Nous utilisons la méthode d'équivalence de Cartan pour réaliser une étude géométrique des équations différentielles ordinaires du second ordre et du premier ordre, sous l'action des transformations ponctuelles préservant les aires dans le cas du second ordre et de certaines autres transformations dans le cas du premier. Cela nous permet de caractériser de manière invariante toutes les équations différentielles du second ordre se ramenant à y"=0. De plus nous associons à toute telle équation, une connexion de Cartan affine normale dont la courbure contient tous ses invariants. Dans le cas du premier ordre nous apportons un regard nouveau sur une étude de R. Liouville concernant l'équation différentielle d'Abel. Enfin dans un autre ordre d'idées nous réalisons une étude de certaines solutions algébriques de l'équation de Riccati. / Abstract

Ce travail est constitué de deux parties indépendantes traitant chacune d'un problème issu de la théorie du contrôle des équations aux dérivées partielles. La première partie est consacrée à l'étude d'un feedback explicite et déjà connu, s'appliquant à des systèmes linéaires, réversibles en temps et éventuellement munis d'un opérateur de contrôle non-borné. On justifie le caractère bien posé du problème en boucle fermée via la théorie des semi-groupes puis on étudie le taux de décroissance des solutions du système régulé. La seconde partie concerne un problème d'observation pour la corde vibrante : on détermine comment choisir des instants d'observation pour que la position de la corde à ces instants permette de retrouver les conditions initiales tout en préservant une certaine régularité. La méthode, qui repose sur des résultats d'approximation diophantienne, est ensuite étendue à d'autres systèmes. En utilisant une méthode de dualité on démontre aussi un résultat de contrôlabilité exacte.

L'objectif de cette thèse est de développer une nouvelle méthodologie pour la détection active de défaillances, basée sur approche multimodèle et robuste des fautes. Ce travail prolonge des recherches effectuées dans le projet Metalau de l'Inria. L'apport essentiel de cette thèse est la prise en compte de modèles évoluant en boucle fermée. On utilise une approche multi-modèle pour modéliser le modèle en fonctionnement normal et le modèle défaillant. Les avantages potentiels de l'utilisation d'un feedback dynamique linéaire et ses propriétés de robustesse sont analysés dans la construction de signaux de détection auxiliaires. On compare les résultats obtenus avec ceux du cas boucle ouverte. La formulation du problème de détection active dans le cas d'un modèle en boucle fermée est nouvelle et repose sur la prise en considération de la norme du signal de détection auxiliaire comme critère d'optimisation. On considère aussi des fonctions coût plus générales, telles celles qui sont utilisées pour mesurer la performance de feedbacks dans des problèmes de la théorie de la commande linéaire robuste. La solution complète repose sur la résolution de plusieurs problèmes d'optimisation non standards / The aim is to develop a novel theory of robust active failure detection based on multi-model formulation of faults. The original method was already proposed by the Metalau group of INRIA. We have continued to work on the extension of this approach to more general cases. The focus is on the effects of feedback on the previous approach. The multi-model approach is still used to model the normal and the failed systems; however the possible advantages of using linear dynamic feedback in the construction of the auxiliary signal for robust fault detection is considered and the results are compared to the previously developed open-loop setup. An original formulation of the active fault detection problem using feedback is developed. The norm of the auxiliary signal is considered as a possible cost criterion. Also, we have considered a more general cost function that has already been used for measuring the performance of feedback configurations in Linear Control Theory. We have given a complete solution to this problem. In order to find a complete solution, several mathematical problems are solved

L'objectif de la thèse est de proposer une stratégie robuste permettant l'identification en dynamique transitoire de loi de comportement gouvernant la réponse du matériau jusqu'à la rupture. Il s'agit d'être à même d'identifier les paramètres matériaux supposés gouverner la rupture dans un contexte où les données expérimentales sont fortement incertaines. Faisant suite à un premier travail où la stratégie avait été élaborée dans un cadre élastique, le travail s'est concentré sur l'extension de la méthode d'identification pour les cas non linéaires tout d'abord la viscoplasticité puis les modéles d'endommagement à taux limités.<br />Les difficultés rencontrées dans ces cas résident dans la non-linéarité et le caractère instable du problème de minimisation sous contraintes non linéaires auquel la formulation nous amène. Une extension de la méthode LATIN aux problèmes mal posés a été proposée et développée afin de permettre la résolution itérative de ce type de problèmes d'optimisation. La résolution de ces derniers fait appel à une méthode de traitement robuste issue du contrôle optimal et basée sur l'équation de Riccati.<br />Une fois ces difficultés résolues et dans les cas simples unidimensionnels traités pour le moment, la stratégie d'identification proposée s'avère très robuste face aux perturbations des mesures même dans le cas très sévère de la localisation et de la rupture.

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Concorder un modèle à certaines observations, voilà qui résume assez bien ce que l’apprentissage machine cherche à accomplir. Ce concept est maintenant omniprésent dans nos vies, entre autre grâce aux percées récentes en apprentissage profond. La stratégie d’optimisation prédominante pour ces deux domaines est la minimisation d’un objectif donné. Et pour cela, la méthode du gradient, méthode de premier-ordre qui modifie les paramètres du modèle à chaque itération, est l’approche dominante. À l’opposé, les méthodes dites de second ordre n’ont jamais réussi à s’imposer en apprentissage profond. Pourtant, elles offrent des avantages reconnus qui soulèvent encore un grand intérêt. D’où l’importance de la méthode du col, qui unifie les méthodes de premier et second ordre sous un même paradigme. Dans ce mémoire, nous établissons un parralèle direct entre la méthode du col et le domaine du contrôle optimal ; domaine qui cherche à optimiser mathématiquement une séquence de décisions. Et certains des problèmes les mieux compris et étudiés en contrôle optimal sont les commandes linéaires quadratiques. Problèmes pour lesquels on connaît très bien la solution optimale. Plus spécifiquement, nous démontrerons l’équivalence entre une itération de la méthode du col et la résolution d’une Commande Linéaire Quadratique (CLQ). Cet éclairage nouveau implique une approche unifiée quand vient le temps de déployer nombre d’algorithmes issus de la méthode du col, tel que la méthode du gradient et celle des gradients naturels, sans être limitée à ceux-ci. Approche que nous étendons ensuite aux problèmes à horizon infini, tel que les modèles à équilibre profond. Ce faisant, nous démontrons pour ces problèmes que calculer les gradients via la différentiation implicite revient à employer l’équation de Riccati pour solutionner la CLQ associée à la méthode du gradient. Finalement, notons que l’incorporation d’information sur la courbure du problème revient généralement à rencontrer une inversion matricielle dans la méthode du col. Nous montrons que l’équivalence avec les CLQ permet de contourner cette inversion en utilisant une approximation issue des séries de Neumann. Surprenamment, certaines observations empiriques suggèrent que cette approximation aide aussi à stabiliser le processus d’optimisation quand des méthodes de second-ordre sont impliquées ; en agissant comme un régularisateur adaptif implicite. / Machine learning entails training a model to fit some given observations, and recent advances in the field, particularly in deep learning, have made it omnipresent in our lives. Fitting a model usually requires the minimization of a given objective. When it comes to deep learning, first-order methods like gradient descent have become a default tool for optimization in deep learning. On the other hand, second-order methods did not see widespread use in deep learning. Yet, they hold many promises and are still a very active field of research. An important perspective into both methods is steepest descent, which allows you to encompass first and second-order approaches into the same framework. In this thesis, we establish an explicit connection between steepest descent and optimal control, a field that tries to optimize sequential decision-making processes. Core to it is the family of problems known as Linear Quadratic Regulation; problems that have been well studied and for which we know optimal solutions. More specifically, we show that performing one iteration of steepest descent is equivalent to solving a Linear Quadratic Regulator (LQR). This perspective gives us a convenient and unified framework for deploying a wide range of steepest descent algorithms, such as gradient descent and natural gradient descent, but certainly not limited to. This framework can also be extended to problems with an infinite horizon, such as deep equilibrium models. Doing so reveals that retrieving the gradient via implicit differentiation is equivalent to recovering it via Riccati’s solution to the LQR associated with gradient descent. Finally, incorporating curvature information into steepest descent usually takes the form of a matrix inversion. However, casting a steepest descent step as a LQR also hints toward a trick that allows to sidestep this inversion, by leveraging Neumann’s series approximation. Empirical observations provide evidence that this approximation actually helps to stabilize the training process, by acting as an adaptive damping parameter.

Dans cette thèse sont montrés des développements de l'approximation de la phase aléatoire (RPA) dans le contexte de théories à séparation de portée. On présente des travaux sur le formalisme de la RPA en général, et en particulier sur le formalisme "matrice diélectrique" qui est exploré de manière systématique. On montre un résumé d'un travail sur les équations RPA dans le contexte d'orbitales localisées, notamment des développements des orbitales virtuelles localisées que sont les "orbitales oscillantes projetées" (POO). Un programme a été écrit pour calculer des fonctions telles que le trou de d'échange, la fonction de réponse, etc... sur des grilles de l'espace réel (grilles parallélépipédiques ou de type "DFT"). On montre certaines de ces visualisations. Dans l'espace réel, on expose une adaptation de l'approximation du dénominateur effectif (EED), développée originellement dans l'espace réciproque en physique du solide. Également, les gradients analytiques des énergies de corrélation RPA dans le contexte de la séparation de portée sont dérivés. Le formalisme développé ici à l'aide d'un lagrangien permet une dérivation tout-en-un des termes courte- et longue-portée qui émergent dans les expressions du gradient, et qui montrent un parallèle intéressant. Des applications sont montrées, telles que des optimisations de géométries aux niveaux RSH-dRPA-I et RSH-SOSEX d'un ensemble de 16 petites molécules, ou encore le calcul et la visualisation des densités corrélées au niveau RSH-dRPA-I / In this thesis are shown developments in the random phase approximation (RPA) in the context of range-separated theories. We present advances in the formalism of the RPA in general, and particularly in the "dielectric matrix" formulation of RPA, which is explored in details. We show a summary of a work on the RPA equations with localized orbitals, especially developments of the virtual localized orbitals that are the "projected oscillatory orbitals" (POO). A program has been written to calculate functions such as the exchange hole, the response function, etc... on real space grid (parallelepipedic or of the "DFT" type) ; some of those visualizations are shown here. In the real space, we offer an adaptation of the effective energy denominator approximation (EED), originally developed in the reciprocal space in solid physics. The analytical gradients of the RPA correlation energies in the context of range separation has been derived. The formalism developed here with a Lagrangian allows an all-in-one derivation of the short- and long-range terms that emerge in the expressions of the gradient. These terms show interesting parallels. Geometry optimizations at the RSH-dRPA-I and RSH-SOSEX levels on a set of 16 molecules are shown, as well as calculations and visualizations of correlated densities at the RSH-dRPA-I level