La notion de dérivée hyperbolique est bien connue en théorie géométrique des fonctions et s'applique aux fonctions appartenant à la classe, dite de Schur, des fonctions / qui sont analytiques dans le disque unité ED := {z : \z\ < 1} et telles que \f(z)\ < 1 pour tout 2 _D. Une fonction appartenant à cette classe est appelée une fonction de Schur. Le but principal de cette thèse est de présenter une nouvelle théorie, celle des dérivées hyperboliques d'ordre supérieur d'une fonction de Schur. Dans ce nouveau contexte, la dérivée hyperbolique précédente est maintenant considérée comme la dérivée hyperbolique d'ordre un. Différentes applications de ces nouvelles dérivées seront explorées et nous aborderons, notamment, des problèmes d'interpolation : étant donnés des points distincts dans le disque unité, on veut déterminer les fonctions de Schur qui font correspondre ces points vers des points images aussi donnés, tout en ayant des dérivées prescrites aux points initiaux. Nous nous intéresserons à ces problèmes d'interpolation exprimés en termes des dérivées hyperboliques plutôt qu'en termes des dérivées classiques. De plus, certains résultats classiques de l'analyse complexe seront considérés dans le contexte des dérivées hyperboliques. D'une part, cela permettra de les généraliser dans certains cas et, d'autre part, d'interpréter certains d'entre eux en vertu des dérivées hyperboliques, fournissant ainsi des démonstrations plus géométriques de ces résultats. En particulier, une version du théorème de Schwarz-Pick sera donnée pour les dérivées hyperboliques d'ordre supérieur et également une version analogue du lemme de Dieudonné. Finalement, le cas du lemme de Rogosinski sera aussi traité et nous en donnerons une démonstration différente en utilisant les nouveaux outils développés dans cette thèse.

La modélisation de phénomènes biologiques qui impliquent un très grand nombre d'unités pose toujours un défi. De nombreux modèles présentent une vision globale de la dynamique moyenne du phénomène sous la forme d'un système d'équations différentielles ordinaires. C'est le cas notamment du modèle de Wilson-Cowan, qui décrit l'activité qui se propage dans un réseau de neurones biologiques. Une limite importante de ce modèle est qu'il néglige d'éventuelles corrélations entre les états de différents neurones. L'objectif premier de ce mémoire est ainsi de le généraliser afin de décrire de telles corrélations. On veut aussi mieux en comprendre les fondements mathématiques et les liens qu'il a avec des modèles semblables utilisés en épidémiologie et en écologie. Pour s'attaquer à ce problème, on construit une chaîne de Markov en temps continu qui décrit l'évolution des états des nœuds d'un graphe, et qui peut ainsi modéliser un phénomène biologique d'un point de vue microscopique. Étant donné le très grand nombre de nœuds que comporte le graphe, ce modèle microscopique est difficile à analyser. À partir du processus stochastique, on obtient alors par un moyennage un système d'équations différentielles ordinaires afin de décrire la dynamique sur le graphe d'un point de vue macroscopique. Deux applications de cette méthode sont alors présentées : l'une en épidémiologie et l'autre en neurosciences. On se concentre particulièrement sur l'application en neurosciences, qui permet de décrire la dynamique d'un réseau de neurones biologiques et de généraliser le modèle de Wilson-Cowan. En effet, on arrive à proposer deux nouveaux systèmes qui sont des extensions de ce modèle, puisqu'elles permettent de considérer des corrélations entre les états de différents neurones. On présente finalement un exemple dans lequel le comportement dynamique de l'une de ces extensions est plus près du comportement du processus stochastique que celui du modèle de Wilson-Cowan. / Modeling biological phenomena that involve a very large number of individual units is always a challenge. In this context, many models consist in a system of ordinary differential equations that gives an overview of the mean dynamics of a phenomenon. Among these is the Wilson-Cowan model, which describes the activity of a biological neural network. An important weakness of this model is that it neglects all possible correlations between the states of different neurons. The main goal of this thesis is to generalize Wilson-Cowan's model to describe such correlations. We also seek to get a better understanding of its mathematical foundations, as well as its links with other models used in epidemiology and ecology. To tackle this problem, we construct a continuous-time Markov chain to describe the evolution of the states of the nodes of a large graph. Such a process can then model a biological phenomenon from a microscopic point of view. Since the size of the graph is very large, this microscopic model is hard to analyze. Hence, from the stochastic process, we use an averaging method to obtain a system of ordinary differential equations which describes the dynamics on the graph from a macroscopic point of view. We show two applications of this method : one in epidemiology and the other in neuroscience. We focus on the application in neuroscience, which leads to a description of the dynamics a biological neural network and generalizes Wilson-Cowan's model. Indeed, we introduce two new systems which are extensions of this model since they can describe correlations between the states of different neurons. Finally, we present an example where the behavior of the stochastic process is closer to the dynamical behavior of one of the extensions than that of Wilson-Cowan's model.

Tableau d’honneur de la Faculté des études supérieures et postdoctorales, 2009-2010 / L'objectif principal de ce travail est, d'une part, d'étudier l'image numérique d'un opérateur borné sur un espace de Hilbert H et, d'autre part, d'établir que, pour toute matrice carrée A et pour tout polynôme p : C C, on a ||p(A)||< 11,08 sup \p(z)\. z€W(A) On prouve aussi que cette inégalité est valide pour n'importe quel opérateur borné A sur H et n'importe quelle fonction p continue sur W(A) et holomorphe en son intérieur. Comme application, on montre que chaque opérateur borné T est semblable à un opérateur ayant une 9l4y (T)-dilatation normale.

La première théorie de vagues a été proposée par Sir George Biddell Airy en 1845. Elle est, aujourd'hui encore, la théorie de vagues la plus utilisée. TI y a ensuite eu plusieurs théories de vagues, mais dû à la complexité des formulations, elles ont été placées au deuxième plan, par rapport aux applications pratiques. Plusieurs paramètres de vagues, ainsi que différents phénomènes d'intérêt, sont encore étudiés à partir de la théorie linéaire d'Airy, même si on sait que cette théorie n'est pas valide pour toutes les conditions qui vont se présenter aux ingénieurs, dans la pratique, surtout quand le fond joue un rôle transformateur sur le profil de la vague. Dans le présent travail sont étudiées la théorie linéaire d'Airy (1845), la théorie de Stokes (1847) du deuxième ordre, la théorie de Stokes du troisième ordre proposée par Skjelbreia (1958), les théories de Stokes du cinquième ordr~ proposées par Isobe, Nishinuura et Horikawa (1978) et celle proposée par Fenton (1985), les théories d'onde cnoïdale du premier ordre proposées par Masch et Wiegel (1961) et par Svendsen (2006), la théorie d'onde cnoïdale du troisième ordre proposée par Isobe, Nishimura et Horikawa (1978) et les théories d'onde solitaire du premier ordre proposées par Masch et Wiegel (1961) et Svendsen (2006). Pour chaque théorie de vague étudiée sont analysés la longueur d'onde, la célérité de la vague, le nombre d'Ursell, la distance entre le fond et le creux de la vague, l'énergie moyenne de la vague, la puissance de la vague, les transports de masse lagrangien et eulérien, la variation du niveau d'eau moyen, la contrainte de radiation principale et la contrainte de radiation perpendiculaire. Dans le présent travail sont présentées les différentes formulations de chaque théorie étudiée, ainsi que des graphiques et tableaux pour montr~r le comportement des différents paramètres de vagues. Comme résultat du présent travail, un outil Excel est fourni, qui permettra de connaître le comportement des différents paramètres de vagues, inconnus pour l'instant pour les théories de vagues les plus utilisées.

Tableau d'honneur de la Faculté des études supérieures et postdorales, 2014-2015 / Soit K ⊆ C compact et soit X le complément de K par rapport à la sphère de Riemann, X := C∞ \ K. La capacité analytique de K, notée γ(K), est définie par [symbol]. La capacité analytique des sous-ensembles compacts du plan fut introduite par Ahlfors en 1947 dans le but d’étudier un problème soulevé par Painlevé en 1888 demandant une caractérisation géométrique des sous-ensembles compacts dits effaçables. Le problème de Painlevé se révéla fort difficile et il fallut attendre plus d’un siècle avant d’en obtenir une solution satisfaisante, grâce aux travaux de Xavier Tolsa et plusieurs autres. La présente thèse de doctorat vise à étudier en détail la capacité analytique. Plus précisément, dans la première partie de la thèse, on développe une méthode efficace et rigoureuse pour le calcul numérique de la capacité analytique. Cette méthode est d’autant plus intéressante qu’il est extrêmement difficile en pratique d’estimer la capacité analytique d’un ensemble compact donné. On utilise ensuite cette méthode, implémentée sur ordinateur à l’aide du logiciel matlab, pour étudier le célèbre problème de la sous-additivité de la capacité analytique. Ce problème réputé fort difficile fut énoncé en 1967 par Vitushkin et demeure encore à ce jour sans réponse. Plusieurs expérimentations numériques de même que certains des résultats obtenus mènent à la formulation d’une conjecture qui, si démontrée, impliquerait que la capacité analytique est bel et bien sous-additive. Enfin, on démontre la conjecture dans un cas particulier. La seconde partie de la thèse est dédiée à l’étude des fonctions d’Ahlfors, fonctions extrémales pour le problème de la capacité analytique. Plus précisément, on s’intéresse à un problème soulevé par Jeong et Taniguchi visant à déterminer les fonctions d’Ahlfors qui sont des fonctions rationnelles. On donne une solution partielle au problème, fournissant ainsi plusieurs nouveaux exemples explicites de fonctions d’Ahlfors et de capacités analytiques.

Cette thèse est la poursuite des travaux entrepris dans [13] pour le développement d’un nouvel estimateur d’erreur de type hiérarchique. Cet estimateur permet d’adapter un maillage et d’obtenir des solutions plus précises d’une équation aux dérivées partielles. La méthode est relativement générale et peut s’appliquer à une grande variété de problèmes, et permet théoriquement de traiter des approximations de n’importe quel degré. Elle mène, lorsque la solution le permet, à des maillages fortement anisotropes et se compare avantageusement aux méthodes basées sur la définition d’une métrique. Des améliorations substantielles à la méthode ont été apportées dans le cadre de ce travail. Les principaux objectifs étant de réduire fortement les coûts de calcul associés à la méthode et de la rendre beaucoup plus robuste de manière générale. Ainsi, on a revu et amélioré les algorithmes de reconstruction des gradients par un scaling approprié, de réinterpolation des champs en introduisant une méthode de krigeage. On a également introduit un algorithme de remaillage des coquilles à l’aide d’une méthode dite de «ear clipping» originale en 3D. L’algorithme de déplacement de sommets a également été revu. Enfin la gestion des frontières courbes est également considérée. De nombreux exemples bi et tridimensionnels sont présentés pour illustrer l’efficacité de l’estimateur. Des problèmes académiques sont d’abord considérés, y compris des problèmes singuliers où on montre que l’on obtient des taux de convergence optimaux (par rapport au nombre de degrés de liberté). Par la suite, on s’intéresse à différents domaines d’applications, notamment en mécanique des fluides et en neurosciences. Enfin, un algorithme général pour l’adaptation de maillage dans le cas instationnaire sera également décrit et testé. / This thesis is the continuation of the work undertaken in [13] for the development of a new a posteriori error estimator based on hierarchical basis. This estimator allows to adapt a finite element mesh and to obtain more accurate solutions of various partial differential equations. Most importantly, it leads, whenever possible, to strongly anisotropic meshes, and compares favorably with methods based on the definition of a metric. The method is fairly general and can be applied to approximations of any degree and to a wide variety of problems. In this work, several significant improvements have been added to the initial method. The objectives being to substantially reduce the calculation costs associated with the method and to make it much more robust. Many substantial contributions have been made to the various algorithms. Let’s mention the introduction of an appropriate scaling in the gradient recovery method, kriging for the reinterpolation of the different fields during adaptation, an original ear clipping method in 3D for local remeshing. A different approach for nodes displacement is also condirered. Finally we detailled how we take care of curved borders. Many bi and three-dimensional examples are presented to illustrate the efficiency of the estimator. Academic problems are first considered, including classical singular problems where optimal rates of convergence are observed (relative to the number of degrees of freedom). Applications in different fields such as fluid mechanics and neurosciences are then considered. Finally an algorithm for time-dependent problems is presented and tested.

Cette thèse porte sur la simulation numérique des écoulements bi-fluides par l'approche à interface diffuse. La description mathématique d'un écoulement bi-fluide par l'approche à interface diffuse consiste en une équation de Navier-Stokes modifiée couplée à un modèle de capture de l'interface mobile entre les deux fluides. Dans cette thèse, pour la capture de l'interface mobile nous avons porté notre attention sur le modèle de Allen-Cahn. En premier lieu nous nous sommes intéressés de prime abord à la résolution numérique du système semi-discrétisé en temps et totalement implicite Navier-Stokes/Allen-Cahn (NSAC). Pour ce faire nous avons développé un algorithme itératif basé sur la méthode du point fixe. Nous avons montré qu'à chaque itération, le système d'équations (contenu dans l'algorithme) est bien défini ; de plus, la solution de l'équation de Allen-Cahn satisfait le principe du maximum. Par la suite nous avons montré que l'algorithme de point fixe converge et que sa limite est la solution du système NSAC semi-discret. Si cette première méthode itérative nous a donné une méthode de résolution, elle n'est pas satisfaisante quant à la performance. En second lieu nous proposons un nouveau schéma de discrétisation en temps à pas fractionnaire inconditionnellement stable. Utilisant une approche de type point fixe (une projection couplée) nous avons montré la convergence à chaque pas de temps et que la limite correspond à la solution du système semi-discret (donnant ainsi l'existence et l'unicité de la solution). Nous concluons enfin avec des applications numériques aux fins d'illustrer la pertinence et les potentielles limitations du modèle d'une part, puis les performances de notre méthode de résolution du système Navier-Stokes/Allen-Cahn d'autre part.

Dans ce mémoire, nous étudions la stabilité des équations fonctionnelles, la cohomologie des algèbres de Banach ainsi que les liens utiles entre ces deux théories. Nous présentons au chapitre 2 une introduction à la stabilité des équation fonctionnelles et quelques nouveaux résultats concernant les fonctions strictement e-additives. Au chapitre 3, nous étudions les notions de base de la cohomologie, incluant le produit tensoriel et l'amenabilité d'une algèbre. Finalement, au chapitre 4, nous explorons les liens entre ces deux domaines. Ce chapitre est principalement constitué de travail original. Nous y faisons le lien entre l'amenabilité d'un groupe et la stabilité de l'équation de Cauchy sur ce groupe. De plus, dans des circonstances précises, nous proposons deux approches possibles pour relier le fait que Hn (l1 (S), l°°(S)) est un espace de Banach, où S est un semi-groupe, avec la stabilité de certaines équations sur S.

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La thèse est consacrée essentiellement à l'étude de systèmes non linéaires d'évolution issus d'un modèle de Boussinesq : couplage entre les équations de Navier-stokes avec un second membre F(µ), où F est une force de gravité proportionnelle à des variations de densité qui dépendent de la température et l'équation de l'énergie.<br />Le premier chapitre nous donne un résultat d'existence d'une solution faible-renormalisée du système de Boussinesq en dimension 2, dans le cas où F est bornée.<br />Dans le chapitre 2, on aborde le cas de fonctions F plus générales : F vérifie une hypothèse de croissance. On démontre l'existence de solutions pour toutes données initiales ou pour des données initiales petites selon la croissance de F.<br />Dans le chapitre 3, nous faisons une généralisation des résultats du chapitre 2 mais sans le terme de convection.<br />Dans le chapitre 4, le manque de stabilité de l'énergie de dissipation dans L1(Q) en dimension 3, nous contraint à transformer de façon formelle le système de Boussinesq. On démontre l'existence d'une solution faible de ce nouveau système en dimension 3.