Deux concepts très importants dans mes travaux sont ceux de la diffusion (mouvement aléatoire des particules) et de ceux de la transformée de Fourier. La diffusion des particules peut être décrite par l'équation de la diffusion, dont la solution fondamentale a un forme beaucoup plus complexe que sa transformée de Fourier. Tout d'abord, nous profitons de la forme spéciale de la transformée de Fourier (dans l'espace) de la fonction de Green de l'équation de diffusion pour formuler des méthodes numériques qui sont locales en temps pour la solution des équations avec mémoire. L'idée principale est que la solution sera calculée dans le domaine de Fourier, pour éviter d'évaluer les intégrales de convolution en temps portent la " mémoire ". Ce travail a été rendu possible par le développement d'une quadrature adaptée de l'intégrale de Fourier où un petit nombre de points dans la variable de Fourier était suffisant pour une bonne résolution du problème dans l'espace physique, sur un intervalle de temps important. En particulier, nous avons développé une méthode numérique pour simuler la diffusion dans des domaines non bornés avec sources et l'avons appliquée à la modélisation de la croissance des cristaux, à l'aide du modèle du champ de phase. Puis, afin d'étendre cette approche à des problèmes aux limites, nous avons abordé la question de l'évaluation des potentiels de simple couche et de double couche sur le bord du domaine. Enfin, nous avons généralisé l'idée de remplacer les intégrales de convolution en temps par une quadrature efficace dans le domaine de Fourier, aux intégrales et aux dérivés d'ordres fractionnaires, et obtenu une borne rigoureuse de l'erreur de quadrature. Nous avons aussi appliqué cette approche à une équation des ondes fractionnaire. En 2010, j'ai commencé à appliquer les outils numériques et analytiques à l'équation de Bloch-Torrey, dans le domaine de l'imagerie par résonance magnétique de la diffusion (IRMd) du cerveau. Ce travail a commencé dans le cadre d'une collaboration avec des physiciens d'IRM de Neurospin. Nous avons essayé d'expliquer la relation entre la géométrie cellulaire, la perméabilité membranaire et le signal d'IRMd obtenu. Certaines difficultés de la modélisation et de la simulation du signal d'IRMd au niveau de l'échelle de temps et de l'espace viennent de la physique et de la biologie d'IRMd du cerveau. Premièrement, pour des raisons biologiques et techniques, l'IRMd ne peut mesurer que des temps de diffusion compris entre une et cent millisecondes, correspondant à une distance de diffusion moyenne de 2,5 à 25 micromètres. Cette distance est moyennée sur toutes les molécules d'eau, et la distance de diffusion réelle peut être différente selon que la localisation, au début de la mesure, des molécules d'eau : dans les corps neuronaux, dans les neurites (dendrites et axones) ou dans l'espace extra-cellulaire. Deuxièmement, certaines caractéristiques de la matière grise du cerveau rendent l'analyse et la simulation très difficiles: \begin{enumerate} \item Les cellules sont géométriquement complexes. Les neurones ont un corps solide, mesurant 1 à 10 micromètres de diamètre auquel sont attachés de longues neurites (axones et dendrites) qui mesurent de l'ordre d'un micromètre de diamètre et de plusieurs centaines de micromètres de longueur. \item Les cellules ont une répartition très dense. Les corps neuronaux occupent 12\% du volume du cortex cérébral, les axones 34\%, les dendrites 35\%, l'espace extracellulaire 6\%, pour une largeur moyenne de 10 à 30 nanomètres. \item L'organisation cellulaire est complexe. Les cellules du cortex sont organisées en couches, avec des colonnes de cellules liant différentes couches. \item Les cellules sont perméables. En général, l'eau peut se déplacer entre les cellules et l'espace extracellulaire. \end{enumerate} La résolution d'IRMd est de l'ordre de 1 mm$^3$, ce qui signifie que chaque pixel de l'image affiche les caractéristiques de diffusion moyennées dans un volume de tissu (voxel) de 1 mm$^3$, ce qui est très grand devant les échelles spatiales cellulaires. Pour modéliser le signal de l'IMRd dans un voxel, il faut simuler l'aimantation à l'intérieur de ce voxel et calculer son intégrale au moment de l'écho. La distance de diffusion moyenne ne dépassant pas 25 micromètres, il suffit de faire le calcul dans un domaine légèrement plus grand qu'un voxel pour tenir compte de la diffusion de toutes les molécules d'eau qui auront " vu " ce voxel durant le temps de diffusion. De plus, si nous supposons que le voxel contient un environnement cellulaire qui ne varie pas beaucoup à dans le voxel, nous utilisons un domaine de calcul plus petit, celui-ci devra ne contenir qu'une " portion représentative " du tissu dans le voxel. Pour étudier le lien entre l'atténuation du signal d'IRMd et les propriétés géométriques du tissu, tels que le diamètre moyen des cellules et la fraction volumique cellulaire, nous avons généré, dans un premier temps, des domaines de calcul qui contiennent une configuration cellulaire à étudier. A terme, nous envisageons des simulations sur beaucoup de configurations pour obtenir des résultats statistiquement significatifs. Actuellement, nous construisons une seule configuration cellulaire et résolvons le problème forward et inverse associé. Le signal d'imagerie par résonance magnétique de diffusion dans le tissu biologique peut être considéré comme une sorte de " transformée de Fourier " de la fonction de densité de probabilité de déplacement de l'eau dans les milieux hétérogènes. L'aimantation des protons de l'eau en tissu biologique en présence d'impulsions du gradient de champ magnétique, peut être modélisée par une équation aux dérivées partielles (EDP), l'équation de Bloch-Torrey microscopique à compartiments multiples. Cette EDP peut être comprise comme l'attribution aux molécules d'eau en milieu hétérogène, d'une fréquence spatiale qui dépend de leurs positions. Le signal d'IRMd est l'intégrale de la solution de cette EDP au moment de l'écho. Nous avons résolu numériquement cette EDP en couplant une discrétisation spatiale cartésienne standard avec une discrétisation en temps adaptative (Runge-Kutta Chebyshev " RKC ") et nous avons étudié les caractéristiques de la diffusion d'un modèle de la matière grise du cerveau constitué de cellules cylindriques et sphériques dans l'espace extracellulaire. Puis, par homogénéisation, nous avons formulé un nouveau modèle macroscopique, sous forme d'un système d'équations aux dérivées ordinaires (EDO), pour le signal d'IRMd. Ensuite, nous avons montré par des simulations numériques que ce modèle d'EDO donne une bonne approximation du signal du modèle d'EDP complet pour des temps de diffusion relativement longs. Je mentionne aussi le travail de deux doctorants que je co-encadre actuellement. Dang Van Nguyen (soutenu par le projet SIMUDMRI, ANR COSINUS 2010-2013) a couplé une discrétisation d'éléments finis avec la méthode RKC pour obtenir une discrétisation plus précise des surfaces cellulaires. Il travaille sur l'analyse du signal de l'IRMd des neurones isolés. Huan Tuan Nguyen (soutenu par une bourse de l'École Doctorale " Sciences et Technologies de l'Information, des Télécommunications et des Systèmes " ED STITS, 2010-2013) travaille sur le problème inverse du modèle d'EDO. Enfin, j'envisage trois orientations futures de mes recherches dans l'IRMd. \begin{enumerate} \item En collaboration avec le centre Neurospin IRM, confronter les résultats numériques du modèle d'EDP avec les données expérimentales IRMd des ganglions (réseaux neuronaux) de l'Aplysie (limace de mer géante). \item Prendre en compte l'écoulement sanguin dans les micro-vaisseaux du cerveau, via un nouveau modèle d'EDP. \item Obtenir la formulation d'un nouveau modèle d'EDO valable aux temps de diffusion plus courts ou en présence des cellules plus grandes. \end{enumerate}