Η παρούσα διπλωματική εργασία εντάσεται στο πεδίο μελέτης της Διαφορικής Γεωμετρίας και ειδικότερα την θεωρία υποπολλαπλοτήτων Ευκλείδειων και ψευδο-Ευκλείδειων χώρων. Η μελέτη μας εστιάζεται γύρω από μια εικασία που διατύπωσε ο B-Y. Chen. Η εικασία αναφέρει πως: <<Κάθε διαρμονική υποπολλαπλότητα στους Ευκλείδειους χώρους είναι ελάχιστης έκτασης.>> Η εικασία αν και φαίνεται απλή εν'τουτις μέχρι τις μέρες μας δεν έχει αποδειχθεί. Με την εργασία αυτή θα επιχειρήσουμε μια αναδρομή για το πως προέκυψε αυτή η εικασία και πια αποτελέσματατα έχουν παρουσιαστεί σε σχέση με αυτή μέχρι και σήμερα. / -