Dans cette thèse, on définit un invariant fonctoriel d'enchevêtrements dans le tore épaissi qui généralise l'intégrale de Kontsevich. Cet invariant est tout d'abord construit analytiquement à partir d'une version universelle de la connexion de Knizhnik-Zamolodchikov-Bernard elliptique. On donne ensuite une version combinatoire de sa construction, basée sur la notion d' " associateur elliptique " introduite par Enriquez. L'outil principal de cette dernière construction est un théorème qui caractérise la catégorie des enchevêtrements en genre quelconque par une propriété universelle exprimée dans le langage des catégories tensorielles.

Cette thèse se propose d'étudier des problèmes de classification des groupes quantiques via des invariants issus de leur théorie de représentation. Plus précisément, nous classifions les algèbres de Hopf possédant un semi-anneau de fusion isomorphe à un groupe algébrique réductif donné G. De tels groupes quantiques sont alors appelés G-déformations. Dans cette thèse, nous étudions les cas GL(2) et SO(3). Nous donnons une classification complète des GL(2)-déformations en construisant une famille d'algèbres de Hopf indexées par des matrices inversibles. Nous décrivons leurs catégories de comodules et donnons certains résultats de classification quant à leurs objets de Hopf-Galois. Ensuite, nous donnons une classification des SO(3)-déformations compactes tout en étudiant le cas non-compact. Finalement, la dernière partie de la thèse est une étude de l'algèbre sous-jacente à une certaine famille d'algèbres de Hopf, dont nous exhibons une base. Cette base nous permet de calculer le centre des ces algèbres ainsi que quelques groupes de (co)homologie.

Invariants topologiques quantiques non semi-simples. La théorie des nœuds (courbes simples plongées dans R³, à déformation continue près) se développe au début du XXième siècle avec notamment les travaux d'Alexander et de Reidemeister. Elle a connu un tournant avec la topologie quantique née en 1984 par la découverte par Vaughan Jones d'une manière d'associer à chaque nœuds un polynôme. Vladimir Turaev et Nicolai Reshetikhin interprètent et généralisent ce procédé en terme de représentations des groupes quantiques. Aujourd'hui encore, la compréhension géométrique de ces invariants est ténue. Toujours dans les années 80, Edward Witten donne une interprètation physique du polynôme de Jones et suggère une généralisation aux variétés de dimension trois. Vladimir Turaev avec Nicolai Reshetikhin puis avec Oleg Viro réalise rigoureusement ces invariants nouveaux pour les variétés de dimension trois. Dans de nombreux cas, ces constructions s'avèrent triviales. Ceci est lié à la présence de représentations des groupes quantiques qui ne sont pas semi-simples. Mes travaux, en collaboration avec Nathan Geer, Vladimir Turaev, Francesco Costantino et Alexis Virelizier ont consisté, pour une grande part, à modifier les constructions précédentes pour définir des invariants non triviaux dans ce cadre non semi-simple. Ces travaux m'ont amené a développer, avec Nathan Geer et Jonathan Kujawa, des techniques algébriques qui présentent un intérêt propre en théorie des représentations. Relier les constructions de la topologie quantique et les invariants d'origine plus géométriques constitue un vrai challenge des mathématiques modernes pour lequel les invariants non semi-simples que j'ai définis offrent un point de vue prometteur.

Ce mémoire porte sur la théorie des représentations de l’algèbre quantique Uqsl2 en q une racine de l’unité. Il étudie plus précisément certains modules de l’algèbre LUqsl2, l’extension de Lusztig de Uqsl2, lorsque q² est une p-racine primitive de l’unité pour p un entier supérieur ou égal à 2. Quatre familles de LUqsl2-modules de dimension finie, qualifiés de modules remarquables, sont identifiées : les modules simples et projectifs ainsi que les modules et comodules de Weyl. L’algèbre Uqsl2 possède une structure d’algèbre de Hopf ; cette dernière peut être étendue sur LUqsl2. L’antipode découlant de cette structure permet de définir la notion de dualité de LUqsl2-modules, à partir de laquelle sont construits les comodules de Weyl, tandis que le coproduit permet de définir le produit tensoriel de LUqsl2-modules, aussi appelé la fusion de modules. Le mémoire détermine les règles de fusion des modules remarquables : le produit tensoriel de toute paire de modules remarquables est exprimé comme une somme directe de modules indécomposables. Quoique les règles de fusion entre modules simples et projectifs aient été obtenues par Bushlanov, Feigin, Gainutdinov et Tipunin (cf. [7]), celles impliquant au moins un module ou comodule de Weyl sont nouvelles. / This thesis is devoted to the representation theory of the quantum algebra Uqsl2 for q a root of unity. More precisely it studies some modules of the algebra LUqsl2, the Lusztig extension of Uqsl2, when q² is a primitive p-root of unity for p an integer greater than or equal to 2. Four families of finite dimensional LUqsl2-modules, called remarkable modules, are identified: simple and projective modules as well as Weyl modules and comodules. The algebra Uqsl2 has a Hopf algebra structure; the latter can be extended to LUqsl2. The antipode of this structure is used to define a duality of LUqsl2-modules, from which the Weyl comodules are built, while the coproduct is used to define a tensor product of LUqsl2-modules, also called fusion of modules. This thesis determines the fusion rules of remarkable modules: the tensor product of any pair of remarkable modules is expressed as a direct sum of indecomposable modules. Although the fusion rules between simple and projective modules were obtained by Bushlanov, Feigin, Gainutdinov and Tipunin (cf. [7]), those involving at least one Weyl module or comodule are new.

Ce mémoire présente une nouvelle approche pour le calcul de temps d'exécution au pire (WCET) de tâche temps-réel critique, en particulier en ce qui concerne les aléas dus aux caches mémoire. Le point général est fait sur la problématique et l'état de l'art en la matière, mais l'accent est mis sur la théorie elle-même et son formalisme, d'abord dans le cadre monotâche puis dans le cadre multitâche. La méthode utilisée repose sur une technique d'interprétation abstraite, comme la plupart des autres méthodes de calcul de WCET, mais le formalisme est dans une approche probabiliste (bien que déterministe dans le cadre monotâche) de par l'utilisation de chaînes de Markov. La généralisation au cadre multitâche utilise les propriétés proba- bilistes pour faire une évaluation pessimiste d'un WCET et d'un écart type au pire, grâce à une modification astucieuse du propagateur dans ce cadre. Des premières évaluations du modèle, codées à la main à partir des résultats de compilation d'applications assez simples montrent des résultats promet- teurs quant à l'application du modèle sur des programmes réels en vraie grandeur.

Cette thèse est consacrée à l'étude des représentations modulaires des algèbres d'Ariki-Koike, et des liens avec la théorie des cristaux et des bases canoniques de Kashiwara via le théorème de catégorification d'Ariki. Dans un premier temps, on étudie, grâce à des outils combinatoires, les matrices de décomposition de ces algèbres en généralisant les travaux de Geck et Jacon. On classifie entièrement les cas d'existence et de non-existence d'ensembles basiques, en construisant explicitement ces ensembles lorsqu'ils existent. On explicite ensuite les isomorphismes de cristaux pour les représentations de Fock de l'algèbre affine quantique de type A affine. On construit alors un isomorphisme particulier, dit canonique, qui permet entre autres une caractérisation non-récursive de n'importe quelle composante connexe du cristal. On souligne également les liens avec la combinatoire des mots sous-jacente à la structure cristalline des espaces de Fock, en décrivant notamment un analogue de la correspondance de Robinson-Schensted-Knuth pour le type A affine.

Cette thèse est divisée en quatre parties qui portent sur les centralisateurs des algèbres quantiques \(U_q(\mathfrak{sl}_N)\), les polynômes biorthogonaux avec propriétés bispectrales, les polynômes bivariés de Griffiths, et les schémas d'association avec structures polynomiales bivariées. Le fil conducteur principal entre ces parties est l'algèbre d'Askey–Wilson. Dans la première partie, l'idée principale est de combiner l'algèbre du groupe des tresses avec l'algèbre d'Askey–Wilson dans des situations qui impliquent les centralisateurs de \(U_q(\mathfrak{sl}_2)\). Ainsi, on obtient des représentations du groupe des tresses en termes de polynômes orthogonaux de \(q\)-Racah par le biais de matrices \(R\) de \(U_q(\mathfrak{sl}_2)\), on obtient une interprétation de l'algèbre d'Askey–Wilson dans le cadre de la théorie topologique des champs de Chern–Simons avec groupe de jauge \(SU(2)\) ainsi que dans le cadre des invariants d'entrelacs associés à \(U_q(\mathfrak{su}_2)\), et on offre une description algébrique complète du centralisateur de \(U_q(\mathfrak{sl}_2)\) dans un produit tensoriel de trois représentations irréductibles identiques de spin quelconque. Dans une optique différente, on offre aussi une présentation algébrique de certaines algèbres de Hecke fusionnées qui décrivent des centralisateurs de \(U_q(\mathfrak{sl}_N)\). Dans la deuxième partie, on étudie deux familles de polynômes biorthogonaux par des méthodes algébriques, offrant une extension du tableau qui existe pour les polynômes orthogonaux classiques de type Askey–Wilson. Les deux familles considérées sont les polynômes \(R_I\) de type Hahn et les polynômes de Pastro. Dans les deux cas, l'idée est d'introduire un triplet d'opérateurs ayant une action tridiagonale et d'obtenir les polynômes comme solutions à deux problèmes aux valeurs propres généralisés provenant de ce triplet. On trouve les propriétés de bispectralité et de biorthogonalité des polynômes en se servant des opérateurs du triplet, et on détermine l'algèbre réalisée par les opérateurs. Dans la troisième partie, on caractérise deux familles de polynômes bivariés de Griffiths. La première famille est une généralisation des polynômes de Griffiths de type Krawtchouk qui dépend d'un paramètre \(\lambda\). On trouve leurs relations de bispectralité et leur biorthogonalité en utilisant les propriétés des polynômes de Krawtchouk à une variable. Les relations de contiguïté des polynômes univariés jouent un rôle essentiel dans les calculs. On utilise des méthodes semblables pour caractériser la deuxième famille, qui est formée de polynômes de Griffiths de type Racah. Ceux-ci sont orthogonaux. Dans la quatrième partie, on propose une généralisation bivariée des propriétés \(P\)- et \(Q\)-polynomiales pour les schémas d'association et de concepts reliés. Plusieurs exemples de schémas vérifiant la propriété \(P\)-polynomiale bivariée sont obtenus. On montre que les schémas de Johnson non-binaires ainsi que leurs analogues \(q\)-déformés, les schémas définis à partir d'espaces atténués, sont \(P\)- et \(Q\)-polynomiaux bivariés en étudiant les propriétés bispectrales des polynômes bivariés associés. Les structures algébriques reliées à ces schémas sont explorées. On propose aussi une généralisation multivariée des graphes distance-réguliers, et on montre que ceux-ci sont en correspondance avec des schémas \(P\)-polynomiaux multivariés. Finalement, on étudie une sous-classe de paires de Leonard de rang 2 qui font intervenir des polynômes bivariés factorisés. / This thesis is divided in four parts concerning centralizers of quantum algebras \(U_q(\mathfrak{sl}_N)\), biorthogonal polynomials with bispectral properties, bivariate Griffiths polynomials, and association schemes with bivariate polynomial structures. The main topic relating all these parts is the Askey–Wilson algebra. In the first part, the main idea is to combine the braid group algebra with the Askey–Wilson algebra in situations involving the centralizers of the quantum algebra \(U_q(\mathfrak{sl}_2)\). Hence, we obtain representations of the braid group in terms of \(q\)-Racah orthogonal polynomials using \(R\)-matrices of \(U_q(\mathfrak{sl}_2)\), we obtain an interpretation of the Askey–Wilson algebra in the framework of Chern–Simons topological quantum field theory with gauge field \(SU(2)\) as well as in the framework of link invariants associated to \(U_q(\mathfrak{su}_2)\), and we provide a complete algebraic description of the centralizer of \(U_q(\mathfrak{sl}_2)\) in the tensor product of three identical irreducible representations of any spin. In a different perspective, we also provide an algebraic presentation of some fused Hecke algebras, which describe some centralizers of \(U_q(\mathfrak{sl}_N)\). In the second part, we study two families of biorthogonal polynomials using algebraic methods, hence extending the picture that exists for the classical orthogonal polynomials of the Askey–Wilson type. The two families that we consider are the \(R_I\) polynomials of Hahn type and the Pastro polynomials. In both cases, the idea is to introduce a triplet of operators with tridiagonal actions and obtain the polynomials as solutions of two generalized eigenvalue problems involving this triplet. We find the bispectrality and biorthogonality properties of the polynomials using the operators of the triplet, and we determine the algebra realized by the operators. In the third part, we characterize two families of bivariate Griffiths polynomials. The first family is a generalization of the Griffiths polynomials of Krawtchouk type which depends on a parameter \(\lambda\). We find their bispectrality relations and their biorthogonality by using the properties of univariate Krawtchouk polynomials. The contiguity relations of the univariate polynomials play a key role in the computations. We use similar methods to characterize the second family, which is formed by Griffiths polynomials of Racah type. These are orthogonal. In the fourth part, we propose a bivariate generalization of the \(P\)- and \(Q\)-polynomial properties of association schemes and related concepts. Several examples of schemes satisfying the bivariate \(P\)-polynomial property are obtained. We show that the non-binary Johnson schemes and their \(q\)-deformed analogs, the schemes based on attenuated spaces, are bivariate \(P\)- and \(Q\)-polynomial by studying the bispectral properties of the associated bivariate polynomials. The algebraic structures related to these schemes are explored. We also propose a multivariate generalization of distance-regular graphs, and we show that these are in correspondence with multivariate \(P\)-polynomial schemes. Finally, we study a subclass of rank 2 Leonard pairs involving factorized bivariate polynomials.