Dans cette thèse nous considérons l’équation des ondes amorties vectorielle sur une variété riemannienne compacte, lisse et sans bord. L’amortisseur est ici une fonction lisse allant de la variété dans l’espace des matrices hermitiennes de taille n. Les solutions de cette équation sont donc à valeurs vectorielles. Nous commençons dans un premier temps par calculer le meilleur taux de décroissance exponentiel de l’énergie en fonction du terme d’amortissement. Ceci nous permet d’obtenir une condition nécessaire et suffisante la stabilisation forte de l’équation des ondes amorties vectorielle. Nous mettons aussi en évidence l’apparition d’un phénomène de sur-amortissement haute fréquence qui n’existait pas dans le cas scalaire. Dans un second temps nous nous intéressons à la répartition asymptotique des fréquences propres de l’équation des ondes amorties vectorielle. Nous démontrons que, à un sous ensemble de densité nulle près, l’ensemble des fréquences propres est contenu dans une bande parallèle à l’axe imaginaire. La largeur de cette bande est déterminée par les exposants de Lyapunov d’un système dynamique défini à partir du coefficient d’amortissement. / In this thesis we are considering the vectorial damped wave equation on a compact and smooth Riemannian manifold without boundary. The damping term is a smooth function from the manifold to the space of Hermitian matrices of size n. The solutions of this équation are thus vectorial. We start by computing the best exponential energy decay rate of the solutions in terms of the damping term. This allows us to deduce a sufficient and necessary condition for strong stabilization of the vectorial damped wave equation. We also show the appearance of a new phenomenon of high-frequency overdamping that did not exists in the scalar case. In the second half of the thesis we look at the asymptotic distribution of eigenfrequencies of the vectorial damped wave equation. Were show that, up to a null density subset, all the eigenfrequencies are in a strip parallel to the imaginary axis. The width of this strip is determined by the Lyapunov exponents of a dynamical system defined from the damping term.

Ce travail de thèse a concerné la modélisation mathématique et l’approximation numérique de l’influence d‘une inclusion très fine sur un substrat élastique de différente rigidité. L’étude est motivée par les applications dans les pneumatiques et ne se base pas sur des techniques d’homogénéisation classiques. En effet, l’objectif a été de traiter l’interaction entre une seule inclusion et son milieu élastique et non une densité d’inclusions. L’étude a comporté trois volets, le premier concernant une modélisation mathématique pour des lois de comportement linéaires aboutissant à une expression de la contribution de l’inclusion sous la forme du champ sans inclusion corrigé par des correcteurs à différents ordres. Ces correcteurs sont indépendants de la taille caractéristique de l’inclusion, Le second a concerné l’approximation numérique de cette influence moyennant la méthode des éléments finis et celle des éléments finis inversés. Une stratégie numérique de prise en compte de l’influence de plusieurs inclusions y est aussi présentée. Le dernier volet est prospectif et discute de la possibilité de l’extension de l’approche pour des lois de comportement non linéaires. / This work focused on mathematical modeling and numerical approximation of the influence of a very thin inclusion on an elastic substrate of different stiffness. The study is motivated by applications in tires and is not based on conventional homogenization techniques. Indeed, the objective was to treat the interaction between a single inclusion and its elastic medium and not a density of inclusions. The study consisted of three parts, the first concerning mathematical modeling for linear behavior laws leading to an expression of the contribution of the inclusion in the form of the inclusion-free field corrected by correctors at different orders. These correctors are independent of the characteristic size of the inclusion. The second relates to the numerical approximation of this influence by means of the finite element method and that of the inverted finite elements. A numerical strategy for taking into account the influence of several inclusions is also presented. The last part is prospective and discusses the possibility of extending the approach for nonlinear behavioral laws.

Les mesures de résistivité en forage sont communément utilisées pour obtenirune meilleure caractérisation du sous-sol. L’utilisation d’un tube métallique pourcouvrir le puits complique énormément les simulations numériques pour lepotentiel électrique à cause de la faible épaisseur du tube et de sa conductivitéélevée par rapport à celle des formations du sous-sol. Dans ce travail, motivé pardes configurations réalistes, le tube est modélisé par une couche mincecylindrique d’épaisseur uniforme et la résistivité du tube est proportionnelle aucube de son épaisseur.Dans cette thèse, on se concentre sur ce problème pour obtenir des Conditionsde transmission (ITCs) approchées pour le potentiel électrique à travers le tubemétallique. Pour ce faire, on considère dans une première approche, un modèle2D en coordonnées cartésiennes, puis on résout le problème 3D axisymétriquequi est considéré dans la majorité des simulations de mesures de résistivité enforage à travers un tube. On considère d’abord le cas statique (fréquence nulle),puis on obtient des ITCs pour des fréquences non-nulles, lesquelles sontimportantes pour comprendre certains phénomènes physiques, comme les effetsDelaware et Groningen. Ensuite, on analyse les modèles en prouvant desrésultats de stabilité et convergence, et on évalue la performance numérique deces modèles en utilisant la méthode des éléments finis. Enfin, on construit dessolutions semi-analytiques pour ces modèles, lesquelles nous fournissent unemanière plus efficace d’évaluer nos modèles approchés par rapport aux solutionsnumériques (éléments finis). / Through-casing borehole resistivity measurements are commonly acquired inorder to characterize the Earth’s subsurface. The use of a casing surrounding theborehole highly complicates numerical simulations of the electric potential due toits thinness and a large contrast between casing conductivity and surroundingrock formation conductivity. In this work, we model the casing as a thin cylindricallayer of uniform thickness. Motivated by realistic scenarios, we realize that theconductivity of the case is typically proportional to its thickness to the power ofminus three.In this Ph.D. Dissertation, we focus on the above problem to derive ImpedanceTransmission Conditions (ITCs) in order to replace the metallic casing. To do so,we start by considering a 2D model in Cartesian coordinates that serves as aninitial approximation to solve the more realistic 3D axi-symmetric model (usingcylindrical coordinates) considered in most realistic through casing boreholesimulations. We start by considering the static (zero frequency) case, and we alsoderive ITCs for nonzero frequencies, which are important to understand certainphysical phenomena occurring in through casing borehole measurements,namely, the so called Delaware and Groningen effects. Then, we analyze thesemodels by proving stability and convergence results, and we asses the numericalperformance of these models by employing a Finite Element Method. Finally, wederive semi-analytical solutions for such models, which provide a more efficientway of evaluating our approximate models as in comparison with full numericalsolutions. / Las medidas de resistividad en perforaciones a traves de tubos se utilizan demanera común para obtener una mejor caracterización del subsuelo de la tierra.El uso de un tubo que cubre el pozo complica enormemente las simulacionesnuméricas debido a su finura y al gran contraste entre la conductividad del tuboy la de las formaciones rocosas. En este trabajo, modelizamos el tubo como unamembrana cilíndrica fina de grosor uniforme. Basándonos en configuracionesrealistas, consideramos que la conductividad del tubo es proporcional a su grosora la potencia de menos tres.En esta tesis doctoral, nos concentramos en el problema anterior para obtenercodiciones de transmisión de impedancia (ITCs) que sirvan para reemplazar eltubo metálico. Para ello, empezamos por considerar un modelo 2D encoordenadas cartesianas, que sirve como una primera aproximación pararesolver el problema 3D con simetría axial (empleando coordenadas cilíndricas)considerado en la mayoría de las simulaciones realistas de perforaciones contubos. Empezamos por considerar el caso estático (frecuencia nula), y más tardeobtenemos ITCs para frecuencias no nulas, las cuales son importantes paraentender ciertos fenómenos físicos que ocurren al obtener medidas deresistividad en pozos a través de tubos, como por ejemplo, los efectos deDelaware y Groningen. Después, analizamos estos modelos demostrandoresultados de estabilidad y convergencia, y evaluamos el rendimiento numéricode estos modelos empleando el método de elementos finitos. Por último,obetnemos soluciones semi-analíticas para dichos modelos, las cualesproporcionan una manera más eficiente de evaluar las soluciones a nuestrosmodelos aproximados en comparación con soluciones puramente numéricas.

Avec l’essor de l’électronique embarquée, les câbles électriques constituentune part importante des pièces automobiles tandis que l’espace à bord n’a cessé de diminuer. Leur flexibilité requiert la prédiction de leur déformation durant leur montage afin d’éviter le contact avec d’autres pièces du véhicule et leur endommagement. Les outils actuels ne permettent pas une prédiction assez réaliste et précise de leur comportement, nécessaire dans un volume de travail très restreint. Les étapes de montage sont donc validées via la réalisation de maquettes réelles coûteuses. Cette thèsea pour but d’améliorer la simulation numérique de ces pièces souples. Nous proposonsici un code de simulation 3D basé sur un modèle de poutre géométriquement exact résolu par la méthode des éléments finis. Son originalité tient dans le couplage des quaternions pour modéliser les rotations 3D et de la méthode asymptotique numérique pour la continuation du système non linéaire qui lui confère une grande robustesse. Un banc d’essai permettant l’identification des paramètres homogénéisés nécessaires au modèle numérique et sa validation par comparaison de la géométrie finale et du chemin d’équilibre est présenté. Combinés à des développements analytiques sur les modèles de poutres avec cisaillement, les essais mènent à une évaluation critique du modèle deTimoshenko 3D pour la représentation des torons de câbles. / With on-board electronics expansion, electrical cables are an essential partof automotive pieces and the space on board has plummeted. Their flexibility requires to predict their deformation during vehicle assembly in order to avoid the contact with other pieces and damaging. Current numerical tools do not allow a realistic and accurate prediction, which is necessary in the obstructed car space. Assembly steps thus are validated on costly physical mock-ups. This thesis aims at improving numerical simulation of these flexible pieces. We herein propose a 3D algorithm based on a geometrically exact beam model solved by the finite element method. This work’s originality stands in coupling quaternions as rotational parameters and the asymptotic numerical method as nonlinear solver which results in a very robust algorithm. A test bench designed to identify the homogenized beam parameters of the numerical model and to validate it by offering a comparison on the final geometry and the equilibrium path is presented. Analytical developments on shear beams and the results of these experimental tests lead to a critical evaluation of the 3D Timoshenko model for representing stranded cables.

Lors de la rentrée atmosphérique, l’écoulement raréfié de l’air autour de l’objet rentrant est régi par un modèle cinétique dérivé de l’équation de Boltzmann ; celui-ci décrit l’évolution d’une fonction de distribution des particules de gaz dans l’espace des phases, de dimension 6 dans le cas général. La simulation numérique déterministe de cet écoulement requiert donc le traitement d’une quantité considérable de données, soit un espace mémoire et un temps de calcul importants. Nous étudions dans ce travail différents moyens de réduire le coût de ces calculs. La première approche est une méthode permettant d’optimiser la taille de la grille de vitesses discrètes employée dans le calcul par une prédiction de l’allure des fonctions de distribution dans l’espace des vitesses, en supposant un faible déséquilibre thermodynamique du gaz. La seconde approche consiste à essayer d’exploiter les propriétés de préservation asymptotique des schémas Galerkin Discontinu, déjà établies dans le cadre du transport linéaire des neutrons, qui permettent de tenir compte des effets de la couche limite cinétique sans que celle-ci soit résolue par le maillage, alors que les méthodes classiques (comme les Volumes Finis) imposent l’utilisation de maillages très raffinés en zone de proche paroi. Dans une dernière partie, nous comparons les performances respectives de ces schémas Galerkin Discontinu et de quelques schémas Volumes Finis, appliqués au modèle BGK sur un cas simple, en étudiant en particulier leur comportement près des parois et les conditions aux limites numériques. / During the atmospheric re-entry of a space engine, the rarefied air flow around the body is determined by a kinetic model derived from the Boltzmann equation, which describes the evolution of a distribution function of gas molecules in the phase space, this means a 6-dimensional space in the general case. Consequently, a deterministic numerical simulation of this flow requires large computational ressources, both in memory storage and CPU time. The aim of this work is to reduce those ressources, using two different approaches. The first one is a method allowing to optimize the size of the discrete velocity grid used for the computation by a prediction of the shape of the distributions in the velocity space, assuming that the gas is close to thermodynamic equilibrium. The second approach is an attempt to use the asymptotic preservation properties of Discontinuous Galerkin schemes, already established for neutron transport, which allow to take into account the effects of kinetic boundary layers even if they are not resolved by the mesh, while classical methods (such as Finite Volumes) require very refined meshes along the direction normal to the walls. In a last part, we compare the performances of these Discontinuous Galerkin schemes with some classical Finite Volumes schemes, applied to the BGK equation in a simple case, and pay particular attention to their near-wall behavior and numerical boundary conditions.

Cette thèse est consacrée à la recherche des zéros d'un opérateur maximal monotone structuré, à l'aide de systèmes dynamiques dissipatifs continus et discrets. Les solutions sont obtenues comme limites des trajectoires lorsque le temps t tend vers l'infini. On s'intéressera principalement aux dynamiques obtenues par régularisation de type Levenberg-Marquardt de la méthode de Newton. On décrira aussi les approches basées sur des dynamiques voisines.Dans un cadre Hilbertien, on s'intéresse à la recherche des zéros de l'opérateur maximal monotone structuré M = A + B, où A est un opérateur maximal monotone général et B est un opérateur monotone Lipschitzien. Nous introduisons des dynamiques continues et discrètes de type Newton régularisé faisant intervenir d'une façon séparée les résolvantes de l'opérateur A (implicites), et des évaluations de B (explicites). A l'aide de la représentation de Minty de l'opérateur A comme une variété Lipschitzienne, nous reformulons ces dynamiques sous une forme relevant du théorème de Cauchy-Lipschitz. Nous nous intéressons au cas particulier où A est le sous différentiel d'une fonction convexe, semi-continue inférieurement, et propre, et B est le gradient d'une fonction convexe, différentiable. Nous étudions le comportement asymptotique des trajectoires. Lorsque le terme de régularisation ne tend pas trop vite vers zéro, et en s'appuyant sur une analyse asymptotique de type Lyapunov, nous montrons la convergence des trajectoires. Par ailleurs, nous montrons la dépendance Lipschitzienne des trajectoires par rapport au terme de régularisation.Puis nous élargissons notre étude en considérant différentes classes de systèmes dynamiques visant à résoudre les inclusions monotones gouvernées par un opérateur maximal monotone structuré M = $partialPhi$+ B, où $partialPhi$ désigne le sous différentiel d'une fonction convexe, semicontinue inférieurement, et propre, et B est un opérateur monotone cocoercif. En s'appuyant sur une analyse asymptotique de type Lyapunov, nous étudions le comportement asymptotique des trajectoires de ces systèmes. La discrétisation temporelle de ces dynamiques fournit desalgorithmes forward-backward (certains nouveaux ).Finalement, nous nous intéressons à l'étude du comportement asymptotique des trajectoires de systèmes dynamiques de type Newton régularisé, dans lesquels on introduit un terme supplémentaire de viscosité évanescente de type Tikhonov. On obtient ainsi la sélection asymptotique d'une solution de norme minimale. / This thesis is devoted to finding zeroes of structured maximal monotone operators, by using discrete and continuous dissipative dynamical systems. The solutions are obtained as the limits of trajectories when the time t tends towards infinity.We pay special attention to the dynamics that are obtained by Levenberg-Marquardt regularization of Newton's method. We also revisit the approaches based on some related dynamical systems.In a Hilbert framework, we are interested in finding zeroes of a structured maximal monotone operator M = A + B, where A is a general maximal monotone operator, and B is monotone and locally Lipschitz continuous. We introduce discrete and continuous dynamical systems which are linked to Newton's method. They involve separately B and the resolvents of A, and are designed to splitting methods. Based on the Minty representation of A as a Lipschitz manifold, we show that these dynamics can be formulated as differential systems, which are relevant to the Cauchy-Lipschitz theorem. We focus on the particular case where A is the subdifferential of a convex lower semicontinuous proper function, and B is the gradient of a convex, continuously differentiable function. We study the asymptotic behavior of trajectories. When the regularization parameter does not tend to zero too rapidly, and by using Lyapunov asymptotic analysis, we show the convergence of trajectories. Besides, we show the Lipschitz continuous dependence of the solution with respect to the regularization term.Then we extend our study by considering various classes of dynamical systems which aim at solving inclusions governed by structured monotone operators M = $partialPhi$+ B, where $partialPhi$ is the subdifferential of a convex lower semicontinuous function, and B is a monotone cocoercive operator. By a Lyapunov analysis, we show the convergence properties of the orbits of these systems. The time discretization of these dynamics gives various forward-backward splittingmethods (some new).Finally, we focus on the study of the asymptotic behavior of trajectories of the regularized Newton dynamics, in which we introduce an additional vanishing Tikhonov-like viscosity term.We thus obtain the asymptotic selection of the solution of minimal norm.

La modélisation des problèmes de contact pose de sérieuses difficultés qu'elles soient conceptuelles, mathématiques ou informatiques. Motivés par le rôle fondamental que jouent les phénomènes de contact, nous nous intéressons à la modélisation, l'analyse et la simulation de problèmes de contact intervenant en mécanique des solides et des fluides. Dans une première partie théorique, on étudie le comportement asymptotique de solutions de problèmes variationnels dépendant du temps issus de la mécanique du contact frottant. La deuxième partie est consacrée au contrôle de la qualité des calculs en mécanique des solides. Guidés par la recherche de la formulation et l'étude du contact dans la méthode des éléments finis étendus (XFEM), nous étudions notamment les estimateurs d'erreur par résidu pour la méthode XFEM dans le cas linéaire, ceux pour le problème de contact unilatéral avec frottement de Coulomb approchés par une méthode d'éléments finis standard et l'extension au cas de méthodes mixtes stabilisées (i.e., ne nécessitant pas de condition inf-sup). Cette partie s'achève par la définition du problème de contact avec XFEM suivie d'une estimation a priori de l'erreur. La troisième partie concerne la simulation numérique en mécanique des fluides, plus précisément du problème de contact de la dynamique des globules rouges évoluant dans un fluide régi par les équations de Navier-Stokes en dimension deux.

La thèse se compose de deux parties.<br /><br />Première partie :<br />thème de la courbure scalaire conforme sur l'espace hyperbolique. Nous<br />apportons ici une étude fine du comportement asymptotique en toute<br />dimension. Nous traitons toujours d'équations semi-linéaires<br />générales, avant d'appliquer nos résultats au cas particulier de<br />l'équation géométrique.<br /><br />Deuxième partie :<br />thème de la courbure de Ricci sur l'espace hyperbolique.<br />Nous obtenons le résultat suivant.<br />Sur la boule unité de $\R^n$, on considère la métrique<br />hyperbolique standard $H_0$, dont la courbure de Ricci vaut $R_0$<br />et la courbure de Riemann-Christoffel vaut ${\cal R}_0$.<br />Nous montrons qu'en dimension $n\geq10$, pour<br />tout tenseur symétrique $R$ voisin<br />de $R_0$, il existe une unique métrique $H$ voisine de $H_0$<br />dont la courbure de Ricci vaut $R$.<br />Nous en déduisons, dans le cadre $C^\infty$, que l'image<br />de l'opérateur de Riemann-Christoffel est une sous-variété<br />au voisinage de ${\cal R}_0$.<br />Nous traitons aussi dans cette partie de la courbure de Ricci contravariante<br />en toute dimension, du problème de Dirichlet à l'infini en dimension 2,<br />et de quelques obstructions.

Cette thèse s'est construite avec une approche double, à la fois théorique et pratique. D'un coté, nous avons mené un travail de régulation sur des réacteurs de polymérisation de la société ATOFINA. De l'autre, nous avons développé des observateurs asymptotiques pour des systèmes nonlinéaires présentant des symétries.<br /><p><br />Le travail de régulation concernait des réacteurs tubulaires en boucle, fonctionnant en phase liquide. Nous avons à partir des lois de conservation de masse et d'énergie, établis des modèles. Ces derniers étant nonlinéaires, nous avons utilisé des techniques de contrôle (linéarisation par bouclage) et d'observateur<br />(contraction) nonlinéaires, que nous avons installées sur les unités.<br /><p><br />Ce projet nous a amené à réfléchir sur la manière dont on peut tenir compte des symétries d'un système pour élaborer des observateurs. Nous avons considéré le cas de systèmes invariants sous l'action de groupe de transformations: notre contribution réside dans la définition de la notion d'erreur invariante,ingrédient important dans la conception d'observateurs invariants. Nous décrivons ensuite un observateur asymptotique, localement convergent pour une classe de système Lagrangiens, qui a la propriété d'être intrinsèque tout comme le sont les équations d'Euler-Lagrange. Ces deux études remettent ainsi en perspective la notion d'erreur pour les systèmes nonlinéaires, en tenant compte de la géométrie qui structure ces systèmes.

Nous élaborons des modèles macroscopiques d'EDP pour les mélanges gazeux réactifs ionisés et nous effectuons diverses études mathématiques puis quelques simulations numériques. On détermine les équations macroscopiques ainsi que des expressions des flux de<br />transport à partir d'un modèle de type Boltzmann par un développement de Enskog. Nous étudions alors les propriétés de symétrie apportées par l'entropie de ces équations couplées avec celles de Maxwell pour obtenir un théorème d'existence locale en temps d'une solution bornée et régulière pour le problème de Cauchy. Nous étudions ensuite un modèle de plasma ambipolaire en considérant la masse de l'électron comme un paramètre. Nous démontrons que la solution globale dépend continument de la masse de l'électron lorsque celle-ci s'annule. Nous calculons enfin des flammes ionisées planes et étirées d'un mélange hydrogène-air et obtenons des structures de flammes typiques avec un faible impact de l'ionisation.