Η εύρεση γεννητικών δέντρων ελάχιστου-κόστους αποτελεί ένα κλασικό επιστημονικό πρόβλημα με σημαντικές εφαρμογές στη σχεδίαση δικτύων. Δοθέντος ενός γραφήματος, όπου κάθε πλευρά σχετίζεται με ένα βάρος (κριτήριο) το πρόβλημα της εύρεσης ενός Ελάχιστου Γεννητικού Δέντρου ανέρχεται στο πρόβλημα της εύρεσης ενός γεννητικού δέντρου με το ελάχιστο συνολικό κόστος. Το πρόβλημα ΕΓΔ έχει αποτελέσει αντικείμενο ενδιαφέροντος πολλών μελετητών με αποτέλεσμα την ανάπτυξη αλγορίθμων πολυωνυμικού-χρόνου, όπως είναι ο αλγόριθμος του Prim, του Sollin και του Kruskal. Στον πραγματικό κόσμο όμως υπάρχουν περιπτώσεις όπου πρέπει να λάβουμε ταυτόχρονα υπόψη πολλά κριτήρια προκειμένου να καθορίσουμε ένα ΕΓΔ. Αυτό συμβαίνει γιατί κάθε πλευρά του γραφήματος σχετίζεται με παραπάνω από ένα κόστη. Για παράδειγμα, στη σχεδίαση ενός τηλεπικοινωνιακού δικτύου, πέρα από το κόστος κατασκευής των συνδέσεων μεταξύ των πόλεων ή των τερματικών μας ενδιαφέρουν και άλλοι παράγοντες. Ο χρόνος που απαιτείται για την κατασκευή, η δυσκολία και πολυπλοκότητα της κατασκευής, η καθυστέρηση μετάδοσης της πληροφορίας αλλά και η αξιοπιστία του συστήματος αποτελούν σημαντικούς παράγοντες που πρέπει να ληφθούν υπόψη στην σχεδίαση του δικτύου. Αλλά και στην καθημερινή ζωή, πολλές φορές χρειάζεται να ληφθούν σημαντικές αποφάσεις οι οποίες εξαρτώνται από περισσότερα από ένα κριτήρια. Παραδείγματος χάριν, άνθρωποι που ταξιδεύουν θέλουν να βελτιστοποιήσουν τη διανυόμενη απόσταση, το κόστος, και το χρόνο μετακίνησης. Το ζητούμενο είναι πως μπορεί να οδηγηθεί κανείς στη λήψη μιας βέλτιστης για αυτόν απόφασης, που κάτω από δεδομένες συνθήκες μπορεί να είναι περισσότερες από μία. Δηλαδή, δεν οδηγούμαστε σε μία μοναδική βέλτιστη λύση αλλά σε ένα σύνολο από «βέλτιστες» λύσεις και ο ενδιαφερόμενος, ανάλογα με τα ιδιαίτερα χαρακτηριστικά του προβλήματος, κάνει την τελική επιλογή. Το πρόβλημα ΕΓΔ, στο οποίο ζητείται η ελαχιστοποίηση περισσοτέρων του ενός κριτηρίων είναι γνωστό ως το πρόβλημα ΕΓΔ πολλαπλών κριτηρίων (multi-criteria minimum spanning tree problem). Η συνεισφορά της παρούσας διπλωματικής λοιπόν αποτελείται από δύο μέρη: Το πρώτο, εστιάζεται στην κριτική επισκόπηση και περιγραφή των υπαρχόντων μεθόδων επίλυσης του προβλήματος ΕΓΔ δύο κριτηρίων. Το δεύτερο, αφορά την υλοποίηση και πειραματική αξιολόγηση δύο βασικών αλγορίθμων για την επίλυση του εν λόγω προβλήματος. Συγκεκριμένα, υλοποιήθηκε η τροποποιημένη εκδοχή (για το πρόβλημα ΕΓΔ πολλαπλών κριτηρίων) του αλγορίθμου του Prim καθώς και μία προσεγγιστική μέθοδος επίλυσης του προβλήματος ΕΓΔ πολλαπλών κριτηρίων. / The minimum spanning tree problem (MST) is of high importance in network optimization. Given a connected graph G where each edge has a weight, the goal is to find the spanning tree with the least cost among all spanning trees of G. Due to its many practical applications, the MST problem has been studied in depth and many efficient polynomial-time algorithms have been developed by Sollin, Kruskal, Prim etc. But in real life, there cases where one has to take simultaneously into consideration many criteria in order to determine a MST because there are multiple weights defined on each edge of the graph. For example, when designing the layout of a telecommunication network, besides the cost for connections between cities or terminals we are interested in other factors too. The time for communication and construction, the difficulty of the construction or the reliability of the system are also important factors and need to be taken into consideration. But also in everyday life, in many cases we need to take decisions that depend on multiple criteria. For instance, people who travel want to minimize simultaneously the cost, the distance and the time. The problem is that in these cases there is not only one optimal solution but rather a set of optimal solutions and the decision maker depending on the characteristics of each case will make the final call. The MST problem in which we want to minimize more than one criteria is known as the multi-criteria minimum spanning tree problem. The contribution of this thesis is composed of two parts. The first part focuses on the critical survey and description of various methods for solving the bi-criteria case of the MST problem. The other part focuses on the implementation and the experimental evaluation of two known and important algorithms. More precisely, we have implemented the modified version of the Prim’s algorithm (for the multi-criteria MST problem) and one approximate algorithm as proposed by Hamacher & Ruhe.

Ο προγραμματισμός παραγωγής και ελέγχου αποθεμάτων αποσκοπεί στην εύρεση της “χρυσής τομής” μεταξύ δυο αντιφατικών στόχων, από πλευράς ελαχιστοποίησης του συνολικού κόστους λειτουργίας μιας επιχείρησης: της μείωσης απ’ τη μια του διαθέσιμου αποθέματος και της ύπαρξης απ’ την άλλη ικανής ποσότητας διαθέσιμων αγαθών έτσι ώστε να καλύπτεται η ζήτησή τους στην αγορά. Ο συμβιβασμός μεταξύ αυτών των δυο στόχων επιτυγχάνεται με την δημιουργία κατάλληλων μαθηματικών κανόνων για τη χρονική (πότε;) και ποσοτική (πόσο;) διακίνηση του αποθέματος. Για την επίλυσή του έχουν προταθεί διάφορα μαθηματικά μοντέλα, τα οποία ποσοτικοποιούν τις παραμέτρους κόστους και εκφράζουν το συνολικό κόστος λειτουργίας της επιχείρησης με τη χρήση μιας συνάρτησης η οποία βελτιστοποιείται με εφαρμογή μαθηματικών μεθόδων. Η παρούσα εργασία επικεντρώνεται στην παρουσίαση των πιο ευρέως χρησιμοποιούμενων, προσδιοριστικών μοντέλων (όλες οι παράμετροι του συστήματος είναι γνωστές σταθερές) ενώ ο ορίζοντας σχεδιασμού θεωρείται πεπερασμένος. Στο πρώτο κεφάλαιο της παρούσας εργασίας παρουσιάζονται τα γενικά χαρακτηριστικά ενός προβλήματος παραγωγής και αποθήκευσης καθώς επίσης τα σχετικά με αυτό κόστη. Στο δεύτερο κεφάλαιο ακολουθεί η παρουσίαση των μοντέλων της Οικονομικής Ποσότητας Παραγγελίας, στα οποία θεωρείται ότι η ζήτηση πραγματοποιείται με ένα σταθερό ρυθμό και ότι το απόθεμα επιθεωρείται διαρκώς (ο χρόνος θεωρείται συνεχής). Αντίθετα, στα μοντέλα του τρίτου κεφαλαίου ο ορίζοντας σχεδιασμού χωρίζεται σε τακτά χρονικά διαστήματα, δηλαδή γίνεται η παραδοχή ότι ο χρόνος είναι διακριτός. Τέλος, στο τέταρτο αντιστοιχείται σε κάθε μοντέλο που αναλύθηκε στα προηγούμενα κεφαλαία, μια ολοκληρωμένη εφαρμογή η οποία επιλύεται λεπτομερώς. / Programmising the production and stock control aims to find the “golden mean” between two contradictory goals : as far as minimizing the total service expenses of a company is concerned, reduce the available cost, and on the other hand the existence of another one adequate quantity of available goods, so that their demand in the market can be covered. The compromising between these two goals can be achieved with the creation of appropriate mathematic rules about the time (when?) and amount (how much?) stock circulation. In order to achieve this compromising, many mathematical models have been proposed which quantify the subsiding costs and express the total service expenses of the company, using a function which is constantly being improved with the application of mathematical methods. The present project focuses on the presentation of the most widely used defining models, while the designing horizon is considered to be passed by. In the first part of the present project appear the general characteristics of a problem concerning the production and saving, as well as the relevant costs. The second part includes the presentation of the model about the Economic Order Quantity, in which it is regarded that demand is accomplished with a steady pace, and that the stock is constantly being checked (time is regarded to be continuous). On the other hand, in the model of the third part, the designing horizon is divided in regular time spaces, reaching the conclusion that time is apparent significant. Finally in the last part, each model analyzed in the previous chapters, is matched with a complete application, being solved in detail.

Στην παρούσα διπλωματική μελέτη, σχεδιάζεται και αναπτύσσεται ένα αξιόπιστο σύστημα βαθμολόγησης και άρα αξιολόγησης των προμηθευτών απαραίτητων σε μία Εφοδιαστική Αλυσίδα Αγαθών και Υπηρεσιών. Η μεθοδολογία περιλαμβάνει: Καθορισμό Ομάδας Αξιολόγησης, Ταξινόμηση Εφοδιαστικών Απαιτήσεων (Supply Positioning) σε υλικά και υπηρεσίες (υψηλής κερδοφορίας, κρίσιμα, μη κρίσιμα, στρατηγικής σημασίας, χαμηλού κόστους & υψηλού κινδύνου), Κατάσταση Κρίσιμων Υλικών και Υπηρεσιών, Επισήμανση Δυνητικών Προμηθευτών, Προεπιλογή Προμηθευτών, Συνεργασία - Συζήτηση με Προμηθευτές, Προσδιορισμό Κριτηρίων επιλογής Προμηθευτών, Συντελεστές Βαρύτητας Κριτηρίων, Ανάπτυξη Ανάλυσης SWOT, Έρευνα για επί πλέον πληροφορίες, Σύνταξη και αποστολή Ερωτηματολογίου – Επεξεργασία, Βαθμολογία Δυνητικών Προμηθευτών, Τήρηση Αρχείου Εγκεκριμένων Προμηθευτών. Εν συνεχεία γίνεται μία επισκόπηση τεσσάρων-πέντε κύριων μεθόδων επιλογής και μία βιβλιογραφική ανασκόπηση των ερευνητικών προσπαθειών. Παρουσιάζονται αναλυτικά τα κριτήρια απόφασης, οι μέθοδοι επιλογής (εξάλειψης ή βελτιστοποίησης), τα χαρακτηριστικά του προβλήματος επιλογής προμηθευτή (στρατηγική απόφαση, συνενωτικοί κανόνες, πολλαπλοί εμπλεκόμενοι-παίκτες & διαμορφωτές λήψης απόφασης, πολλαπλά αντικειμενικά και υποκειμενικά κριτήρια, περιορισμοί τόσο των προμηθευτών όσο και της εταιρείας, και ο πιθανοκρατικός χαρακτήρας του προβλήματος) . Η προσέγγιση απαιτεί η απόφαση να ληφθεί σε δύο στάδια. Στο πρώτο στάδιο, επιλέγουμε τους στρατηγικούς προμηθευτές διαμέσου της εταιρικής στρατηγικής για να επιλεχθούν οι προμηθευτές εκείνοι που εγγυώνται την μακροπρόθεσμη βιωσιμότητα της εταιρείας και το ελάχιστο κατώφλι κάθε κριτηρίου. Στο δεύτερο στάδιο της προσέγγισης αυτής, προτείνεται ένα γραμμικό μοντέλο μικτού ακέραιου προγραμματισμού για να επιλεγούν οι καλύτεροι προμηθευτές και οι απαιτούμενες ποσότητες θεωρώντας τους περιορισμούς τόσο των προμηθευτών όσο και της επιχείρησης. Ο σκοπός αυτού του μοντέλου είναι να μεγιστοποιηθεί η συνάρτηση U που αναπαριστά τον ολικό βαθμό που δίνεται από την ομάδα απόφασης. Προτείνεται ένας τρόπος για να ληφθεί υπόψη η πιθανοκρατική συμπεριφορά των υποψήφιων προμηθευτών. Τέλος, για καλύτερη κατανόηση, παρουσιάζεται ένα αριθμητικό παράδειγμα βελτιστοποίησης α) χωρίς περιορισμούς με την προσέγγιση της μεθόδου Αναλυτικής Ιεράρχησης (AHP) και β) με περιορισμούς. Το παράδειγμα μας δείχνει ότι η μαθηματική προσέγγιση ήταν η καλύτερη μέθοδος η οποία λαμβάνει υπόψη όλους τους περιορισμούς. / In this thesis study, it is designed and developed a reliable system calibration and evaluation of suppliers so necessary in a Supply Chain of Goods and Services. The methodology includes: Evaluation Team Specification, Supply Requirements Sorting (Supply Positioning) for materials and services (high profitability, critical, non-critical, strategic, low cost & high risk), Critical Materials and Services Condition, Potential suppliers Highlight, Suppliers Pre-selection, Cooperation - Discussion with Suppliers, Vendor Selection Criteria Identification,, Criteria Weight Credits, SWOT Analysis Development, Research for additional information, Writing, Editing and sending questionnaires, Potential suppliers Review, Approved Suppliers File Records (Archives). An overview of four to five core selection methods and a literature review of research efforts are following. The decision criteria, the selection methods (optimization or elimination) and the characteristics of the supplier selection problem (strategic decision, conjunctive rules, multiple stakeholders-players & decision makers, multiple objective and subjective criteria, constraints regarding to suppliers and the company, the probabilistic nature of the problem) are presenting in details. This approach requires a decision taken in two stages. In the first stage, we select strategic suppliers through the corporate strategy in order to select those suppliers that guarantee the long term viability of the company and the minimum threshold for each criterion. In the second stage of this approach, it is proposed a mixed-integer linear programming model to select the best suppliers and the required quantities considering the limitations of suppliers and the business as well. The purpose of this model is to maximize the function U representing the overall degree given by the group decision. It is also proposed a way to take into account the probabilistic behavior of supply candidates. Finally, for better understanding, a numerical example of optimization is presented a) without restrictions with the approach of Analytic Hierarchy process (AHP) and b) with restrictions. The example shows that the mathematical approach was the best method which takes into account all the constraints.