<p><span class="fontstyle0">Ovaj rad se bavi algebrama kompleksa i stepenim konstukcijama uopste. Prvo poglavlje sadrzi pregled poznatih rezultata iz ove oblasti. U drugom poglavlju razmatrani su neki univerzalno-algebarski problemi vezani za algebre kompleksa, koji su pokrenuti u radovima C. Brinka. Trece poglavlje sadr &acute; zi rezultate o stepenim grafovima, sa posebnim osvrtom na globalnu odredjenost grafova.</span></p> / <p><span class="fontstyle0">The thesis deals with power algebras and power constructions in general. The first chapter contains the most important known results from this field. In Chapter 2 some universal-algebraic problems concerning power algebras are considered. Chapter 3 is devoted to the investigation of power graphs. The main attention is focused on the problem of global determinism of graphs.&nbsp;</span></p>

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Incidence coalgebras of categories as defined by Joni and Rota are studied, specifically in cases where a strict monoidal product on the underlying category turns the incidence coalgebra into a bialgebra or weak bialgebra. Examples of these incidence bialgebras in combinatorics are given, and include rooted trees and forests, skew shapes and bigraphs. The relations between incidence bialgebras of monoidal categories, incidence bialgebras of operads and posets, combinatorial Hopf algebras and the quiver Hopf algebras of Cibils and Rosso are discussed. Building on a result of Bergbauer and Kreimer, incidence bialgebras are seen as a useful setting in which to study aspects of combinatorial Dyson-Schwinger equations. The possibility of defining a grafting operator B+ and combinatorial DysonSchwinger equations for general incidence bialgebras is explored through the example of skew shapes.:1. Introduction 2. Background 3. Incidence bialgebras of monoidal categories and multicategories 4. Combinatorial Dyson-Schwinger equations

Unification modulo the theory of Boolean algebras has been investigated by several autors. Nevertheless, the exact complexity of the decision problem for unification with constants and general unification was not known. In this research note, we show that the decision problem is complete for unification with constants and PSPACE-complete for general unification. In contrast, the decision problem for elementary unification (where the terms to be unified contain only symbols of the signature of Boolean algebras) is 'only' NP-complete.

Specific non-relativistic quantum mechanical one-dimensional systems, interacting via point interactions, are discussed within the resolvent algebra setting.

In dieser Arbeit werden die Grundlagen von zwei häufig auftretenden Merkmalen unserer Naturgesetze untersucht: Eichsymmetrien und Quantisierung. Durch die Betrachtung dieser Merkmale im mathematischen Rahmen von Homotopie-Algebren wollen wir neue Methoden zur Berechnung physikalischer Observablen beschreiben, insbesondere in der Kosmologie und der Quantenmechanik. Zunächst befassen wir uns mit dem Problem der Eichredundanzen, die es schwer machen zu erkennen, welche Größen eine physikalische Bedeutung haben. Im Jahr 1980 erreichte Bardeen dieses Ziel in der kosmologischen Störungstheorie zu erster Ordnung. Die Frage, ob dieses Verfahren auf die perturbative Expansion von Eichtheorien aller Ordnungen ausgedehnt werden kann, ist seitdem jedoch offen geblieben. Wir zeigen, dass die Umformulierung von Eichtheorien in eichinvariante Felder als ein Transfer von homotopie-algebraischer Strukturen verstanden werden kann. Unter Verwendung dieses mathematischen Rahmens erweitern wir dann die Gültigkeit der Bardeen-Variablen auf perturbative Eichtheorien zu allen Ordnungen. Nach der Einführung eines systematisches Verfahrens für die eichinvariante Störungstheorie betrachten wir die Berechnung von Observablen in der Doppelfeldtheorie um zeitabhängige Hintergründe. Indem wir die Doppelfeldtheorie um zeitabhängige Hintergründe quadratischer und kubischer Ordnung erweitern und die quadratische Wirkung in den eichinvarianten Variablen ausdrücken, schaffen wir eine Grundlage für zukünftige Berechnungen, insbesondere zur Untersuchung des Einflusses massiver Stringmoden in kosmologischen Hintergründen. Zum Schluss betrachten wir einen anderen Ansatz zur Berechnung von Erwartungswerten in der Quantenmechanik. Obwohl die Pfadintegralformulierung der Quantenmechanik für den Fortschritt der Quantentheorie von entscheidender Bedeutung war, fehlt ihr immer noch eine strenge mathematische Definition. Die Reduktion eines unendlich-dimensionalen Raums von klassisch erlaubten Trajektorien auf einen Erwartungswert, der lediglich eine Funktion der Anfangs- und Endrandbedingungen ist, hat jedoch eine homotopiealgebraische Interpretation. Mit Hilfe des Batalin-Vilkovisky-Formalismus, der eng mit Homotopie-Lie-Algebren verwandt ist, entwickeln wir einen homologischen Ansatz zur Berechnung von Quantenerwartungswerten. Als Beispiel betrachten wir den harmonischen Oszillator und zeigen, dass unsere Methode auch im Kontext der Quantenfeldtheorie in gekrümmter Raumzeit verwendet werden kann, indem wir den Unruh-Effekt berechnen. / This thesis examines the underpinnings of two frequently manifest features of our laws of nature: gauge symmetries and quantization. By studying these features through the mathematical framework of homotopy algebras, we aim to describe new methods towards the computation of physical observables, in particular for cosmology and quantum mechanics. First, we deal with the problem of gauge redundancies, which make it difficult to discern which quantities have physical meaning. In 1980, Bardeen introduced a procedure to achieve this goal in first order cosmological perturbation theory. However, the question whether this procedure can be extended to the perturbative expansion of gauge theories to all orders has remained open since then. We show that, in general, the reformulation of gauge theories in gauge invariant fields has the interpretation of transferring homotopy algebraic structure. Utilising this mathematical framework, we then generalize Bardeen’s procedure to perturbative expansions of gauge theories to all orders in perturbations. After establishing a systematic procedure for gauge invariant perturbation theory, we set up the stage for computing observables in double field theory around time-dependent backgrounds. Double field theory not only has T-duality as a manifest symmetry, which is expected to be important in string cosmology proposals, but is also (in its weakly constrained form) a description of massive string modes, and hence is a suitable arena to investigate the imprint of massive string modes in cosmological backgrounds. By expanding double field theory around time-dependent backgrounds to quadratic and cubic order and expressing the quadratic action in terms of gauge invariant variables, we provide a basis for future computations. Finally, we describe a different approach for computing expectation values in quantum mechanics. Though having been essential for the progress of quantum theory, the path integral formulation of quantum mechanics still lacks a rigorous mathematical definition. However, the act of reducing an infinite-dimensional space of classically allowed trajectories into an expectation value which is merely a function of the initial and final boundary conditions does have a homotopy algebraic interpretation. Through the Batalin-Vilkovisky formalism, which is closely related to homotopy Lie algebras, we build a homological approach for computing quantum expectation values. We demonstrate our method for the harmonic oscillator and we show that our method can also be used in the context of quantum field theory in curved spacetime by rederiving the Unruh effect.

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Ce manuscrit est consacré à l'étude de la combinatoire de deux algèbres de Hopf d'extraction-contraction. La première est l'algèbre de Hopf de mots tassés WMat introduite par Duchamp, Hoang-Nghia et Tanasa dont l'objectif était la construction d'un modèle de coproduit d'extraction-contraction pour les mots tassés. Nous expliquons certains sous-objets ou objets quotients ainsi que des applications vers d'autres algèbres de Hopf. Ainsi, nous considérons une algèbre de permutations dont le dual gradué possède un coproduit de déconcaténation par blocs et un produit de double battage décalé. Le double battage engendre la commutativité de l'algèbre qui est donc distincte de celle de Malvenuto et Reutenauer. Nous introduisons également une algèbre de Hopf engendrée par les mots tassés de la forme x₁...x₁. Elle est isomorphe à l'algèbre de Hopf des fonctions symétriques non commutatives. Son dual gradé est donc isomorphe à l'algèbre de Hopf des fonctions quasi-symétriques. Nous considérons également une algèbre de Hopf de compositions et donnons son interprétation en termes de coproduit semi-direct d'algèbres de Hopf. Le deuxième objet d'étude est l'algèbre de Hopf de diagrammes de dissection HD introduite par Dupont en théorie des nombres. Nous cherchons des éléments de réponse concernant la nature de sa cogèbre sous-jacente. Est-elle colibre ? La dimension des éléments primitifs de degré 3 ne permet pas de conclure. Le cas du degré 5 permet d'établir la non-coliberté dans le cas où le paramètre de HD vaut - 1. Nous étudions également la structure pré-Lie du dual gradué HD. Nous réduisons le champ de recherche à la sous-algèbre pré-Lie non triviale engendrée par le diagramme de dissection de degré 1. Cette algèbre pré-Lie n'est pas libre. / This thesis deals with the study of combinatorics of two Hopf algebras. The first one is the packed words Hopf algebra WMAT introduced by Duchamp, Hoang-Nghia, and Tanasa who wanted to build a coalgebra model for packed words by using a selection-quotient process. We describe certain sub-objects or quotient objects as well as maps to other Hopf algebras. We consider first a Hopf algebra of permutations. Its graded dual has a block deconcatenation coproduct and double shuffle product. The double shuffle product is commutative so the Hopf algebra is different from the Malvenuto and Reutenauer one. We analyze then the Hopf algebra generated by packed words looking like x₁...x₁. This Hopf algebra and non commutative symmetric functions are isomorphic. So its graded dual and quasi-symmetric functions are isomorphic too. Finally we consider a Hopf algebra of compositions an give its interpretation in terms of a semi-direct coproduct structure. The second objet we study is the Hopf algebra of dissection diagrams HD introduced by Dupont in number theory. We study the cofreedom problem. We can't conclude with homogeneous primitive elements of degree 3. With the degree 5 case, we can say that is not cofree with the parameter -1. We study the pre-Lie algebra structure of HD's graded dual too. We consider in particular the sup-pre-Lie algebra generated by the dissection diagram of degree 1. It is not a free pre-Lie algebra.

Nous définissons des formes normales géodésiques pour les séries générales des groupes de réflexions complexes G(de,e,n). Ceci nécessite l'élaboration d'une technique combinatoire afin de déterminer des décompositions réduites et de calculer la longueur des éléments de G(de,e,n) sur un ensemble générateur donné. En utilisant ces formes normales géodésiques, nous construisons des intervalles dans G(e,e,n) qui permettent d'obtenir des groupes de Garside. Certains de ces groupes correspondent au groupe de tresses complexe B(e,e,n). Pour les autres groupes de Garside, nous étudions certaines de leurs propriétés et nous calculons leurs groupes d'homologie sur Z d'ordre 2. Inspirés par les formes normales géodésiques, nous définissons aussi de nouvelles présentations et de nouvelles bases pour les algèbres de Hecke associées aux groupes de réflexions complexes G(e,e,n) et G(d,1,n) ce qui permet d'obtenir une nouvelle preuve de la conjecture de liberté de BMR (Broué-Malle-Rouquier) pour ces deux cas. Ensuite, nous définissons des algèbres de BMW (Birman-Murakami-Wenzl) et de Brauer pour le type (e,e,n). Ceci nous permet de construire des représentations de Krammer explicites pour des cas particuliers des groupes de tresses complexes B(e,e,n). Nous conjecturons que ces représentations sont fidèles. Enfin, en se basant sur nos calculs heuristiques, nous proposons une conjecture sur la structure de l'algèbre de BMW. / We define geodesic normal forms for the general series of complex reflection groups G(de,e,n). This requires the elaboration of a combinatorial technique in order to determine minimal word representatives and to compute the length of the elements of G(de,e,n) over some generating set. Using these geodesic normal forms, we construct intervals in G(e,e,n) that give rise to Garside groups. Some of these groups correspond to the complex braid group B(e,e,n). For the other Garside groups that appear, we study some of their properties and compute their second integral homology groups. Inspired by the geodesic normal forms, we also define new presentations and new bases for the Hecke algebras associated to the complex reflection groups G(e,e,n) and G(d,1,n) which lead to a new proof of the BMR (Broué-Malle-Rouquier) freeness conjecture for these two cases. Next, we define a BMW (Birman-Murakami-Wenzl) and Brauer algebras for type (e,e,n). This enables us to construct explicit Krammer's representations for some cases of the complex braid groups B(e,e,n). We conjecture that these representations are faithful. Finally, based on our heuristic computations, we propose a conjecture about the structure of the BMW algebra.

Cotutelle de thèse avec Université Paris Cité / Cette thèse s'inscrit dans le vaste domaine de la théorie des représentations des groupes quantiques et des algèbres y étant reliées. Elle est divisée en trois sous-projets, tous motivés par des problèmes provenant de la théorie des systèmes intégrables quantiques et de l'étude des algèbres amassées. La thèse a donné lieu à deux articles publiés et à une prépublication. Le premier sous-projet s’intéresse à la structure algébrique d’une famille remarquable de systèmes physiques: les chaînes de spins XXZ périodiques. Le résultat central du sous-projet est la description explicite et totale de la structure de Jordan–Hölder de ces chaînes de spins pour une action naturelle des algèbres de Temperley–Lieb affines. D’autres résultats issus de ce sous-projet contiennent : une description explicite de la structure des modules projectifs de dimension finie du groupe quantique Uqsl2 (en q racine de l’unité) et une généralisation partielle de la célèbre dualité de Schur–Weyl quantique. Le second sous-projet s'intéresse à la construction de R-matrices pour la catégorie O de représentations de la sous-algèbre de Borel d'une algèbre de lacets quantique arbitraire. Les résultats principaux du projet sont la définition d'un foncteur F inversible et exact liant la catégorie O de l'algèbre de Borel Uq(b) à celle de Uq'(b) (pour q'=1/q) avec la preuve que ce foncteur F intervertit les sous-catégories O^± de Hernandez–Leclerc (tout en étant compatible avec les produits tensoriels et la simplicité des modules). Ces résultats, qui répondent à une question de Hernandez–Leclerc, permettent de construire des R-matrices pour la sous-catégorie O^+ via des R-matrices ``duales" (définies récemment par Hernandez pour O^-) et peuvent servir à déduire de nouvelles relations pour l'anneau de Grothendieck de la catégorie O. Enfin, le dernier sous-projet introduit la notion d'inflations pour les représentations des algèbres affines quantiques décalées. Ces inflations, qui sont des préimages particulières pour certains foncteurs de restriction canoniques issus des inclusions de diagrammes de Dynkin, simplifient l'étude des modules sur les algèbres affines quantiques décalées et ont, via ce fait, plusieurs applications en théorie des systèmes intégrables. Le résultat principal de ce dernier sous-projet est un théorème d'existence pour les inflations d'objets simples de la catégorie O^sh en type A–B–G (ou en tout type pour les simples de dimension finie de cette catégorie). / This thesis falls within the study of the representation theory of quantum groups and of related algebras. It is divided into three subprojects, all motivated by problems arising from the theory of quantum integrable systems and the study of cluster algebras. The thesis has resulted in two published articles and one prepublication. The first subproject focuses on the algebraic structure of a remarkable family of physical systems: the periodic XXZ spin chains. The principal result of the subproject is the explicit and complete description of the Jordan–Hölder structure of these chains for a natural action of the affine Temperley–Lieb algebras. Other results from this subproject include an explicit description of the structure of finite-dimensional projective modules for the quantum group Uqsl2 (at q a root of unity) and a partial generalization of the quantum Schur-Weyl duality. The second subproject tackles the problem of constructing R-matrices for the category O associated to the Borel subalgebra of an arbitrary quantum loop algebra. The main results of the subproject are the definition of an exact invertible functor F linking the category O of the Borel algebra Uq(b) to that of Uq'(b) (for q'=1/q) with the proof that this functor interchanges the subcategories O^± of Hernandez–Leclerc (while being also compatible with tensor products and irreducibility). These results, which answer a question of Hernandez–Leclerc, enable the construction of R-matrices for the subcategory O^+ via ``dual'' R-matrices (in O^-) and allow the deduction of new relations for the Grothendieck ring of the category O. At last, the third subproject introduces the concept of inflations for representations of shifted quantum affine algebras. These inflations, which are special preimages for canonical restriction functors coming from Dynkin diagrams inclusions, simplify the study of modules over shifted quantum affine algebras and have, by this fact, many applications in the theory of integrable systems. The central result of this final subproject is an existence theorem for inflations of simple modules of the category O^sh in type A–B–G (or in any type for finite-dimensional simple modules of this category).