- / -

Στη διπλωματική εργασία προς παρουσίαση, πραγματευόμαστε ένα νέο είδος γραφημάτων, τα χρονικά γραφήματα, και διάφορες παραλλαγές τους. Ένα χρονικό γράφημα είναι μια διατεταγμενη τριάδα G={V,E,L}, όπου V ένα μη κενό πεπερασμένο σύνολο που καλείται σύνολο κορυφών, E ένα σύνολο m στοιχείων, καθένα από τα οποία είναι δισύνολο στοιχείων του V (καλείται σύνολο ακμών), και L= {L_e, για κάθε e στοιχείο του E} = {L_e_1, L_e_2, ..., L_e_m}, όπου L_e_i, i = 1,..., m, σύνολο θετικών ακεραίων τιμών που αντιστοιχίζονται στην ακμή e_i του συνόλου E (καλείται ανάθεση χρονικών ετικετών ή απλώς ανάθεση). Οι τιμές που αντιστοιχίζονται σε κάθε ακμή του γραφήματος καλούνται χρονικές ετικέτες της ακμής και δηλώνουν τις χρονικές στιγμές, κατά τις οποίες έχουμε τη δυνατότητα να τη διασχίσουμε (από το ένα της άκρο προς το άλλο). Για να αντιληφθεί κανείς το ενδιαφέρον των χρονικών γραφημάτων, μπορεί να σκεφτεί τη δυνατότητα εφαρμογής τους στην καθημερινότητα. Για παράδειγμα, οι χρονικές ετικέτες που ανατίθενται σε μία ακμή ενός κατευθυνόμενου χρονικού γραφήματος μπορούν να παραλληλιστούν με τις ώρες, στις οποίες γίνονται αναχωρήσεις αεροπλάνων από μία πόλη προς μια άλλη. Έτσι, η μελέτη των χρονικών γραφημάτων θα μπορούσε να συμβάλει στην οργάνωση των πτήσεων ενός αεροδρομίου. Ένα χρονικό μονοπάτι (ή «ταξίδι») σε ένα χρονικό γράφημα είναι ένα μονοπάτι, στις ακμές του οποίου μπορούμε να βρούμε αυστηρά αύξουσα σειρά χρονικών ετικετών. Στην εργασία, μεταξύ άλλων, γίνεται μελέτη της συνδετικότητας στα χρονικά γραφήματα, καθώς και κατασκευή και μελέτη αλγορίθμων εύρεσης χρονικών μονοπατιών («ταξιδίων») που φθάνουν το δυνατόν συντομότερα στον προορισμό τους (τελική κορυφή μονοπατιού). Επιπλέον, μελετώνται στατιστικά τα Χρονικά Γραφήματα, με επικέντρωση στο αναμενόμενο πλήθος χρονικών μονοπατιών σε ένα γράφημα, καθώς και στη Χρονική Διάμετρο ενός γραφήματος, όπως αυτή ορίζεται στην εργασία. / In the thesis, we are dealing with a new type of graphs,called Temporal Graphs, and several variants. A temporal graph is an ordered triplet G={V,E,L}, where V stands for a nonempty finite set (called set of vertices), E stands for a set of m elements, each of which are 2-element subsets of V (called set of edges), and L= {L_e, for all e in E} = {L_e_1, L_e_2, ..., L_e_m}, where L_e_i, i = 1, ..., m, is a set of positive integers mapped to edge e_i in E (called assignment of time labels or simply assignment). The values assigned to each edge of the graph are called time labels of the edge and indicate the times at which we can cross it (from one end to the other). In order to understand the interest of temporal graphs, one may think their applicability to everyday life. For example, the time labels assigned to an edge of a directed temporal graph can be paralleled to the flight departure times from one city to another. Therefore, the study of temporal graphs could contribute to the organization of flights at an airport. A temporal path (or «journey») in a temporal graph is a path, on the edges of which we can find strictly ascending time labels. In the thesis, among others, we study the connectivity of temporal graphs and we construct and study several algorithms that find temporal paths which arrive the soonest possible at their destination (final vertice of the path). Furthermore, we examine temporal graphs statistically, focusing on the expected number of temporal paths in a graph as well as in the Temporal Diameter of a graph, also defined in the thesis.

Η παρούσα διπλωματική εργασία βρίσκεται στον ευρύτερο χώρο της μαθηματικής στατιστικής θεωρίας των γραφημάτων. Κύριος στόχος μας, όπως αναφέρει και ο τίτλος, είναι η μοντελοποίηση γραφημάτων, με απώτερο σκοπό την προσαρμογή, προσομοίωση και διάγνωση αυτών μέσω μοντέλων εκθετικών τυχαίων γραφημάτων. Το πρώτο κεφάλαιο δίνει μια συνοπτική παρουσίαση της διατύπωσης του προβλήματος και της θεωρίας των μοντέλων των εκθετικών τυχαίων γραφημάτων. Η βασική ιδέα είναι να θεωρήσουμε ως τυχαίες μεταβλητές τους δυνατούς δεσμούς μεταξύ των κόμβων ενός δοθέντος γραφήματος. Η γενική μορφή ενός μοντέλου εκθετικά τυχαίου γραφήματος καθορίζεται από κάποιες υποθέσεις σχετικές με τις εξαρτήσεις μεταξύ αυτών των τυχαίων μεταβλητών. Παρουσιάζουμε κάποιες διαφορετικές υποθέσεις εξάρτησης και τα αντίστοιχα μοντέλα, όπως τα γραφημάτα Bernoulli, τα δυαδικώς - ανεξάρτητα και τα τυχαία γραφήματα Markov. Επίσης, εξετάζουμε την ενσωμάτωση των χαρακτηριστικών, που μπορούν να έχουν οι κόμβοι, σε μοντέλα κοινωνικής επιλογής, δηλαδή, σε περιπτώσεις που οι συνδέσεις του γραφήματος μπορούν να προβλέψουν τα χαρακτηριστικά των κόμβων. Συνοψίζουμε κάποιες καινούργιες υποθέσεις εξάρτησης, που είναι πολυπλοκότερες των πρώτων τέτοιων υποθέσεων της σχετικής βιβλιογραφίας. Συζητούμε τις διαδικασίες της στατιστικής εκτίμησης, συμπεριλαμβανομένων των νέων μεθόδων για την εκτίμηση της μέγιστης πιθανοφάνειας Monte Carlo. Τέλος, παρουσιάζουμε τις νέες προδιαγραφές για μοντέλα εκθετικών τυχαίων γραφημάτων, που έχουν προτείνει οι Snijders et al., οι οποίες βελτιώνουν σημαντικά τα αποτελέσματα της προσαρμογής εμπειρικών δεδομένων για εκθετικά μοντέλα ομοιογενών τυχαίων γραφημάτων Markov. Επιπλέον, οι νέες αυτές προδιαγραφές μας βοηθούν να αποφύγουμε το πρόβλημα του σχεδόν-εκφυλισμού, που συχνά παρεμβάλλεται στη διαδικασία της προσαρμογής μοντέλων εκθετικών τυχαίων γραφημάτων Markov, ιδιαίτερα όταν αυτά προέρχονται από εμπειρικά δεδομένα, που έχουν υψηλό βαθμό μεταβατικότητας. Η μελέτη μιας τέτοιας νέας στατιστικής με υψηλότερης τάξης μεταβατικότητα επιτρέπει την εκτίμηση των παραμέτρων των μοντέλων των εκθετικών γραφημάτων σε πολλές (αλλά όχι όλες) περιπτώσεις, στις οποίες διαφορετικά θα ήταν αδύνατο να εκτιμηθούν οι παράμετροι των μοντέλων των ομοιογενών γραφημάτων Markov. Στο δεύτερο, τρίτο και τέταρτο κεφάλαιο της εργασίας εφαρμόζουμε τις παραπάνω μεθόδους, αντιστοίχως, για τρείς αναλύσεις εμπειρικών δεδομένων: το δίκτυο Florentine, το δίκτυο Faux Magnolia High και τα δίκτυα IPRED και SWPAT. Σε αυτά τα κεφάλαια, παρουσιάζουμε τις διαδικασίες της προσαρμογής, προσομοίωσης και διάγνωσης με παράθεση των αντίστοιχων εντολών, χρησιμοποιώντας τα πακέτα statnet - ermg και sna, τα οποία δουλεύουν στο περιβάλλον του πακέτου ελεύθερου λογισμικού R. Τέλος, στο παράρτημα της εργασίας δίνουμε μια σύντομη εισαγωγή στο περιβάλλον R και σε κάποιες γενικές εντολές αυτού. / This specific project has to do with mathematical statistical graph theory. Our main target is to fit, simulate and diagnose models through exponential random graph models. In the first chapter we give a short presentation of the problem and the theory of exponential random graph models. The main idea is to consider each tie of a given network (graph) as a random variable. The general form of an exponential random graph model is defined from some relative assumptions that have to do with the dependence between those random variables. We present some different dependence assumptions and the corresponding models, such as Bernoulli graphs, dyadic-independent and Markov random graphs. We also examine the incorporation of the characteristics that a node may have in social networks. We also discuss the process of statistical estimation, including three new methods for the estimation of Monte Carlo maximum likelihood. Finally, we present new specifications for exponential random graph models, which Snijders et al. have proposed. These new specifications allow us to avoid the problem of degeneration. In the second, third and fourth chapter we apply the above methods in order to analyze Florentine network data, Faux Magnolia High data and IPred And Swpat data. In those chapters, we present the procedures of fit, simulate and diagnose exponential random graph models displaying the corresponding commands of statnet-ergm and sna packages that work in R. Finally we give a short introduction to R and to some relative commands.

Έστω $V$ ένα σύνολο $n$ κορυφών και έστω ${\cal M}$ ένα πεπερασμένα αριθμήσιμο σύνολο $m$ ετικετών. Ένα γράφημα ετικετών προκύπτει αν αντιστοιχήσουμε σε κάθε κορυφή $v \in V$ ένα υποσύνολο $S_v$ του ${\cal M}$ και στη συνέχεια ενώσουμε όποιες κορυφές έχουν κοινά στοιχεία στα αντίστοιχα σύνολα ετικετών τους. Η παρούσα διδακτορική διατριβή ασχολείται με την εξέταση συνδυαστικών ιδιοτήτων και το σχεδιασμό και ανάλυση αλγορίθμων που σχετίζονται με δυο μοντέλα τυχαίων γραφημάτων που προκύπτουν από την επιλογή των συνόλων $S_v$ με βάση συγκεκριμένες κατανομές. Το πρώτο από αυτά τα μοντέλα ονομάζεται \emph{Μοντέλο Τυχαίων Γραφηματων Τομής Ετικετών} ${\cal G}_{n, m, p}$ (\textlatin{random intersection graphs model}) και κάθε σύνολο ετικετών $S_v$ διαμορφώνεται επιλέγοντας ανεξάρτητα κάθε ετικέτα με πιθανότητα $p$. Το δεύτερο μοντέλο ονομάζεται \emph{Ομοιόμορφο Μοντέλο Τυχαίων Γραφηματων Τομής Ετικετών} ${\cal G}_{n, m, \lambda}$ (\textlatin{uniform random intersection graphs model}) και κάθε σύνολο ετικετών $S_v$ επιλέγεται (ανεξάρτητα για κάθε κορυφή) ισοπίθανα ανάμεσα σε όλα τα υποσύνολα του ${\cal M}$ μεγέθους $\lambda$. Τα μοντέλα αυτά μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να μοντελοποιήσουν καταστάσεις που αφορούν θέματα ασφάλειας σε δίκτυα αισθητήρων, αλλά και για την αναπαράσταση των συγκρούσεων (\textlatin{conflicts}) που δημιουργούνται σε περιπτώσεις διαμοιρασμού πόρων. Ακόμα, μπορούν να χρησιμοποιηθούν για τη μοντελοποίηση κοινωνικών γραφημάτων (\textlatin{social graphs}) στα οποία δυο οντότητες συνδέονται όταν έχουν κάποιο κοινό χαρακτηριστικό. Στο Μοντέλο Τυχαίων Γραφηματων Τομής Ετικετών ${\cal G}_{n, m, p}$ μελετάμε καταρχήν το πρόβλημα της ύπαρξης κύκλων \textlatin{Hamilton}. Συγκεκριμένα, αποδεικνύουμε ένα άνω φράγμα για την πιθανότητα επιλογής ετικετών $p$ έτσι ώστε κάθε στιγμιότυπο του ${\cal G}_{n, m, p}$ να περιέχει ένα κύκλο \textlatin{Hamilton} με πιθανότητα που τείνει στο 1 καθώς το $n$ τείνει στο άπειρο. Ακόμα, αναλύουμε δυο πιθανοτικούς αλγορίθμους που, για ορισμένες τιμές των παραμέτρων $m, p$ του μοντέλου, καταφέρνουν να κατασκευάσουν ένα κύκλο \textlatin{Hamilton} με πιθανότητα που τείνει στο 1, δηλαδή σχεδόν πάντα. Επίσης, δείχνουμε ότι σχεδόν κάθε στιγμιότυπο του ${\cal G}_{n, m, p}$ έχει καλή επεκτασιμότητα (\textlatin{expansion}), ακόμα και για $p$ πολύ κοντά στο κατώφλι συνεκτικότητας του μοντέλου. Στη συνέχεια, δίνουμε βέλτιστα άνω φράγματα (που ισχύουν με πιθανότητα που τείνει στο 1 σε ένα ευρύ πεδίο τιμών των παραμέτρων του μοντέλου) για σημαντικές ποσότητες που αφορούν τυχαίους περιπάτους σ ε στιγμιότυπα του ${\cal G}_{n, m, p}$ όπως ο χρόνος μίξης (\textlatin{mixing time}) και ο χρόνος κάλυψης (\textlatin{cover time}). Στο Ομοιόμορφο Μοντέλο Τυχαίων Γραφηματων Τομής Ετικετών ${\cal G}_{n, m, \lambda}$ μελετάμε την ύπαρξη κύκλων \textlatin{Hamilton} σε ένα ορισμένο πεδίο τιμών των παραμέτρων $m, \lambda$ του μοντέλου. Τέλος, υπολογίζουμε με τη βοήθεια της Πιθανοτικής Μεθόδου το κατώφλι ύπαρξης ανεξάρτητων συνόλων κορυφών. / Let $V$ be a set of $i$ vertices and let ${\cal M}$ be a finite set of $m$ labels. An intersection graph is then constructed by assigning to each vertex $v \in V$ a subset $S_v$ of ${\cal M}$ and then connecting every pair of vertices that have common labels in their corresponding label sets. This thesis concerns the study of combinatorial properties, as well as the design and analysis of algorithms on two kinds of random intersection graphs models that arise from different choices of the distribution that we use to construct the sets $S_v$. In the first of these models, called \emph{Random Intersection Graphs Model} ${\cal G}_{n, m, p}$, each set of labels $S_v$ is constructed by choosing independently each label with probability $p$. In the second model, called \emph{Uniform Random Intersection Graphs Model} ${\cal G}_{n, m, \lambda}$, each label set $S_v$ is selected equiprobably (and independently for each vertex $v$) among all subsets of ${\cal M}$ of size $\lambda$. These models can be used to abstract situations that concern the efficient and secure communication in sensor networks, but can also be used to model the conflicts that occur in oblivious resource sharing in distributed settings. Moreover, random intersection graph models can be used to model social graphs, in which two entities are connected when they have a common feature. In the Random Intersection Graphs Model ${\cal G}_{n, m, p}$, we first study the existence and efficient construction of Hamilton cycles. More specifically, we give an upper bound for the probability $p$ that is needed for almost every random instance $G_{n, m, p}$ of the model to have a Hamilton cycle. We also present two polynomial time, randomized algorithms for constructing Hamilton cycles in a wide range of the parameters $m, p$. Moreover, we show that almost every random instance of the ${\cal G}_{n, m, p}$ model is an expander, even for $p$ very close to the connectivity threshold. Finally, we give close to optimal bounds (that hold with probability that goes to 1 for a wide range of the parameters of the model) for important quantities (like the mixing time and the cover time) concerning random walks on random instances of ${\cal G}_{n, m, p}$. In the Uniform Random Intersection Graphs Model ${\cal G}_{n, m, \lambda}$ we study the existence of Hamilton cycles for a ce rtain range of the parameters $m, \lambda$. Finally, by using the probabilistic method we compute the independence number of ${\cal G}_{n, m, \lambda}$.