Cette thèse se divise en trois parties qui peuvent être toutes regroupées autour d'une même bannière : l'étude de structures algébriques reliées aux algèbres de type Askey–Wilson. Alors que dans la première partie on s'efforce d'obtenir des interprétations duales (au sens de Howe) de ces algèbres, dans les autres parties on étudie des généralisations de ces algèbres. Des dégénérations de l'algèbre de Sklyanin, générées par des blocs plus fondamentaux que ceux générant les algèbres de type Askey–Wilson, sont étudiées dans la deuxième partie et des généralisations de plus haut rang des algèbres de type Askey–Wilson sont étudiées dans la troisième partie. Dans la première partie, en invoquant la dualité de Howe, deux interprétations duales sont obtenues pour les algèbres de Racah, Bannai–Ito, Askey–Wilson, Higgs, Hahn, \(q\)-Hahn et dual \(-1\) Hahn. La façon dont la dualité de Howe opère est rendue explicite par l'examen de processus de réduction dimensionnelle. Un modèle superintégrable 2D de mécanique quantique superconforme dont l'algèbre de symétrie est celle de type dual \(-1\) Hahn est également introduit et solutionné. Dans la deuxième partie, des algèbres générées par des opérateurs de contiguïté et d'échelle encodant des propriétés de familles de polynômes sont étudiées. Ces opérateurs appartiennent à la classe des opérateurs de Sklyanin–Heun, qui peuvent être définis sur plusieurs grilles diverses. On découvre qu'ils génèrent des dégénérations de l'algèbre de Sklyanin. On démontre que les représentations irréductibles de dimension finie de ces algèbres ont pour base des familles de para-polynômes. Les grilles linéaires, quadratiques, exponentielles et d'Askey–Wilson sont étudiées et mènent respectivement aux polynômes orthogonaux des familles de para-Krawtchouk, para-Racah, \(q\)-para-Krawtchouk et \(q\)-para-Racah. Enfin, la façon dont les polynômes de para-Krawtchouk et d'autres familles de polynômes orthogonaux sont reliées aux représentations tridiagonales du plan de Jordan déformé est présentée. Dans la dernière partie, on explore des généralisations à plus haut rang pour les algèbres de Racah et Askey–Wilson. Pour ce faire, on étudie les réalisations de ces algèbres en termes de Casimirs intermédiaires. Le rôle de la matrice \(R\) tressée est élucidé : celle-ci permet de relier divers Casimirs intermédiaires entre eux par conjugaison. Un isomorphisme entre l'algèbre de skein du crochet de Kauffman de la sphère à 4 trous et l'algèbre engendrée par les Casimir intermédiaires dans \(U_q(\mathfrak{sl}_2)^{\otimes 3}\) est présenté et permet d'interpréter de façon diagrammatique la conjugaison par la matrice \(R\) tressée mentionnée ci-haut. Finalement, une présentation du centralisateur \(Z_n(\mathfrak{sl}_2)\) de \(U(\mathfrak{sl}_2)\) dans \(U(\mathfrak{sl}_2)^{\otimes n}\) par générateurs et relations est obtenue et on montre que ce centralisateur est isomorphe à un quotient (obtenu explicitement) de l'algèbre de Racah de plus haut rang \(R(n)\). / This thesis is divided in three parts which all orbit around the same theme: the study of algebraic structures related to the algebras of Askey–Wilson type. In the first part we obtain two interpretations that are dual in the sense of Howe for the algebras of Askey–Wilson type. Meanwhile, the other two parts are concerned with generalizations of these algebras. In the second part, we study degenerations of the Sklyanin algebra, which are built out of generators that are more fundamental than those of the Askey–Wilson algebra. In the last part, generalizations of the Askey–Wilson type algebras to higher rank are studied. In the first part, dual interpretations are obtained for the Racah, Bannai–Ito, Askey–Wilson, Higgs, Hahn, \(q\)-Higgs and dual \(-1\) Hahn algebras by invoking Howe duality. The way that this Howe duality operates is made explicit through the examination of a dimensional reduction procedure. A 2D superintegrable superconformal quantum mechanics model, whose symmetry algebra is the one of dual \(-1\) Hahn type, is also introduced and solved. In the second part, we study algebras that are generated by contiguity and ladder operators that encode properties of families of orthogonal polynomials. We show that these operators belong to the Sklyanin–Heun class of operators, which can be defined for various grids. We also show how their algebraic relations correspond to those of degenerations of the Sklyanin algebra. Then, we show how various families of para-polynomials support finite-dimensional irreducible representations of these degenerate algebras. From the linear, quadratic, exponential and Askey–Wilson grids, we are respectively led to the para-Krawtchouk, para-Racah, \(q\)-para-Krawtchouk and \(q\)-para-Racah polynomials. Later, we connect the para-Krawtchouk polynomials (and other families of orthogonal polynomials) to tridiagonal representations of the deformed Jordan plane. In the final part, we explore higher rank generalizations of the Racah and Askey–Wilson algebras. To that end, their realizations in terms of intermediate Casimir elements are studied. The role of the braided \(R\)-matrix is understood as follows: it connects various intermediate Casimir elements through conjugation. We obtain an isomorphism between the Kauffman bracket skein algebra of the four-punctured sphere and the algebra generated by the intermediate Casimir elements in \(U_q(\mathfrak{sl}_2)^{\otimes3}\). This leads to a diagrammatic interpretation of the conjugation by the braided \(R\)-matrix mentioned in the above. Lastly, a presentation of the centralizer \(Z_n(\mathfrak{sl}_2)\) of \(U(\mathfrak{sl}_2)\) in \(U(\mathfrak{sl}_2)^{\otimes n}\) by generators and relations is obtained and we show that this centralizer is isomorphic to a quotient (which we provide explicitly) of the higher rank Racah algebra \(R(n)\).

Cette thèse est divisée en quatre parties qui portent sur les centralisateurs des algèbres quantiques \(U_q(\mathfrak{sl}_N)\), les polynômes biorthogonaux avec propriétés bispectrales, les polynômes bivariés de Griffiths, et les schémas d'association avec structures polynomiales bivariées. Le fil conducteur principal entre ces parties est l'algèbre d'Askey–Wilson. Dans la première partie, l'idée principale est de combiner l'algèbre du groupe des tresses avec l'algèbre d'Askey–Wilson dans des situations qui impliquent les centralisateurs de \(U_q(\mathfrak{sl}_2)\). Ainsi, on obtient des représentations du groupe des tresses en termes de polynômes orthogonaux de \(q\)-Racah par le biais de matrices \(R\) de \(U_q(\mathfrak{sl}_2)\), on obtient une interprétation de l'algèbre d'Askey–Wilson dans le cadre de la théorie topologique des champs de Chern–Simons avec groupe de jauge \(SU(2)\) ainsi que dans le cadre des invariants d'entrelacs associés à \(U_q(\mathfrak{su}_2)\), et on offre une description algébrique complète du centralisateur de \(U_q(\mathfrak{sl}_2)\) dans un produit tensoriel de trois représentations irréductibles identiques de spin quelconque. Dans une optique différente, on offre aussi une présentation algébrique de certaines algèbres de Hecke fusionnées qui décrivent des centralisateurs de \(U_q(\mathfrak{sl}_N)\). Dans la deuxième partie, on étudie deux familles de polynômes biorthogonaux par des méthodes algébriques, offrant une extension du tableau qui existe pour les polynômes orthogonaux classiques de type Askey–Wilson. Les deux familles considérées sont les polynômes \(R_I\) de type Hahn et les polynômes de Pastro. Dans les deux cas, l'idée est d'introduire un triplet d'opérateurs ayant une action tridiagonale et d'obtenir les polynômes comme solutions à deux problèmes aux valeurs propres généralisés provenant de ce triplet. On trouve les propriétés de bispectralité et de biorthogonalité des polynômes en se servant des opérateurs du triplet, et on détermine l'algèbre réalisée par les opérateurs. Dans la troisième partie, on caractérise deux familles de polynômes bivariés de Griffiths. La première famille est une généralisation des polynômes de Griffiths de type Krawtchouk qui dépend d'un paramètre \(\lambda\). On trouve leurs relations de bispectralité et leur biorthogonalité en utilisant les propriétés des polynômes de Krawtchouk à une variable. Les relations de contiguïté des polynômes univariés jouent un rôle essentiel dans les calculs. On utilise des méthodes semblables pour caractériser la deuxième famille, qui est formée de polynômes de Griffiths de type Racah. Ceux-ci sont orthogonaux. Dans la quatrième partie, on propose une généralisation bivariée des propriétés \(P\)- et \(Q\)-polynomiales pour les schémas d'association et de concepts reliés. Plusieurs exemples de schémas vérifiant la propriété \(P\)-polynomiale bivariée sont obtenus. On montre que les schémas de Johnson non-binaires ainsi que leurs analogues \(q\)-déformés, les schémas définis à partir d'espaces atténués, sont \(P\)- et \(Q\)-polynomiaux bivariés en étudiant les propriétés bispectrales des polynômes bivariés associés. Les structures algébriques reliées à ces schémas sont explorées. On propose aussi une généralisation multivariée des graphes distance-réguliers, et on montre que ceux-ci sont en correspondance avec des schémas \(P\)-polynomiaux multivariés. Finalement, on étudie une sous-classe de paires de Leonard de rang 2 qui font intervenir des polynômes bivariés factorisés. / This thesis is divided in four parts concerning centralizers of quantum algebras \(U_q(\mathfrak{sl}_N)\), biorthogonal polynomials with bispectral properties, bivariate Griffiths polynomials, and association schemes with bivariate polynomial structures. The main topic relating all these parts is the Askey–Wilson algebra. In the first part, the main idea is to combine the braid group algebra with the Askey–Wilson algebra in situations involving the centralizers of the quantum algebra \(U_q(\mathfrak{sl}_2)\). Hence, we obtain representations of the braid group in terms of \(q\)-Racah orthogonal polynomials using \(R\)-matrices of \(U_q(\mathfrak{sl}_2)\), we obtain an interpretation of the Askey–Wilson algebra in the framework of Chern–Simons topological quantum field theory with gauge field \(SU(2)\) as well as in the framework of link invariants associated to \(U_q(\mathfrak{su}_2)\), and we provide a complete algebraic description of the centralizer of \(U_q(\mathfrak{sl}_2)\) in the tensor product of three identical irreducible representations of any spin. In a different perspective, we also provide an algebraic presentation of some fused Hecke algebras, which describe some centralizers of \(U_q(\mathfrak{sl}_N)\). In the second part, we study two families of biorthogonal polynomials using algebraic methods, hence extending the picture that exists for the classical orthogonal polynomials of the Askey–Wilson type. The two families that we consider are the \(R_I\) polynomials of Hahn type and the Pastro polynomials. In both cases, the idea is to introduce a triplet of operators with tridiagonal actions and obtain the polynomials as solutions of two generalized eigenvalue problems involving this triplet. We find the bispectrality and biorthogonality properties of the polynomials using the operators of the triplet, and we determine the algebra realized by the operators. In the third part, we characterize two families of bivariate Griffiths polynomials. The first family is a generalization of the Griffiths polynomials of Krawtchouk type which depends on a parameter \(\lambda\). We find their bispectrality relations and their biorthogonality by using the properties of univariate Krawtchouk polynomials. The contiguity relations of the univariate polynomials play a key role in the computations. We use similar methods to characterize the second family, which is formed by Griffiths polynomials of Racah type. These are orthogonal. In the fourth part, we propose a bivariate generalization of the \(P\)- and \(Q\)-polynomial properties of association schemes and related concepts. Several examples of schemes satisfying the bivariate \(P\)-polynomial property are obtained. We show that the non-binary Johnson schemes and their \(q\)-deformed analogs, the schemes based on attenuated spaces, are bivariate \(P\)- and \(Q\)-polynomial by studying the bispectral properties of the associated bivariate polynomials. The algebraic structures related to these schemes are explored. We also propose a multivariate generalization of distance-regular graphs, and we show that these are in correspondence with multivariate \(P\)-polynomial schemes. Finally, we study a subclass of rank 2 Leonard pairs involving factorized bivariate polynomials.