Η παρούσα διατριβή εντάσσεται ερευνητικά στην περιοχή της Στατιστικής Θεωρίας Αποφάσεων και ειδικότερα στην (σημειακή) εκτίμηση του ποσοστιαίου σημείου στο μοντέλο της διπαραμετρικής εκθετικής κατανομής. Το πρόβλημα της εκτίμησης του ποσοστιαίου σημείου από τη σκοπιά της Στατιστικής Θεωρίας Αποφάσεων ακολούθησε αυτό της παραμέτρου κλίμακας, ειδικότερα αναφέρουμε το πρόβλημα εκτίμησης της διασποράς κανονικής κατανομής με άγνωστη μέση τιμή από τον Stein (1964). Στην εργασία εκείνη ο Stein απέδειξε ότι, με κριτήριο το μέσο τετραγωνικό σφάλμα, ο βέλτιστος αναλλοίωτος εκτιμητής της διασποράς είναι μη αποδεκτός, κατασκευάζοντας άλλον με μικρότερο μέσο τετραγωνικό σφάλμα. Εν συνεχεία, οι Brewster and Zidek (1974) παρουσίασαν δύο γενικές τεχνικές κατασκευής βελτιωμένων εκτιμητών, εφαρμόσιμες για τυχαία bowl-shaped συνάρτηση ζημίας και αποτελεσματικές, κυρίως όταν η υπό εκτίμηση παράμετρος είναι η παράμετρος κλίμακας και επί πλέον υπάρχει και άλλη άγνωστη παράμετρος. Αντικείμενο της μεταπτυχιακής διατριβής είναι η εκτίμηση του ποσοστιαίου σημείου θεωρώντας ανεξάρτητα τυχαία δείγματα από εκθετικούς πληθυσμούς με την ίδια παράμετρο θέσης και διαφορετική παράμετρο κλίμακας για κάθε πληθυσμό ξεχωριστά. Βασιζόμενοι στην εργασία των Kumar and Sharma (1996) βρίσκουμε εκτιμητή μέγιστης πιθανοφάνειας και αμερόληπτο εκτιμητή ελάχιστης διασποράς για το ποσοστιαίο σημείο από τον πρώτο εκθετικό πληθυσμό και στην συνέχεια εφαρμόζουμε τη τεχνική κατασκευής, βελτιωμένων εκτιμητών, των Brewster and Zidek (1974). Η παρουσίαση των επί μέρους θεμάτων και αποτελεσμάτων της διατριβής αυτής οργανώνεται ως εξής. Στο Κεφάλαιο 1 αναφέρονται κάποια βασικά στοιχεία θεωρίας από τη Μαθηματική Στατιστική, όπως βασικοί ορισμοί και θεωρήματα σχετικά κυρίως με τη συνάρτηση κινδύνου (risk function), τους εκτιμητές (UMVUE), τους εκτιμητές μέγιστης πιθανοφάνειας (MLE) και τους αναλλοίωτους (equivariant) εκτιμητές. Στο Κεφάλαιο 2 ορίζεται η διπαραμετρική εκθετική κατανομή και το ποσοστιαίο σημείο της διπαραμετρικής εκθετική κατανομής, , θετική σταθερά ,από τον πρώτο εκθετικό πληθυσμό, το οποίο στη συνέχεια εκτιμάται από τον εκτιμητή μέγιστης πιθανοφάνειας και από τον εκτιμητή. Στο Κεφάλαιο 3 χρησιμοποιούνται τεχνικές βελτίωσης του εκτιμητή του ποσοστιαίου σημείου. Αρχικά εντοπίζεται ο βέλτιστος εκτιμητής του ποσοστιαίου σημείου στην κλάση των εκτιμητών με κριτήριο το μέσο τετραγωνικό σφάλμα και στη συνέχεια χρησιμοποιείται η τεχνική κατασκευής, βελτιωμένων εκτιμητών, των Brewster and Zidek (1974) όταν και όταν . Τέλος στο Κεφάλαιο 4 αναφέρονται κάποια Λήμματα τα οποία χρησιμοποιούνται σε αποδείξεις προτάσεων της διατριβής. / Estimating quantiles of a selected exponential population from k populations.

Η παρούσα διπλωματική έχει ως σκοπό να διερευνήσει τους τρόπους με τους οποίους θα μπορέσουμε να λειτουργήσουμε φωτοβολταϊκά συστήματα στο βέλτιστο σημείο τους, στο σημείο μέγιστης ισχύος. Στο πρώτο κεφάλαιο αναφέρονται γενικά χαρακτηριστικά, αρχές λειτουργίας και σχέσεις μοντελοποίησης του φωτοβολταϊκού πλαισίου. Στο δεύτερο κεφάλαιο εξετάζονται οι διατάξεις Ανίχνευσης Μέγιστου Σημείου Ισχύος (Maximum Power Point Tracking) και δίνεται βαρύτητα στις 3 βασικότερες τοπολογίες των μετατροπέων: DC-DC μετατροπέας υποβιβασμού τάσης (step down ή buck DC-DC converter), DC-DC μετατροπέας ανύψωσης τάσης (step up ή boost DC-DC converter), μικτός DC-DC μετατροπέας (step down/up ή buck-boost DC-DC converter). Στο τρίτο κεφάλαιο περιγράφεται αναλυτικά ο μικτός DC-DC μετατροπέας και όλες οι περιπτώσεις λειτουργίας του (λειτουργία συνεχούς ρεύματος, οριακή λειτουργία, ασυνεχής λειτουργία) Στο τέταρτο κεφάλαιο αναλύονται οι αρχές λειτουργίας και οι βασικές ιδιότητες των αλγόριθμων αναζήτησης MPP. Κατηγοριοποιούνται σε ομάδες ενώ αναφέρονται τα κύρια πλεονεκτήματα και μειονεκτήματα. Αναφορικά κάποιοι από αυτούς είναι: ο αλγόριθμος διατάραξης και παρατήρησης, ο αλγόριθμος αυξητικής αγωγιμότητας και ο αλγόριθμος παρασιτικής χωρητικότητας. Στο πέμπτο και τελευταίο κεφάλαιο γίνεται προσομοίωση στον υπολογιστή ενός φωτοβολταϊκού συστήματος με DC-DC μετατροπέα και σταθερό ωμικό φορτίο με τη βοήθεια του λογισμικού Matlab/Simulink. Γίνεται υπολογισμός των βασικών στοιχείων του και εξάγονται οι γραφικές παραστάσεις για τη λειτουργία του σε διαφορετικές καταστάσεις ηλιακής ακτινοβολίας και θερμοκρασίας. Τέλος, από την προσομοίωση φαίνονται τα αποτελέσματα στην απόδοση του φωτοβολταϊκού όταν μεταβάλουμε το βήμα διαταραχής της σχετικής διάρκειας αγωγής και το χρόνο δειγματοληψίας. / -

Η έννοια των δικτύων εμφανίζεται πολύ συχνά με διάφορες μορφές. Δίκτυο μπορούμε να θεωρήσουμε ένα σύνολο υπολογιστών που συνδέονται μεταξύ τους υπακούοντας σε κάποιο πρωτόκολλο επικοινωνίας αλλά και μια ομάδα ανθρώ- πων που συνδέονται μέσω κάποιας κοινωνικής σχέσης, ενός εργασιακού χώρου αλλά και ως χρήστες ενός forum ή μίας πλατφόρμας κοινωνικής δικτύωσης. Σε οποιαδήποτε περίπτωση, ένα δίκτυο μπορεί να αναπαρασταθεί με τη μορφή ενός γράφηματος, όπου οι κόμβοι αναπαριστούν τα άτομα/υπολογιστές και οι ακμές τη μεταξύ τους σχέση ανάλογα με το πρόβλημα. Στα πλαίσια ενός τέτοιου δικτύου μας ενδιαφέρει η συμπεριφορά των κόμβων στην περίπτωση που συμβεί ένα γεγονός που αλλάζει την κατάστασή τους. Στην περίπτωση που αναφερόμαστε σε μία κοινωνική ομάδα ή μία πόλη, αυτό το φαι- νόμενο μπορεί να είναι το ξέσπασμα μίας επιδημίας που εξαπλώνεται στο δίκτυο αλλά και μίας είδησης/φήμης, όπου ενημερώνεται το δίκτυο. Στην πρώτη περί- πτωση, μας ενδιαφέρει να περιορίσουμε την επιδημία, αλλάζοντας τοπολογικά το δίκτυο ενώ στη δεύτερη περίπτωση, είναι επιθυμητό να διευκολύνουμε την εξά- πλωση της είδησης, έτσι ώστε να ενημερωθούν όσο το δυνατόν, περισσότεροι κόμβοι(χρήστες). Η συμπεριφορά του δικτύου σε ένα τέτοιο φαινόμενο, μπορεί να προσομοιωθεί από ένα δυναμικό σύστημα. Με τον όρο δυναμικό σύστημα αναφερόμαστε σε ένα σύστημα που έχει ένα σύνολο καταστάσεων, όπου κάθε κατάσταση, προκύπτει σε συνάρτηση με την προηγούμενη. Παραδείγματα εφαρμογής ενός δυναμικού συστήματος σε δίκτυο, εμφανίζονται σε διάφορους τομείς όπως στην οικολογία, τη διάχυση πληροφορίας, το viral marketing, την επιδημιολογία. Τα δυναμικά συστήματα που προσομοιώνουν τη συμπεριφορά του δικτύου σε τέτοια φαινόμενα, χρησιμοποιούν επιδημιολογικά μοντέλα για να περιγρά- ψουν τις δυνατές καταστάσεις στις οποίες μπορεί να περιέλθει ένας κόμβος. Στη συγκεκριμένη εργασία, χρησιμοποιήσαμε το μοντέλο SIS (Susceptible-Infected-Susceptible) [8].Το μοντέλο SIS δηλώνει ότι ένας κόμβος μπορεί να είναι είτε επιρρεπής στο να ασθενήσει (susceptible) είτε ασθενής (infected). Αυτό σημαί- νει πως ένας κόμβος δεν θεραπεύεται ποτέ πλήρως αλλά υπάρχει πιθανότητα να ασθενήσει πάλι. Με βάση τη βιβλιογραφία, σε ένα τέτοιο δυναμικό σύστημα, αναζητούμε κά- ποια σημεία (fixed points) στα οποία το σύστημα θα ισορροπεί. Υπάρχουν σημεία τα οποία είναι σημεία ισορροπίας αλλά δεν είναι σταθερά. Σε αυτά τα σημεία, το σύστημα μπορεί στιγμιαία να ισορροπήσει αλλά ξεφεύγει πολύ εύκολα από αυτό. Αναζητούμε συνεπώς, σταθερά σημεία ισορροπίας, τα λεγόμενα stable fixed points. Έχει αποδειχτεί [6] ότι μπορούμε σε αυτά στα σημεία να καθορίσουμε τις απαραίτητες συνθήκες για να είναι σταθερά, περιορίζοντας τη μέγιστη ιδιοτιμή του μητρώου γειτνίασης που περιγράφει το δίκτυο. Ορίζονται δηλαδή κατώφλια (thresholds) κατά περίπτωση, που περιορίζουν την μέγιστη ιδιοτιμή του δικτύου με τέτοιο τρόπο ώστε το σύστημα, να βρίσκεται σε κατάσταση ισορροπίας. Στην πε- ρίπτωση που αναφερόμαστε στο φαινόμενο της επιδημίας, στόχος είναι στο αντί- στοιχο σημείο ισορροπίας η μέγιστη ιδιοτιμή να είναι κάτω του κατωφλίου, έτσι ώστε να εξασφαλίσουμε τον περιορισμό εξάπλωσης της επιδημίας στο δίκτυο. Στην περίπτωση που αναφερόμαστε σε μία είδηση ή ένα ανταγωνιστικό προϊόν, η μέγιστη ιδιοτιμή θέλουμε να είναι άνω του αντίστοιχου κατωφλίου έτσι ώστε να έχουμε εξάπλωση στο δίκτυο. Επομένως ανάλογα με την περίπτωση, αντιμε- τωπίζουμε διαφορετικά τα κατώφλια που υπολογίζονται για το αντίστοιχο σημείο ισορροπίας. Στα πλαίσια της μεταπτυχιακής εργασίας, χρησιμοποιήσαμε το μοντέλο SIS για να περιγράψουμε το φαινόμενο όπου ένας ιός εξαπλώνεται σε ένα δίκτυο όπου οι κόμβοι του δικτύου, έχουν διαφορετική ευαισθησία απέναντί του. Πραγματο- ποιήσαμε μαθηματική περιγραφή του μοντέλου, ορίζοντας τα απαραίτητα κατώ- φλια έτσι ώστε το σύστημα να ισορροπεί ανάλογα με το σημείο ισορροπίας αλλά και το είδος του γραφήματος. Επίσης, πραγματοποιήσαμε προσομοίωση του μο- ντέλου σε συνθετικά γραφήματα (κλίκα, αυθαίρετο γράφημα κ.α), επαληθεύοντας τη συμπεριφορά που υποδεικνύει το μαθηματικό μοντέλο. / Which is the appropriate answer about the definition of a network? One could answer that a group of people who share a relationship (colleagues, students etc) could be referred to, as a network. Another possible definition, is a computer network. Consequently, it is obvious that the idea of a network can be found in various ways in our daily life. In the same terms, suppose we have one competing idea/product or a virus that propagates over a multiple profile social (or other) network. Can we predict what proportion of the network will actually get ”infected” (e.g., spread the idea or buy the competing product), when the nodes of the network appear to have different sensitivity based on their profile? For example, if there are two profiles A, B in a network and the nodes of profile A and profile B are susceptible to a highly spreading virus with probabilities βA and βB respectively, what percentage of both profiles will actually get infected from the virus in the end? The behavior of such a network, can be simulated using dynamical systems theory. We consider a dynamical system as a system with a set of possible states where each future state, is computed based on the previous state. Dynamical System Applications, can be found in many fields such as viral marketing, ecology, information diffusion and virus propagation. In order to simulate the rumor or virus which is spreading across the network, one has to use virus propagation models. The selection of the appropriate model, depends on the special attributes and characteristics of the spreading rumor/virus and it should cover all the possible states in which a node in the network can be (sick, healthy,susceptible, informed, not informed etc). According to Dynamical Systems Theory, we are looking for possible fixed points where the system is in equilibrium. In particular, we would require each fixed point to be a stable attractor and not lead the system far away from the equilibrium point due to opposing forces (stable fixed points). It has been proven that limiting the leading eigenvalue of the adjacency matrix of the graph, is the only condition required, in order for the system to be in equilibrium state, in the corresponding fixed point. In this paper, we assume an SIS propagation model [8] which is applied on a heterogeneous network. That is, we assume that there is no fair game using the terminology of [14, 3]. In the SIS model, each node can be either in a susceptible (S) state or in the infected state (I) and as result there is no permanent immunity and every node can get infected multiple times.Since this is the first theoretical treatment of heterogeneous environments for virus propagation, we choose to work in the simple model of SIS and not in other models. Suppose that we are given a social network and a rumor that spreads over it, where the nodes of the network represent people with high/low sensitivity to the rumor and the links represent the association of the nodes, how will the rumor propagate over the network? That is, can we determine whether all members of the network will reproduce the rumor to their neighbors and ”infect” them or the rumor will spread in a small group in the network and die out quickly? Similarly, which is the tipping point where such a rumor or infectious virus will take off? It would be very helpful if we could find the specific point when the ”virus” spreads all over the network and an epidemic occurs. Finally, what is the case when the nodes have different endurance/sensitivity to the ”virus” and have temporary or permanent immunity? Our basic assumption and innovation when compared to all previous approaches is that there is no fair-play and nodes have different profile against the virus. That is, the network is heterogeneous with respect to the virus, which means that nodes have different sensitivity to it. This is one of our main contributions in comparison with previous results where all nodes appear to have the same behavior towards the virus and the same model parameters. The propagation model which is followed, resembles the SIS (no immunity like flu) model where nodes are either susceptible or infected but with modifications. All nodes can get infected from one another, despite the difference of their profiles. We prove and present the tipping point where the virus is about to spread all over the network or the rumor ”infect” every member of the network and result in a ”viral” phenomenon. Our main contribution, is that we provide answers for the questions above, for special topologies such as the clique as well as arbitrary graphs of high or low connectivity. In particular, to the best of our knowledge, we are the first to provide theoretical and experimental findings on the propagation of a virus over a heterogeneous network. We prove that in the case of two profiles, if one profile has high sensitivity to the virus and the other one has low sensitivity, actually nodes from both profiles will get infected proportionally in the case where the network is a clique. For arbitrary networks, we prove necessary conditions for the virus to die out allowing for multiple profiles (not just two), while at the same time we give directions to prove other interesting cases. The problem has many applications in the field of viral marketing, medicine, ecology and other.

Το πρόβλημα Fermat-Torricelli για n μη συγγραμμικά σημεία με βαρύτητες στον R^3 (b.FT) διατυπώνεται ως εξής: Δοθέντος n μη συγγραμμικών σημείων στον R^3 να βρεθεί ένα σημείο το οποίο ελαχιστοποιεί το άθροισμα των αποστάσεων με θετικές βαρύτητες του σημείου αυτού από τα n δοσμένα σημεία. Το αντίστροφο πρόβλημα Fermat-Torricelli για n μη συγγραμμικά και μη συνεπίπεδα σημεία με βαρύτητες στον R^3 (αντ.FT) διατυπώνεται ως εξής: Δοθέντος ενός σημείου που ανήκει στο εσωτερικό ενός κλειστού πολυέδρου που σχηματίζεται από n δοσμένα μη συγγραμμικά και μη συνεπίπεδα σημεία στον R^3, υπάρχει μοναδικά προσδιορίσιμο σύνολο τιμών για τις βαρύτητες που αντιστοιχούν σε κάθε ένα από τα n δοσμένα σημεία, ώστε το σημείο αυτό να επιλύει για τις τιμές αυτές των βαρυτήτων το πρόβλημα b.FT στον R^3; Στην παρούσα διατριβή, αποδεικνύουμε μία γενίκευση της ισογώνιας ιδιότητας του σημείου b.FT για ένα γεωδαισιακό τρίγωνο σε ένα Κ-επίπεδο (Σφαίρα, Υπερβολικό επίπεδο, Ευκλείδειο επίπεδο). Στη συνέχεια, δίνουμε μία αναγκαία συνθήκη για να είναι το σημείο b.FT εσωτερικό σημείο ενός τετραέδρου και ενός πενταέδρου (πυραμίδες) στον R^3. Η δεύτερη ομάδα αποτελεσμάτων της διατριβής περιλαμβάνει τη θετική απάντηση στο αντ.FT πρόβλημα για τρία μη γεωδαισιακά σημεία στο Κ-επίπεδο και στο αντ.FT πρόβλημα για τέσσερα μη συγγραμμικά και μη συνεπίπεδα σημεία στον R^3. Η αρνητική απάντηση στο αντ.FT για τέσσερα μη συγγραμμικά σημεία στον R^2 θα μας οδηγήσει σε σχέσεις εξάρτησης των βαρυτήτων που ονομάζουμε εξισώσεις της δυναμικής πλαστικότητας των τετραπλεύρων. Ομοίως, δίνοντας αρνητική απάντηση στο αντ.FT πρόβλημα για πέντε μη συνεπίπεδα σημεία στον R^3, παίρνουμε τις εξισώσεις δυναμικής πλαστικότητας , διατυπώνουμε και αποδεικνύουμε την αρχή της πλαστικότητας των κλειστών εξαέδρων στον R^3, που αναφέρει ότι: Έστω ότι πέντε προδιαγεγραμμένα ευθύγραμμα τμήματα συναντώνται στο σημείο b.FT, των οποίων τα άκρα σχηματίζουν ένα κλειστό εξάεδρο. Επιλέγουμε ένα σημείο σε κάθε ημιευθεία που ορίζει το προδιαγεγραμμένο ευθύγραμμο τμήμα, τέτοιο ώστε το τέταρτο σημείο να βρίσκεται πάνω από το επίπεδο που σχηματίζεται από την πρώτη και δεύτερη προδιαγεγραμμένη ημιευθεία και το τρίτο και πέμπτο σημείο να βρίσκονται κάτω από το επίπεδο που σχηματίζεται από την πρώτη και δεύτερη προδιαγεγραμμένη ημιευθεία. Τότε η μείωση της τιμής της βαρύτητας που αντιστοιχεί στην πρώτη, τρίτη και τέταρτη προδιαγεγραμμένη ημιευθεία προκαλεί αύξηση στις βαρύτητες που αντιστοιχούν στη δεύτερη και πέμπτη προδιαγεγραμμένη ημιευθεία.Τέλος, ένα σημαντικό αποτέλεσμα της διατριβής αφορά την επίλυση του γενικευμένου προβλήματος του Gauss για κυρτά τετράπλευρα στο Κ-επίπεδο, θέτοντας δύο σημεία στο εσωτερικό του κυρτού τετραπλεύρου με ίσες βαρύτητες, τα οποία στη συνέχεια αποδεικνύουμε ότι είναι δύο σημεία b.FT με συγκεκριμμένες βαρύτητες, αποτέλεσμα το οποίο γενικεύει το πρόβλημα b.FT για τετράπλευρα στο Κ-επίπεδo. / The weighted Fermat-Torricelli for n non-collinear points in R^3 states the following: Given n non-collinear points in R^3 find a point (b.FT point) which minimizes the sum of the distances multiplied by a positive number which corresponds to a given point (weight). The inverse Fermat-Torricelli problem for n non-collinear points with weights in R^3 (inv.FT) states the following: Given a point that belongs to the interior of a closed polyhedron which is formed between n given non-collinear points in R^3, does there exist a unique set of weights which corresponds to each one of the n points such that this point solves the weighted Fermat-Torricelli problem for this particular set of weights? In the present thesis, we prove a generalization of the isogonal property of the b.FT point for a geodesic triangle on the K-plane (Sphere, Hyperbolic plane, Euclidean plane). We proceed by giving a sufficient condition to locate the b.FT point at the interior of tetrahedra and pentahedra (pyramids) in R^3. The second group of results contains a positive answer on the inv.FT problem for three points that do not belong to a geodesic arc on the K-plane and on the inv.FT problem for four non collinear points and non coplanar in R^3. The negative answer with respect to the inv.FT problem for four non-collinear points in R^2 lead us to the relations of the dependence between the weights that we call the equations of dynamic plasticity for quadrilaterals. Similarly, by giving a negative answer with respect to the inv.FT problem for five points which do not belong in the same plane in R^3, we derive the equations of dynamic plasticity of closed hexahedra and we prove a plasticity principle of closed hexahedra in R^3, which states that: Considering five prescribed rays which meet at the weighted Fermat-Torricelli point, such that their endpoints form a closed hexahedron, a decrease on the weights that correspond to the first, third and fourth ray, causes an increase to the weights that correspond to the second and fifth ray, where the fourth endpoint is upper from the plane which is formed from the first ray and second ray and the third and fifth endpoint is under the plane which is formed from the first ray and second ray. Finally, a significant result of this thesis deals with the solution of the generalized Gauss problem for convex quadrilaterals on the K-plane in which by setting two points at the interior of the convex quadrilateral with equal weights we prove that these points are weighted Fermat-Torricelli points with specific weights, that generalizes the b.FT problem for quadrilaterals on the K-plane.