Le micromagnétisme est l'étude de la magnétisation spontanée dans les matériaux ferromagnétiques. Cette magnétisation, de norme constante, est soumise à une énergie libre. Nous étudions les configurations limites admissibles de la magnétisation dans certains régimes asymptotiques. Les premiers résultats présentés concernent la structure géométrique des parois des configurations limites d'un modèle micromagnétique en deux dimensions. La similarité entre le problème micromagnétique et les lois de conservation scalaires nous permet d'obtenir, par la meme méthode, un résultat sur la structure des ondes de choc de certaines solutions d'une loi de conservation scalaire en une dimension d'espace. Enfin, nous donnons une formulation cinétique du problème mathématique lié à un modèle micromagnétique en trois dimensions et nous terminons par un résultat de régularisation pour les moyennes en vitesse des solutions d'une équation cinétique linéaire.

Résumé non disponible

Dans cette thèse, l'étude menée consiste à établir de nouveaux résultats théoriques concernant des problèmes d'existence et d'unicité pour des Equations Différentielles Stochastiques Rétrogrades (EDSR) à croissance quadratique : ceci a pour but de permettre la résolution d'un problème de Mathématiques Financières, à savoir la maximisation de l'utilité (exponentielle) d'un portefeuille sous contraintes. Généralisant des résultats déjà connus en filtration brownienne pour les EDSR quadratiques, ce travail permet ainsi d'apporter des réponses au problème financier dans des contextes plus généraux.

Les travaux présentés concernent l'étude analytique et numérique de différents modèles cinétiques appliqués à plusieurs domaines, plus particulièrement : aux neurosciences computationelles et à la volcanologie. Les points communs à ces sujets de recherche sont : - l'utilisation des équations aux dérivées partielles pour l'écriture des modèles mathématiques en partant d'une description microscopique du phénomène, - leur résolution numérique par des schémas déterministes, - une importante interaction avec les collègues bio et géo-physiciens. Les travaux effectuées en collaboration avec les collègues de géophysique (ISTO, Orléans), proposent une description statistique de l'évolution d'une population de bulles de gaz dans un fluide très visqueux. Cette modélisation souligne l'importance de la prise en compte de la coalescence de bulles et ouvre la voie à plusieurs axes de recherche en mathématique et en volcanologie. Les résultats obtenus en neurosciences computationelles sont basés sur des travaux récents concernant les systèmes d'équations stochastiques lents-rapides. Ils permettent de réduire un problème bidimensionnel, nécessitant des moyens de calcul importants, à un modèle unidimensionnel dont la solution d'équilibre est explicite.

Waveletteori er en forholdsvis ny matematisk disciplin, som har vakt stor interesse indenfor b°ade teoretisk og anvendt matematik i løbet af det seneste °arti. De altafgørende egenskaber ved wavelets er at de kan analysere forskellige dele af en funktion p°a forskellige skalatrin, samt at de kan repræsentere polynomier nøjagtigt op til en given grad. Dette fører til, at funktioner med hurtige oscillationer eller singulariteter indenfor lokaliserede omr°ader kan approksimeres godt med en linearkombination af forholdsvis f°a wavelets. Til sammenligning skal man medtage mange led i en Fourierrække for at opn°a en god tilnærmelse til den slags funktioner. Disse egenskaber ved wavelets har med held været anvendt indenfor signalbehandling. Denne afhandling omhandler wavelets rolle indenfor scientific computing og den best°ar af tre dele: Del I giver en gennemgang af teorien for ortogonale, kompakt støttede wavelets med udgangspunkt i multiskala analyse. S°adanne wavelets er særligt attraktive, fordi de giver anledning til en stabil og særdeles effektiv algoritme, kaldet den hurtige wavelet transformation (FWT). Vi giver estimater for approksimationsegenskaberne af wavelets og demonstrerer, hvordan og hvorfor FWT-algoritmen kan bruges som første led i en effektiv billedkomprimerings metode. Del II omhandler forskellige implementeringer af FWT algoritmen p°a vektorcomputere og parallelle datamater. Vi udvikler en effektiv og skalerbar parallel FWT algoritme og angiver en model for dens ydeevne. Del III omfatter et studium af mulighederne for at bruge wavelets særlige egenskaber til at løse partielle differentialligninger numerisk. Flere forskellige tilgange identificeres og to af dem beskrives detaljeret. De udviklede algoritmer anvendes p°a den ikke-lineære Schr¨odinger ligning og Burgers ligning. Numeriske undersøgelser viser, at algoritmerne kan være effektive under forudsætning af at problemerne er store, at løsningerne er stærkt lokaliserede og at de forskellige numeriske metode-parametre kan vælges p°a passende vis afhængigt af det p°agældende problem.

Je présente essentiellement les travaux réalisés depuis ma thèse. <br />Ils se classent en trois thèmes:<br />Analyse asymptotique des équations de Navier-Stokes,<br />Optimisation de forme d'ouvrages de lutte contre l'érosion du littoral,<br />Etude d'équations aux dérivées partielles comportant des termes non-locaux.<br />Dans le thème 1, je développe la justification mathématique de l'approximation hydrostatique pour les fluides géophysiques à faible quotient d'aspect, hypothèse couramment vérifiée en océanographie et en météorologie. C'est un problème de perturbation singulière. Je présente également l'étude théorique et numérique de l'écoulement cône-plan, utilisé en hématologie-hémostase pour le sang de patients. Il s'agit d'un problème de couche limite singulière.<br /><br />Le thème 2 concerne le génie côtier. Les ouvrages utilisés tels que épis, brise-lames, enrochements sont de forme trop rudimentaire. Leur efficacité peut être améliorée significativement si leur forme est optimisée pour réduire l'énergie dissipée par la houle dans la zone proche-littorale. Nous optimisons aussi la forme de géotextiles immergés. Ce travail, réalisé dans le cadre de la thèse de Damien Isèbe, a reçu le soutien de l'ANR (projet COPTER) et s'effectue en partenariat avec le laboratoire Géosciences Montpellier et l'entreprise Bas-Rhône-Languedoc ingénierie (Nîmes).<br /><br />Dans le thème 3, nous prouvons existence, unicité et régularité de solutions pour l'équation de la chaleur fractionnaire, perturbée par un bruit blanc. C'est une équation aux dérivées partielles stochastique.Nous prouvons enfin un résultat d'existence, unicité et dépendance continue pour une loi de conservation non linéaire, comportant un terme non local, qui modélise l'évolution d'un profil de dune immergée. <br />L'intérêt mathématique est que l'équation ne vérifie pas le principe du maximum mais possède néanmoins un effet régularisant.

Résumé: Dans cette thèse, on étudie les équations cohomologiques discrètes et continues dans les situations qui suivent.<br /> 1- Pour un champ de vecteurs X qui définit un feuilletage riemannien complet sur une variété M, on donne explicitement les conditions qui permettent de résoudre complètement l'équation cohomologique continue.<br /><br /> 2- Pour un champ X sur une la variété M obtenus (M et X) par suspension d'un difféomorphisme γ : N → N, on montre que l'équation cohomologique discrète du système dynamique discret (N, γ) est équivalente à l'équation cohomologique continue du système dynamique continu (M, X) .<br /><br /> 3- Dans le cas où la variété M est le quotient TAⁿ⁺¹du groupe de Lie G=ℝⁿ ⋊A ℝ par le réseau Γ=ℤⁿ ⋊Aℤ avec A ∈SL(n,ℤ)<br /> hyperbolique à valeurs propres réelles positives et X l'élément de l'algèbre de Lie Ģ de G qui induit le flot d'Anosov ℱ sur TAⁿ⁺¹,on donne explicitement les solutions des deux équations en question ainsi que d'autres invariants géométriques qui leur sont associés notamment la cohomologie feuilletée de ℱ et les distrbutions A-invariantes

Ce travail présente une discussion d'aspects mathématiques et <br /> physiques des solutions des équations d'Einstein et d'Einstein-Maxwell <br /> dans le cas stationnaire avec symétrie axiale, obtenues <br /> par des méthodes de la géométrie algébrique. <br /> Puisque dans ce cas les <br /> équations sont équivalentes aux systèmes <br /> d'Ernst complètement intégrables, les méthodes de <br /> Riemann-Hilbert peuvent être appliquées pour construire des <br /> solutions vérifiant des conditions aux limites données. <br /> Nous démontrons ici que des <br /> problèmes de Riemann-Hilbert avec des conditions analytiques peuvent <br /> être résolus sur des surfaces de Riemann. Sur des surfaces <br /> non-compactes, nous prouvons l'existence de solutions en utilisant la <br /> théorie des <br /> espaces fibrés. Les surfaces de Riemann<br /> sont compactes si les conditions aux limites du <br /> problème de Riemann-Hilbert sont des fonctions <br /> rationnelles ce qui permet de <br /> trouver des solutions explicites (dues à Korotkin) <br /> sous forme de fonctions thêta hyper-elliptiques. <br /> Grâce à <br /> l'identité de Fay, toutes les composantes de la métrique <br /> correspondant à ces solutions sont <br /> données sous forme de fonctions thêta. <br /> Nous discutons les singularités de ces solutions et nous <br /> identifions une sous-classe qui est régulière à <br /> l'extérieur d'un contour pouvant représenter la surface <br /> extrême <br /> d'une distribution de matière. Comme exemple astrophysique <br /> nous considérons le cas des <br /> disques de poussière qui peuvent servir de modèles pour <br /> certaines <br /> galaxies et pour la matière dans des disques d'accrétion autour <br /> de trous noirs. Les solutions sous forme de fonctions <br /> thêta et leurs dérivées sont reliées par des conditions <br /> algébriques qui déterminent les classes de problèmes <br /> aux limites <br /> pouvant être résolus sur une surface de Riemann donnée. <br /> Nous établissons ces relations qui sont <br /> utilisées pour <br /> résoudre des problèmes aux limites décrivant des disques de poussière. <br /> La solution explicite pour un disque de poussière avec deux <br /> composantes en contre-rotation est donnée. Cette solution contient <br /> un disque statique de Morgan et Morgan et le disque en rotation <br /> rigide avec une seule composante comme cas limites. Nous discutons la <br /> métrique, les cas limites, les moments multipolaires et le <br /> tenseur d'impulsion-énergie. Les fonctions thêta sont évaluées <br /> numériquement avec l'utilisation des méthodes spectrales. Le cas des trous <br /> noirs avec un disque annulaire statique est aussi discuté. Nous <br /> prouvons l'existence et l'unicité des solutions en appliquant un théorème <br /> dû à Poole, et nous donnons des solutions approchées. Des <br /> solutions explicites sont présentées pour des disques annulaires infinis. <br /> Dans le cas stationnaire, nous montrons que <br /> des solutions hyper-elliptiques sur des <br /> surfaces dégénérées ont le même horizon que la solution de <br /> Kerr avec un disque infini autour. <br /> Nous discutons le cas d'une surface de genre deux quand les solutions <br /> peuvent être données sous forme de fonctions élémentaires <br /> en détail. Pour les équations d'Einstein-Maxwell, nous <br /> construisons des solutions hyper-elliptiques avec charges. Nous <br /> exploitons la symétrie des équations pour construire ces solutions <br /> à partir des solutions sans champs <br /> électromagnétiques en utilisant une transformation de Harrison. Les <br /> disques de poussière avec charge en contre-rotation sont <br /> également discutés.

Cette thèse étudie des phénomènes de concentration. Des méthodes sont développées pour éviter les concentrations et obtenir des résultats de compacité (1ère partie). Une fonctionelle menant à des solutions concentrées sur un ensemble 1-dimensionnel est ensuite introduite (2ème partie).

Mes activités de recherche s'inscrivent principalement dans les deux thématiques suivantes : l'étude des équations généralisées de Riccati et l'étude des systèmes commutés à temps discret. Ce mémoire s'attache à présenter ces activités de recherche, de manière non exhaustive, mais surtout le fil conducteur et la cohérence qui les lient. En conséquence le document est organisé de la manière suivante: il est composé, de prolégomènes et de trois chapitres. Le chapitre 1 présente mes contributions de recherche consacrées aux équations algébriques généralisées de Riccati. Le chapitre 2 s'intéresse aux résultats obtenus à propos des systèmes commutés. Le chapitre 3 développe les perspectives de recherches qui me tiennent à cœur et constitueront le squelette de mes activités de recherche pour les quelques années à venir.