par un agent possédant une information supplémentaire inconnue sur le marché. Dans une première partie, nous résolvons ce problème, successivement dans un cadre continu puis avec sauts, et montrons que sous l'hypothèse (H3) du grossissement de filtration, grâce à un théorème de représentation des martingales, l'EDSR dans l'espace grossie sous des hypothèses standard a une unique solution. L'une des conséquences principales est que, dans un marché complet, la détention d'une information supplémentaire par l'agent initié ne lui confère pas de stratégie de couverture différente. Dans une seconde partie, nous développons un modèle d'agent informé et influent, ce qui nous amène à résoudre une équation différentielle stochastique progressive rétrograde avec grossissement de filtration, et nous obtenons également un théorème d'existence et d'unicité de solution. Nous sommes également amenés à étudier le problème de couverture en marché incomplet, puisque du fait de l'influence, le marché sans information devient incomplet. Enfin, dans la dernière partie, nous généralisons les résultats d'existence et d'unicité de solution d'EDSR avec grossissement de filtration à des EDSR à horizon aléatoire.

Ce travail est la synthèse de travaux de recherches en mathématiques, dont les thèmes sont empruntés à la géométrie algébrique, la combinatoire analytique et les probabilités. La première partie concerne les variétés algébriques complexes de dimension trois. On y présente un calcul de la cohomologie singulière de variétés toriques lisses non complètes, ainsi que la construction d'un modèle toroïdal des singularités-quotient, dont le calcul nécessite l'étude combinatoire fine de l'action des groupes finis de matrices unitaires sur le plan projectif. La deuxième partie développe une adaptation "hybride" de la méthode de Darboux et de l'analyse des singularités pour le développement asymptotique des coefficients d'une série entière dans certains cas de frontière naturelle d'analyticité. De nombreux exemples issus de l'analyse combinatoire sont ainsi traités, dont celui de l'analyse d'algorithmes de factorisation de polynômes sur les corps finis qui sont utilisés en calcul formel et pour les codes correcteurs d'erreurs. La troisième partie résout une conjecture sur les arbres $m$-aires de recherche qui sont une structure fondamentale de l'algorithmiques des ensembles de données. Le modèle considéré est un modèle d'urnes qui se généralise en la notion de processus aléatoires de Pòlya dont le comportement asymptotique général est étudié. Dans la quatrième partie, on construit un arbre aléatoire associé à la \emph{Chaos Game Representation} utilisée en bio-mathématique et en bio-informatique du génôme. Les asymptotiques de la hauteur et de la profondeur d'insertion de ces arbres y sont établies.

Cette Thèse est composée de deux parties portant respectivement sur la discrétisation des équations différentielles stochastiques et sur le théorème de la limite centrale presque sûre pour les martingales.<br /><br />La première Partie est composée de trois chapitres: Le premier chapitre introduit le cadre de l'étude et présente les résultats obtenus. Le deuxième chapitre est consacré à l'étude d'une nouvelle méthode d'accélération de convergence, appelée méthode de Romberg statistique, pour le calcul d'espérances de fonctions ou de fonctionnelles d'une diffusion.<br />Ce chapitre est la version augmentée d'un article à paraître dans la revue Annals of Applied Probability.<br /><br />Le troisième chapitre traite de l'application de cette méthode à l'approximation de densité par des méthodes de noyaux.<br />Ce chapitre est basé sur un travail en collaboration avec Arturo Kohatsu-Higa.<br /><br />La deuxième partie de la thèse est composée de deux chapitres: le premier chapitre présente la littérature récente concernant le théorème de la limite centrale presque sûre et ses extensions. Le deuxième chapitre, basé sur un travail en collaboration avec Faouzi Chaâbane, étend divers résultats de type TLCPS à des martingales quasi-continues à gauche.

L'objectif de cette thèse est d'étudier la réalisation d'un équilibre dans un marché où les prix des actifs financiers sont discontinus et sur lequel les agents sont différemment informés. Dans une première partie, nous résolvons le problème d'optimisation d'un initié qui possède une information forte initiale, i.e. il connaît dès le début une fonctionnelle des trajectoires du processus des prix. Nous établissons, sous une hypothèse d'indépendance de tribus, une condition nécessaire et suffisante d'existence d'un équilibre, défini par le fait que le marché des consommations s'équilibre. Nous montrons qu'à l'équilibre le marché révèle toutes les informations pertinentes. Dans une deuxième partie, nous étudions deux autres modélisations de l'information privée. La première est l'information forte progressive : l'information privée est perturbée par un bruit indépendant qui décroît au cours du temps. La deuxième s'appelle information faible : l'agent sait qu'une information concernant une variable aléatoire va être révélée, il ne peut pas l'observer mais il anticipe sa loi. D'un point de vue mathématique, l'information privée de l'initié n'est plus exprimée par une augmentation de filtration (à la différence d'une information forte, initiale ou progressive) mais par une mesure de probabilité différente assignée à cet agent. Enfin, nous avons étudié la formation d'un équilibre avec plusieurs agents initiés ayant des informations différentes. Nous avons plus particulièrement examiné sous quelles conditions la somme de leur portefeuille est nulle. Nous avons montré que plus un agent est informé sur le marché, plus il doit rester discret et investir peu sur ce marché, afin qu'un équilibre puisse exister. Dans la dernière partie, nous avons simulé les stratégies d'initiés pour différentes informations privées et nous les avons comparées à la stratégie optimale d'un non-initié. Nous avons aussi simulé la formation d'un équilibre et le montant maximal que peut investir un initié dans le marché sans empêcher un équilibre d'avoir lieu.

La constatation que les prix des actifs boursiers sautent brusquement a conduit à étudier des modèles de marchés avec sauts. Cette thèse va dans cette direction. On y considère des marchés dirigés par des martingales normales qui ont la propriété de représentation chaotique: les martingales vérifiant une équation de structure déterministe, la martingale d'Azéma, etc. On trouve des stratégies de couverture pour les options européennes, asiatiques et Lookback soit par la formule d'Itô, soit par la formule de Clark-Ocone selon la plus appropriée. L'application du calcul de Malliavin au calcul des Greeks est traitée pour les options asiatiques dans le cas d'un marché dirigé par un processus de Poisson. On traite aussi de couverture dans un modèle à volatilité stochastique avec sauts où le prix de l'actif risqué est dirigé par un processus somme d'un mouvement brownien et d'un processus de Poisson 2-dimensionnels. Le marché est incomplet et il existe une infinité de mesures martingales équivalentes. On minimise l'entropie pour choisir telle mesure. Sous celle-ci on calcule la stratégie minimisant la variance.

Cette thèse porte sur une approche probabiliste de l'équation de Landau, aussi appelée équation de Fokker-Planck-Landau. Cette équation aux dérivées partielles a été obtenue comme limite asymptotique d'équations de Boltzmann lorsque les collisions rasantes deviennent prépondérantes dans un gaz. Elle décrit le comportement de la densité de particules ayant la même vitesses au même instant (on considère ici le ca s spatialement homogène). Cette équation a été jusqu'à maintenant étudiées par des méthodes d'analyse, ce travail propose une nouvelle approche. La première partie de la thèse est consacrée à l'étude de l'existence de solution de l'équation de Landau pour des gaz dit de 'potentiels modérément mous'. L'existence de mesures de probabilité solutions est obtenue par des outils du calcul stochastique. Pour des gaz plus particuliers, il y a en fait unicité de la solution et, grâce au calcul de Malliavin, on en déduit l'existence d'une densité solution de l'équation de Landau. L'approche probabiliste permet d'avoir des conditions initiales assez générales. La seconde partie de la thèse donne une interprétation probabiliste du lien entre les équations de Boltzmann et de Landau. Tout d'abord, les résultats d'existence de solutions au sens probabiliste de l'équation de Boltzmann sont étendus aux 'potentiels modérément mous'. Puis, on montre la convergence de ces solutions vers une solution de l'équation de Landau lorsque les collisions deviennent rasantes dans le gaz. Enfin, dans le cas particulier d'un gaz de Maxwell, la convergence ponctuelle des densités est obtenue en utilisant les techniques du calcul de Malliavin. L'approche probabiliste permet une meilleure compréhension du passage Boltzmann - Landau et permet de le simuler à l'aide d'un système de particules. Quelques simulations sont présentées dans cette thèse.

La théorie des matrices aléatoires présente un ensemble d'outils mathématiques efficaces pour l'étude de performances des systèmes de communications numériques. L'objectif de cette thèse est de développer des résultats analytique basés sur la théorie des matrices aléatoires pour étudier les fluctuations de quelques indices de performances pour les systèmes de communications sans fil. Nous étudions dans un premier temps, les fluctuations du rapport signal sur bruit (SINR), indice de performance mesuré à la sortie d'un récepteur linéaire de Wiener, récepteur minimisant l'erreur quadratique des symboles estimés (LMMSE) pour les transmissions par la technique CDMA. Basés sur la méthode REFORM, nous montrons le comportement gaussien asymptotique pour le SINR. L'étude du SINR permet la compréhension de comportements d'autres indices de performances comme l'erreur binaire et la probabilité de dépassement. Basés sur la nature gaussienne des entrées de la matrice canal, nous utilisons des outils mathématiques dédiés aux variables gaussiennes pour évaluer ces deux indices de performances. Des simulations montrent bien la pertinence de cette approche. Il est bien connu que l'information mutuelle entre le signal émis et le signal reçu augmente avec l'utilisation des techniques de transmission multi-antennes. Nous nous intéressons à l'étude des fluctuations de cette statistique pour un modèle séparable non centré, cas Rice. Nous développons des outils mathématiques basés sur la théorie des matrices aléatoires permettant de montrer la nature gaussienne des fluctuations de l'information mutuelle.

Cette thèse étudie la distribution limite de paramètres définis récursivement sur des arbres (graphes enracinés). Un premier paramètre étudié est le résultat d'expressions arithmétiques tirées aléatoirement. Une application est l'amélioration heuristique d'un algorithme de recherche de structures secondaires d'ARN. Un autre paramètre étudié est la taille d'expressions logiques ou arithmétiques réduites selon des lois idempotentes, nilpotentes ou d'absorption. J'étudie des fonctionnelles polynomiales du mouvement brownien standard, du pont, du méandre, et de l'excursion browniens en utilisant la méthode des moments à base de séries génératrices et d'analyse de singularité. J'obtiens la limite gaussienne de la loi jointe de la taille et de la longueur de cheminement interne des tries avec source de Bernoulli en utilisant des méthodes de point fixe.