Innehållet i studien handlar om att kategorisera olika typer av fel som elever i åk 1 på gymnasiet gör i algebra. Data utgörs av 80 elevprov skrivna av elever på samhällsvetenskapsprogrammet och VVS- och fastighetsprogrammet läsåret 2017/2018 och 2018/2019. Uppgifterna som eleverna har fått göra är lösa ekvationer, förenkla uttryck, räkna värdet av ett uttryck samt problemlösning. Elevernas svar har analyserats och kategoriserats i sex feltyper: 1. Förståelsefel, 2. Procedurfel, 3. Modelleringsfel eller problemlösningsfel, 4. Resonemangsfel, 5. Redovisningsfel eller kommunikationsfel, 6. Övriga fel. I resultatet preseneteras varje feltyp illustrerad med elevexempel. Med tidigre forskning som utgångspunkt identifieras och diskuteras vilka missuppfattningar och svårigheter som kan vara den bakomliggande orsaken till att eleverna gjort dessa fel.  Några exempel på orsaker är att eleverna inte uppfattar variabelns (x) symboliska värde, förstår inte variablers generella beteckning (a och b), att variabeln kan representera en siffra, eleverna övergeneraliserar, förstår inte räkning med negativa tal, kan inte hantera aritmetik, förstår inte likhetstecknets betydelse, har oeffektiv resonemang (gissar, testar sig fram), samt skriver av uppgiften fel.

The research field of graded ring theory is a rich area of mathematics with many connections to e.g. the field of operator algebras. In the last 15 years, algebraists and operator algebraists have defined algebraic analogues of important operator algebras. Some of those analogues are rings that come equipped with a group grading. We want to reach a better understanding of the graded structure of those analogue rings. Among group graded rings, the strongly graded rings stand out as being especially well-behaved. The development of the general theory of strongly graded rings was initiated by Dade in the 1980s and since then numerous structural results have been established for strongly graded rings.  In this thesis, we study the class of epsilon-strongly graded rings which was recently introduced by Nystedt, Öinert and Pinedo. This class is a natural generalization of the well-studied class of unital strongly graded rings. Our aim is to lay the foundation for a general theory of epsilon-strongly graded rings generalizing the theory of strongly graded rings. This thesis is based on three articles. The first two articles mainly concern structural properties of epsilon-strongly graded rings. In the first article, we investigate a functorial construction called the induced quotient group grading. In the second article, using results from the first article, we generalize the Hilbert Basis Theorem for strongly graded rings to epsilon-strongly graded rings and apply it to Leavitt path algebras.  In the third article, we study the graded structure of algebraic Cuntz-Pimsner rings. In particular, we obtain a partial classification of unital strongly, epsilon-strongly and nearly epsilon-strongly graded Cuntz-Pimsner rings up to graded isomorphism.

Skolans matematikundervisning styrs till stor del av läromedel. Dessvärre finns inte så många vetenskapliga studier av de svenska matematikläromedlen. För elevers kunskaper i algebra är arbetet med mönster en viktig del. Därför handlar det här arbetet om hur mönster framställs i några av de vanligaste läromedlen som används i svensk skolas matematik­undervisning idag. Syftet med undersökningen har varit att ta reda på hur utbudet av mönster i läromedlen ser ut och vilket lärande som därmed erbjuds eleverna. Undersökningen har genomförts som en litteraturstudie med drag av en innehållsanalys. Studien har både kvantitativa och kvalitativa inslag.  Fyra serier av läromedel undersöks: Prima, Eldorado, Favorit och Matte Direkt, alla i årskurs 1-6. De böcker som har undersökts är de som eleverna använder i undervisningen och alltså inte lärarhandledningar eller andra böcker. Totalt omfattar undersökningen 43 läroböcker. Data ställs mot de kategorier som TIMSS 2015 har använt vid bedömning. Resultatet ställs mot tidigare forskning om vad som där pekas ut som viktigt för att eleverna ska utveckla en algebraisk förståelse för matematiken. Resultatet av studien är att det är stor skillnad på i vilken omfattning eleverna exponeras för mönster och vilka mönster och talföljder som erbjuds i de olika bokserierna. En förmåga som särskilt studeras i undersökningen är elevernas förmåga att generalisera, vilken är nära sammankopplad till att utveckla algebraiska resonemang. Uppgifter som är till för att låta elever utveckla eller träna på att generalisera samband erbjuds framför allt i de högre årskurserna. Sammanfattningsvis är Prima och Favorit de läromedel som erbjuder eleverna flest möjlighet till möte med mönster. Däremot har Eldorado en större spridning av uppgifter och bedömningskategorier från TIMSS 2015 som prövas. Matte Direkt har inte ett lika stort antal uppgifter och har även ett lite mindre utbud av spridning av olika mönsteruppgifter. Det kan eventuellt påverka elevernas framtida förståelse för algebra. / The teaching in mathematics is (at least in Sweden) to a large extent governed by textbooks. Unfortunately, there is little research about the Swedish teaching materials. One subject that is of particular importance for young students is to develop an algebraic thinking is patterns. Therefore, this study is about how patterns are presented in the most frequently used teaching materials in Swedish classrooms today. The aim is to find out what the teaching materials offer in terms of variation of patterns and number sequences and hence to conjecture what this implies for students’ learning. It is conjectured through an study about what types of patterns that are treated in the teaching materials and how the tasks in the textbooks are elaborated. Data are compared to research literature on patterns and number sequences and what has been shown to be necessary for students to attend to in order to develop an algebraic thinking. Data are also compared with the categories which TIMSS 2015 use in their assessment. The method that has been used in the study is influenced by content analysis. The study used mixed methods, meaning both quantitative and qualitative methods. The teaching materials being investigated are Prima, Eldorado, Favorit and Matte Direkt in the years 1-6, and the total number of books is 43. The analysis shows a big difference between the books regarding what types of patterns and tasks are being offered. I argue that students are given different opportunities to develop their abilities depending on what teaching materials they come across in the teaching. The students get opportunity to develop the ability to generalize mostly in higher grades. In summary, the teaching materials that offer students the most opportunities to meet patterns is Prima and Favorit. On the other hand, Eldorado has a larger diversity when it comes of tasks and assessment categories, as being compared to TIMSS 2015 framework. Matte Direkt has not that large number of tasks and offers a small supply of variation.  It may affect the students’ later understanding of algebra.

Denna systematiska litteraturstudie syftar till att med hjälp av forskning identifiera avgörande faktorer för framgångsrika undervisningsstrategier av stambråk i grundskolans matematikundervisning. Studien baseras på elva vetenskapliga artiklar som bearbetats systematiskt med hjälp av innehållsanalys för att besvara forsknings-frågorna om vilka avgörande faktorer som forskningen visar för undervisningen av stambråk samt vilka framgångsrika undervisningsstrategier som finns. Forskningen visar att areamodellen som representationsform dominerar undervisningen av bråk vilket innebär att stambråk får lite plats i undervisningen. Stambråket är en viktig del för att kunna tillägna sig avgörande faktorer av bråk. Resultatet visar att en undervisning med linear measurement (linjära representationsformer) betonar stambråkets roll som tolkningsverktyg för att kunna jämföra andra bråk samt det omvända förhållandet där en större nämnare utgör en mindre andel. Resultatet visar också att undervisningen av stambråk etablerar grundläggande principer för rationella tal och mer avancerade matematiska områden som proportionalitet och algebra. Därmed är lärares val av undervisningsstrategier och representationsformer samt deras kunskaper inom dessa områden vitala för vad eleverna kan tillägna sig i samband med bråkundervisningen.

In this thesis the relationship between Gröbner bases and algebraic coding theory is investigated, and especially applications towards linear codes, with Reed-Müller codes as an illustrative example. We prove that each linear code can be described as a binomial ideal of a polynomial ring, and that a systematic encoding algorithm for such codes is given by the remainder of the information word computed with respect to the reduced Gröbner basis. Finally we show how to apply the representation of a code by its corresponding polynomial ring ideal to construct a class of codes containing the so called primitive Reed-Müller codes, with a few examples of this result.

Syftet med den här studien är att belysa faktorer som möjliggör eller hindrar förståelsen av likhetstecknet hos elever och dess övergång mellan aritmetik och algebra. Med en systematisk litteraturstudie som metod söktes vetenskapliga artiklar som sammanställdes i fem olika kategorier. Svårigheter i tidig algebra, matematikens språk, relationell/instrumentell förståelse samt relationella tolkningar och till sist lärarperspektivet. Resultatet från den systematiska litteraturstudien bekräftade att elever inte har en relationell förståelse av likhetstecknet. Artiklarna visade framför allt att traditionell aritmetikundervisning hindrar elevers utveckling i algebraiskt tänkande. Uppgifter med operationer skrivna i vänsterled visade sig stärka elevers instrumentella förståelse av likhetstecknet. Ett instrumentellt och relationellt språk (både skriftligt och verbalt) framträdde också som en avgörande faktor för elevers förståelse. Utifrån artiklarnas resultat undersöktes vilka faktorer av likhetstecknet som elever får möjlighet att öva i digitala spel med hjälp av en innehållsanalys. Det visade sig att de digitala spelen i den här studien inte är utformade för att stödja elevers relationella förståelse av likhetstecknets betydelse utan fortsätter att stärka den instrumentella förståelsen hos elever. / The purpose of this study is to illustrate factors concerning the concept of the equal sign and its impact on the transition from arithmetic to algebra. Using a systematic literature study as a method, scientific articles were compiled into five different categories. Difficulties linked to early algebra, The language of Mathematics, Relational/instrumental understanding as well as relational interpretations and finally the Teacher perspective. Our systematic literature review confirmed that students do not have a relational understanding of the equal sign. Indeed, it highlighted that traditional arithmetic teaching methods tended to hinder student development in algebraic thinking through tasks, such as operations being on the left side of the equal sign and the answer as an outcome on the right side of the equal sign. This has been shown to strengthen students' instrumental understanding of the sign rather than dismantling it. Further, instrumental, and relational language (both written and verbal) proved to be decisive factors in students’ learning. Based on the results of our scientific articles, we undertook a content analysis of digital resources and examined whether the equal sign strengthens students instrumental or relational understanding of the equal sign. It turned out that the digital games analysed in this study are not designed to support students’ relational understanding of the equal sign but continues to strengthen their instrumental understanding.

We begin by giving some theoretical background to the underlying concepts of spin representations and spinors. This is done from the perspective of Lie groups and Lie algebras. In particular, we discuss the functionality of Clifford algebras in the determination of the double-covering spin groups. An introduction to K-algebras and Clifford algebras is then given, focusing on the properties of pseudo-Euclidean spaces <img src="http://www.diva-portal.org/cgi-bin/mimetex.cgi?%5Cmathbb%7BR%7D%5E%7Bp,q%7D" data-classname="equation" data-title="" />. Some low-dimensional examples are also included, culminating with a characterisation of some Clifford algebras as matrix algebras. Elementary representation theory is then introduced and quickly followed by the definition of the Clifford-Lipschitz and spin groups. The work of Lundholm and Svensson (2016), Vaz and da Rocha (2016), and Schwichtenberg (2018) is then united to construct a definition of the spin representations. An attempt at formulating a definition of spinors from a mathematical perspective is then given; formed by combining multiple approaches and definitions of the above-mentioned authors, as well as drawing inspiration from important cases in theoretical physics, in particular that of SO(3) and the Lorentz group SO(1,3).

This thesis will cover an elementary proof of the Riemann–Roch Theorem for planecurves. We will introduce the notions of divisors, which is a convenient way of com-puting multiplicities of rational function, then continuing by introducing differentials.Furthermore we will introduce the K-vector space L(D), consisting of rational func-tions which are controlled by a divisor D. This is followed by presenting some moreresults before we arrive at an elementary proof of the Riemann–Roch Theorem.

Enligt Skollagen har alla elever rätt till den ledning och stimulans de behöver för att utifrån sina egna förutsättningar utvecklas så långt som möjligt. Av denna anledning vill vi genom denna studie undersöka hur algebraiska uppgifter och undervisning inom algebra kan anpassas för att matematiskt begåvade elever ska ges den utmaning och stimulans de behöver för att utvecklas så långt som möjligt. Detta har undersökts genom att genomföra en lektionsserie, bestående av tre lektionstillfällen. Efter att lektionsserien avslutats genomfördes semistrukturerade intervjuer i fokusgrupper med de deltagande eleverna, för att undersöka vad som krävs för att algebraiska uppgifter och undervisning inom algebra ska upplevas som utmanande och stimulerande av matematiskt begåvade elever i årskurs 5. Den teori som använts för att analysera resultaten är positioneringsteorin. De viktigaste resultaten som framkommit är att dessa elever ska erbjudas att arbeta med utmanande uppgifter och att detta med fördel görs genom att låta dem arbeta med dessa i par/grupper, med andra elever på en liknande kunskapsnivå. / According to the School Act, all students have the right to the guidance and stimulation they need to develop to the best of their abilities based on their individual conditions. For this reason, we want to investigate through this study how algebraic tasks and teaching within algebra can be adapted to provide mathematically gifted students with the challenge and stimulation they need to develop to the fullest extent possible. This has been examined by conducting a series of lessons consisting of three class sessions. After the lesson series concluded, semi-structured interviews were conducted in focus groups with the participating pupils to explore what is required for algebraic tasks and algebraic teaching to be perceived as challenging and stimulating by fifth-grade students. The theory used to analyze the results is positioning theory. The most important findings that have emerged are that these pupils should be offered the opportunity to work with challenging tasks, preferably by allowing them to work with these tasks in pairs/groups with other students at a similar level of knowledge.

Denna kvalitativa studie syftar till att få större insikt i hur lärare kan arbeta för att möta och minska den problematik och de svårigheter som elever kan uppvisa med algebraiska ekvationer i grundskolans årskurs 4-6. Studien är baserad på klassrumsobservationer i två klasser i årskurs 6 och en semistrukturerad intervju med en yrkesverksam matematiklärare. Detta är därmed en fallstudie som grundar sig i teorin om algebrans fem stora idéer samt de fem olika undervisningsstrategierna enligt Trigwell och Prosser, vilka är antingen elev- eller lärarfokuserade. Resultatet från undersökningen visar att den deltagande läraren är medveten om många av de svårigheter som elever har med algebraiska ekvationer, där särskilt stor vikt läggs på likhetstecknets innebörd. Vidare visar resultatet att läraren bemöter dessa, och andra, svårigheter på olika sätt och med varierande metoder baserat på intentionen med undervisningen. Däremot finns ingen djupare kunskap om algebrans fem stora idéer hos läraren, något som kan påverka undervisningsmöjligheterna och i sin tur elevernas inlärning. Det blir därmed relevant att överväga om det är något som bör ingå i de lärarutbildningar som ges vid olika universitet. / This qualitative study aims to gain greater insight into how teachers can work to meet and reduce the problems and difficulties that students may have with algebraic equations in primary school grades 4-6. The study is based on classroom observations in two classes in grade 6 and a semi-structured interview with a mathematics teacher. This is thus a case study based on the theory of the five big ideas of algebra and the five different teaching strategies according to Trigwell and Prosser, which are either student- or teacher-focused. The results of the study show that the participating teacher is aware of many of the difficulties that students have with algebraic equations, where particular emphasis is placed on the meaning of the equal sign. Furthermore, the results show that the teacher addresses these, and other, difficulties in different ways and with varying methods based on the intention of the teaching. However, the teacher has no deeper knowledge of the five big ideas of algebra, which can affect the teaching possibilities and in turn the students' learning. Therefore it becomes relevant to consider whether it is something that should be included in the teacher education programs offered at various universities.