Ce travail est la synthèse de travaux de recherches en mathématiques, dont les thèmes sont empruntés à la géométrie algébrique, la combinatoire analytique et les probabilités. La première partie concerne les variétés algébriques complexes de dimension trois. On y présente un calcul de la cohomologie singulière de variétés toriques lisses non complètes, ainsi que la construction d'un modèle toroïdal des singularités-quotient, dont le calcul nécessite l'étude combinatoire fine de l'action des groupes finis de matrices unitaires sur le plan projectif. La deuxième partie développe une adaptation "hybride" de la méthode de Darboux et de l'analyse des singularités pour le développement asymptotique des coefficients d'une série entière dans certains cas de frontière naturelle d'analyticité. De nombreux exemples issus de l'analyse combinatoire sont ainsi traités, dont celui de l'analyse d'algorithmes de factorisation de polynômes sur les corps finis qui sont utilisés en calcul formel et pour les codes correcteurs d'erreurs. La troisième partie résout une conjecture sur les arbres $m$-aires de recherche qui sont une structure fondamentale de l'algorithmiques des ensembles de données. Le modèle considéré est un modèle d'urnes qui se généralise en la notion de processus aléatoires de Pòlya dont le comportement asymptotique général est étudié. Dans la quatrième partie, on construit un arbre aléatoire associé à la \emph{Chaos Game Representation} utilisée en bio-mathématique et en bio-informatique du génôme. Les asymptotiques de la hauteur et de la profondeur d'insertion de ces arbres y sont établies.

Le travail présente dans ce mémoire décrit le développement et l'utilisation de réseaux de neurones artificiels pour la resolution d'un probleme de reconnaissance de formes particulières, les partitions musicales. Le premier chapitre est consacre a une étude bibliographique des méthodes connexionnistes employées en reconnaissance de formes. Nous tentons de présenter les principaux modèles de réseaux de neurones de manière homogène et de justifier le choix du modèle auquel nous nous sommes particulièrement intéresses: celui des réseaux multi-couches. Nous consacrons le deuxième chapitre a l'étude de ces derniers. Après une synthèse des différentes connaissances utiles au choix de l'architecture d'un réseau multi-couche et a la mise en œuvre de l'algorithme d'apprentissage par rétro-propagation du gradient, nous nous intéressons aux réseaux d'automates a seuil. Les propriétés de ces réseaux et leurs liens avec les méthodes usuelles de classification sont mis en évidence. Ceci nous amène a proposer un nouvel algorithme d'apprentissage hiérarchique. Dans le dernier chapitre, nous décrivons un système de reconnaissance bas-niveau d'images de partitions musicales imprimées. Différentes solutions pour le pré-traitement, la segmentation et la classification sont proposées. Ces solutions font appel tant a l'analyse d'image conventionnelle qu'aux réseaux de neurones décrits dans les chapitres précédents; elles sont illustrées par des résultats expérimentaux

L'étude de certaines variables aléatoires, comme les paramètres additifs sur les arbres hyperquaternaires de points, ou encore le nombre de maxima au sein d'un ensemble de n points indépendants, et uniformément distribués dans [0,1]^d font apparaître des suites particulières, les sommes harmoniques multiples (SHM), extensions des nombres harmoniques classiques à des multi-indices.<br /><br />Nos travaux visant à appliquer des méthodes symboliques pour l'étude de ces variables aléatoires, nous remplaçons l'utilisation de multi-indices par des codages sur des alphabets distincts, et nous appuyons alors sur des résultats importants en combinatoire des mots pour les appliquer à nos suites de SHM, et aux fonctions polylogarithmes, qui sont des variantes des génératrices ordinaires des SHM. Dans les cas convergents, les deux objets convergent (respectivement lorsque z tend vers 1 et lorsque N tend vers l'infini) vers la même limite, appelée polyzêta. Pour les cas divergents, l'utilisation de séries génératrices non commutatives nous permet d'établir un théorème ``à l'Abel'', faisant apparaître une limite commune. Ce théorème permet de donner une forme explicite aux constantes d'Euler généralisées associées à des SHM divergentes et ainsi d'obtenir un algorithme très efficace pour calculer leur développement asymptotique.<br /><br />Finalement, nous proposons des applications des sommes harmoniques dans le domaine des structures de données multidimensionnelles, pour lesquelles notre approche donne naissance à des calculs exacts, qui peuvent par la suite être aisément évalués asymptotiquement.

Les réaliseurs, ou arbres de Schnyder, ont été introduits par Walter Schnyder à la fin des années 80 pour caractériser les graphes planaires, puis pour dessiner ces mêmes graphes sur des grilles $(n-2)\times(n-2)$.<br>Dans ce document nous proposons dans un premier temps une extension du théorème de Wagner aux réaliseurs, qui nous permet d'établir une relation entre le nombre de feuilles et le nombre de faces tricolores d'un réaliseur.<br>Ensuite, à l'aide d'une bijection entre les réaliseurs et les paires de chemins de Dyck qui ne se coupent pas, nous énumérons les réaliseurs. Un algorithme de génération aléatoire de $p$ chemins de Dyck ne se coupant pas, est également présenté. Il permet en outre de générer aléatoirement des réaliseurs en temps linéaire.<br>Puis nous montrons que grâce aux réaliseurs, il est possible de dessiner, à l'aide de lignes brisées des graphes planaires sur des grilles de largeur et de surface optimales.<br>Enfin, nous proposons une généralisation des réaliseurs minimaux aux graphes planaires connexes : les arbres recouvrants bien-ordonnés. Grâce à cette généralisation ainsi qu'à une méthode de triangulation adaptée nous proposons un algorithme de codage des graphes planaires à $n$ sommets en $5,007n$ bits.

Le sujet principal de cette thèse est l'étude de l'équation de Klein-Gordon couplée avec un terme d'interaction et sa quantification du point de vue multisymplectique. <br /><br />Nous nous interessons tout d'abord à l'équation linéaire et nous proposons une description multisymplectique de la quantification canonique par le biais d'une representation des symétries, de la quantification par deformation et enfin nous introduisons la notion de quatification par déformation multisymplectique. <br /><br />Ensuite nous traitons le champ en interaction. Nous construisons dans un premier temps des observables sous la forme de séries sur les arbres plans puis nous montrons comment elles peuvent être reliées aux séries de Butcher. Enfin nous voyons comment appliquer nos résultats à la théorie du contrôle.

Dans cette these, produit de techniques issues de la theorie des $C^*$-algebres et de la theorie spectrale, nous etablissons de nouveaux resultats concernant les proprietes spectrales d'operateurs agissant sur les arbres et divers criteres concernant la stabilite du spectre essentiel d'operateurs non-bornes.<br />Elle se compose de trois articles.<br /><br />Les deux premiers traitent de la theorie spectrale et de la diffusion des operateurs de Schroedinger sur un arbre et de sa generalisation naturelle aux espaces de Fock. Les problemes abordes sont : la validite de l'estimation de Mourre et la caracterisation du spectre essentiel d'operateurs anisotropes par des methodes $C^*$-algebriques.<br /><br />Dans le troisieme article, nous nous proposons une recherche de criteres de stabilite du spectre essentiel pour des operateurs agissant sur des modules de Banach. Les applications couvrent les operateurs de Dirac, les perturbations de metriques riemanniennes, les operateurs sous forme divergence et bien d'autres. Outre son formalisme algebrique, ce travail est caracterise par l'absence de conditions de regularite dans les hypotheses.

L'Analyse Quantifiée de la Marche (AQM) est un examen permettant d'identifier et de quantifier les défauts de marche d'un patient à partir de données biomécaniques. L'interprétation de cet examen, conduisant à l'explication des défauts de marche, est ardue. Parmi ces défauts, la marche digitigrade est un des plus courants et pour lequel l'identification des causes demeure difficile. Ce travail propose de fournir une aide à l'interprétation des données de l'AQM pour la marche digitigrade. Afin d'atteindre cet objectif, une méthode d'Extraction de Connaissances à partir de Données (ECD) est utilisée en combinant un apprentissage automatique non-supervisé et supervisé, pour extraire objectivement des connaissances intrinsèques et discriminantes des données de l'AQM. L'apprentissage non-supervisé (c-moyennes floues) a permis d'identifier trois patrons de marche digitigrade à partir de la cinématique de la cheville provenant d'une base de données de plus de 2500 AQM (Institut Saint-Pierre, Palavas, 34). L'apprentissage supervisé est utilisé pour expliquer ces trois patrons de marche par des mesures cliniques sous la forme de règles induites à partir d'arbres de décision flous. Les règles les plus significatives et interprétables (12) sont sélectionnées pour créer une base de connaissances qui est validée au regard de la littérature et des experts. Ces règles peuvent servir d'aide à l'interprétation des données de l'AQM pour la marche digitigrade. Ce travail ouvre différentes perspectives de recherche allant de la généralisation de la méthode utilisée à la création d'un simulateur de marche pathologique.

Nous nous intéressons à la sélection de modèle en apprentissage automatique, sous deux angles différents. La première partie de la thèse concerne les méthodes à noyau relationnel. Les méthodes à noyau permettent en principe de s'affranchir de la représentation des instances, et de combler le fossé entre apprentissage relationnel et apprentissage propositionnel. Cette thèse s'intéresse à la faisabilité de cet objectif dans un cas particulier : les problèmes à instances multiples, qui sont considérés comme un intermédiaire entre les problèmes propositionnels et les problèmes relationnels. Concrètement, nous déterminons sous quelles conditions le noyau-somme, utilisé sur des problèmes à instances multiples, est en mesure de reconstruire le concept-cible. Cette étude suit le schéma standard des études de transition de phase et s'appuie sur un critère nouveau pour caractériser l'efficacité de la propositionnalisation induite par le noyau-somme. La deuxième partie de la thèse porte sur la sélection d'attributs. Une solution pour résoudre les problèmes à instances multiples, tels que présentés en première partie, passe par une propositionnalisation associant un attribut à chaque instance présente dans le problème. Le nombre d'attributs ainsi construits étant gigantesque, il est alors nécessaire de sélectionner un sous-ensemble d'attributs ne contenant que des attributs pertinents. La deuxième partie de la thèse propose donc une nouvelle approche pour la sélection d'attributs. La sélection d'attributs est réécrite comme un problème d'apprentissage par renforcement, conduisant ainsi à une politique de sélection optimale mais non-calculable en un temps raisonnable. Cette politique est approchée en se fondant sur une approche de jeu à un joueur et en utilisant la méthode Monte-Carlo pour les arbres UCT (Upper Confidence bound applied to Trees), qui a été proposée par Kocsis et Szepesvari (2006). L'algorithme FUSE (Feature Uct SElection) étend UCT pour gérer (1) l'horizon fini mais inconnu, et (2) le facteur de branchement élevé de l'arbre de recherche reflétant la taille de l'ensemble d'attributs. Finalement, une fonction de récompense frugale est proposée en tant qu'estimation grossière mais non-biaisée de la pertinence d'un sous-ensemble d'attributs. Une preuve de concept de FUSE est fournie sur des bases de données de référence.

Dans le contexte de la sûreté de fonctionnement des systèmes critiques, nous nous intéressons aux analyses par arbres de défaillance dynamiques (AdDD). Notre contribution est la définition d'un cadre algébrique permettant de déterminer la fonction de structure des AdDD et d'étendre les méthodes analytiques communément utilisées pour analyser les arbres statiques aux arbres dynamiques. Dans un premier temps, nous passons en revue les principales approches utilisées pour analyser les arbres de défaillance dynamiques, ainsi que leurs limites respectives. Le cadre algébrique permettant la modélisation des AdDD est ensuite présenté. Ce cadre algébrique est fondé sur un modèle temporel des événements et sur la définition de trois opérateurs temporels permettant de traduire la séquentialité d'apparition des événements. Ces opérateurs temporels permettent de définir algébriquement le comportement des portes dynamiques, et donc la fonction de structure des AdDD. Un modèle probabiliste de ces portes dynamiques est ensuite donné afin de pouvoir déterminer la probabilité de défaillance de l'événement sommet des arbres à partir de cette fonction de structure. Nous montrons enfin comment la fonction de structure des AdDD peut être ramenée à une forme canonique grâce à des théorèmes de réécriture, puis à une forme minimale grâce à la définition d'un critère de minimisation, et comment les AdDD peuvent être analysés de manière analytique et directe à partir de cette forme canonique minimale de la fonction de structure. Nous illustrons cette approche avec deux exemples d'AdDD issus de la littérature.

Cette thèse porte sur la construction et l'étude des représentations modulaires des groupes réductifs finis. Comme dans le cas ordinaire, l'accent est mis sur les constructions de nature géométrique, obtenues à partir de la cohomologie des variétés de Deligne-Lusztig. On commence par introduire des méthodes de décomposition du type Deodhar, permettant de déterminer en toute généralité la présence d'une classe particulière de représentations, les modules de Gelfand-Graev, ainsi que certaines de leurs versions généralisées. Des résultats plus précis sont ensuite démontrés pour des variétés associées à certains éléments réguliers de petite longueur. Le cas des éléments de Coxeter tient une place importante dans ce mémoire : pour ces éléments, on détermine un représentant explicite du complexe de cohomologie, aboutissant à une preuve de la version géométrique de la conjecture de Broué pour certains nombres premiers. On en déduit aussi la forme de l'arbre de Brauer du bloc principal dans ce cas, ce qui résout une conjecture de Hiss, Lübeck et Malle. Ces deux résultats sont conditionnés par une hypothèse assurant l'absence de torsion dans la cohomologie, dont on montre qu'elle est satisfaite pour de nombreux groupes classiques et exceptionnels.