Στην παρούσα Διδακτορική Διατριβή διερευνώνται αριθμητικά δομές οι οποίες μπορούν να λειτουργήσουν ως φωνονικά ή φωτονικά υλικά. Βασικό χαρακτηριστικό των φωτονικών και των φωνονικών υλικών είναι η ύπαρξη χασμάτων συχνοτήτων στη διάδοση των ηλεκτρομαγνητικών και των ελαστικών κυμάτων αντίστοιχα διαμέσου των δομών αυτών. Αρχικά διερευνήθηκαν αριθμητικά δύο δομές οι οποίες έχουν ήδη χρησιμοποιηθεί ως φωτονικά υλικά και για τις οι οποίες εξετάστηκε κατά πόσο είναι εφικτή λειτουργία τους ως φωνονικά υλικά. Η πρώτη δομή είναι η πολύ γνωστή δομή κατά στρώσεις και η δεύτερη ένας ηχητικός κυματοδηγός «λωρίδα» (slot waveguide) επάνω στον οποίο δομείται ένας φωνονικός κρύσταλλος. Για τους αριθμητικούς υπολογισμούς χρησιμοποιήθηκε η μέθοδος των πεπερασμένων διαφορών στο πεδίο του χρόνου και υπολογίστηκαν το Φάσμα Μετάδοσης καθώς και το διάγραμμα Διασποράς. Στην μελέτη αυτή περιελήφθησαν αρκετά διαφορετικά υλικά όπως το πυρίτιο, η εποξειδική ρητίνη και το βολφράμιο. Διερευνήθηκε επίσης η επίδραση όλων των γεωμετρικών παραμέτρων των δομών. Τα αποτελέσματα έδειξαν ότι οι δομές αυτές φαίνεται να έχουν πολύ ελπιδοφόρα χαρακτηριστικά ως φωνονικοί κρύσταλλοι. Υπό ορισμένες προϋποθέσεις μάλιστα μπορεί να προκύψει πλήρες τρισδιάστατο χάσμα. Λαμβάνοντας υπόψη ότι η συγκεκριμένες δομές είναι ήδη γνωστές για τη χρήση τους ως φωτονικοί κρύσταλλοι, η πεποίθηση για τη χρήση τους ταυτόχρονα ως φωτονικοί και φωνονικοί κρύσταλλοι καθίσταται βάσιμη. Στην συνέχεια, χρησιμοποιώντας ξανά τη μέθοδο των πεπερασμένων διαφορών στο πεδίο του χρόνου, μελετήθηκαν ενδεχόμενες εφαρμογές που θα μπορούσαν οι δομές αυτές να έχουν. Πιο συγκεκριμένα διερευνήθηκε αρχικά η ενδεχόμενη χρήση των φωνονικών κρυστάλλων ως αισθητήρες. Οι Ευαισθησίες αυτών των δομών υπολογίστηκαν από τις αλλαγές στα όρια των αντίστοιχων φωνονικών χασμάτων όταν ένα λεπτό φιλμ νερού (για την περίπτωση του αισθητήρα υγρασίας) προστεθεί στη δομή ή όταν οι δομές εμβαπτιστούν σε κάποιο υγρό (αισθητήρες υγρών). Μελετήθηκε επίσης για πρώτη φορά συγκεκριμένη ελαστοδυναμική συμπεριφορά της τρισδιάστατης δομής κατά στρώσεις. Τα αποτελέσματα που προέκυψαν παρουσιάζουν μια υψηλή τιμή στον λόγο της διαμήκους προς την εγκάρσια ταχύτητα του ήχου και μια ιδανική συμπεριφορά pentamode σε ένα εύρος συχνοτήτων. Τα αποτελέσματα δείχνουν σαφώς ότι η δομή κατά στρώσεις μπορεί να αποτελέσει και ένα πολύ σημαντικό ελαστοδυναμικό μεταϋλικό. Στην επόμενη ενότητα της Διδακτορικής διατριβής χρησιμοποιώντας την θεωρία συναρτησιακών πυκνότητας μελετήθηκε η φωνονική πυκνότητα καταστάσεων για υλικά τύπου γραφενίου όπως το silicene (σιλικένιο) και το germanene (γερμανένιο). Εξετάστηκαν οι περιπτώσεις στις οποίες άτομα πυριτίου ή γερμανίου στις δομές τύπου γραφενίου αντικαταστάθηκαν από άλλα άτομα της Ομάδας IV του Περιοδικού Πίνακα και διερευνήθηκε κατά πόσο οι προκύπτουσες δομές μπορούν να λειτουργήσουν ως φωνονικοί κρύσταλλοι με την εμφάνιση φωνονικών χασμάτων στην φωνονική πυκνότητα καταστάσεών τους. Εξετάστηκαν επίσης νανοσωλήνες άνθρακα και κυρίως οι ομοιότητές τους με τα υλικά τύπου γραφενίου. Βρέθηκε πως, για τις περιπτώσεις όπου η διάμετρος των νανοσωλήνων ξεπερνά το 1nm, παρουσιάζονται αρκετές ομοιότητες με τα υλικά τύπου γραφενίου. Στην τελευταία ενότητα της διατριβής διερευνώνται δομές στις οποίες μπορεί να παρατηρηθεί εντοπισμός του φωτός σε περιοχές κλίμακας νανομέτρων. Ένα σύστημα αποτελούμενο από δύο δίσκους πυριτίου με διάκενο να τους χωρίζει μερικά δέκατα του νανομέτρου μελετήθηκε πρώτο. Ο κανονικοποιημένος, αδιάστατος ενεργός όγκος καταστάσεων, V_eff, υπολογίστηκε για τους δύο χαμηλότερους συντονισμούς. Ο ενεργός όγκος καταστάσεων μειώνεται σημαντικά καθώς το χάσμα μεταξύ των δίσκων μεγαλώνει. Μελετάται επίσης μια δομή αποτελούμενη από έναν κυκλικό κυματοδηγό σχισμή ο οποίος σχηματίζεται μέσα σε έναν κυκλικό συντονιστή πυριτίου. Όπως προκύπτει από τα αριθμητικά αποτελέσματα η προτεινόμενη δομή μπορεί να εμφανίσει συντονισμούς με υψηλές τιμές του παράγοντα Q, αυξάνοντας έτσι την πεποίθηση πως η προτεινόμενη δομή μπορεί να αποτελέσει βάση για εφαρμογές σε οπτικές τηλεπικοινωνίες. / This thesis explores numerically structures that can act as phononic or photonic materials. A key feature of photonic and phononic materials is the existence of frequency gaps in propagation of electromagnetic waves and elastic waves respectively. Initially the functionality of two structures as phononic materials is numerically examined. Those structures have already been used as photonic materials. The first structure is the well-known layer-by-layer structure and the second is an acoustic strip waveguide onto which is considered one phononic crystal. For numerical calculations the Finite Difference Time Domain method was used. The transmission spectra and the band structure were calculated. Several different materials such as silicon, epoxy and tungsten were included in this study. It was also investigated the effect of all the geometric parameters of the structures. The results showed that these structures appear to have very promising features as phononic crystals. Under certain conditions it may even exists a full three-dimensional phononic band gap. Considering that those structures are already known for their use as photonic crystals, the belief for their use as both photonic crystals and phononic crystals becomes valid. Then, again using the Finite Difference Time Domain method, potential applications that these structures could have were also examined. Initially it was investigated the potential use of phononic crystals as sensors. The sensitivities of these structures were calculated from the changes in the boundaries of the respective phononic band gaps when a thin film of water (in the case of the humidity sensor) was added to the structure or when those structures immersed in a liquid (liquid sensors). Also studied for the first time the three-dimensional layer-by-layer structure for specific elastodynamic behavior. The results show a high value of the ratio of the longitudinal to the transverse speed of sound and an ideal pentamode behavior for a specific frequency range. The results clearly show that the layer-by-layer structure could be a very important elastodynamic metamaterial. In the next section of this thesis, the phonon density of states of graphene-like materials such as silicene and germanene is examined using density functional theory. Cases were silicon or germanium atoms on graphene-like structures are replaced by other group IV atoms and how these new structures could perform as nanoscale phononic crystals, creating phononic band gaps in their phonon density of states, are numerically investigated. Nanotubes were also examined and their similarities, especially for cases with diameters above 1nm, with the graphene-like materials were found. In the final section of this thesis structures which could confine light in nanometer areas were numerically examined. A system consisting of two silicon disks with in plane separation of a few tens of nanometers has been studied first. The normalized unitless effective mode volume, Veff, has been calculated for the two lowest whispering gallery modes resonances. The effective mode volume is reduced significantly as the gap between the disks decreases. It is also numerically examined a structure consisting of a circular slot waveguide which is formed into a silicon disk resonator. It is shown that the proposed structure could have high Q resonances thus raising the belief that it is a very promising candidate for optical interconnects applications.