Ce mémoire porte sur l’étude des maxima de champs gaussiens. Plus précisément, l’étude portera sur la convergence en loi, la convergence du premier ordre et la convergence du deuxième ordre du maximum d’une collection de variables aléatoires gaussiennes. Les modèles de champs gaussiens présentés sont le modèle i.i.d., le modèle hiérarchique et le champ libre gaussien. Ces champs gaussiens diffèrent par le degré de corrélation entre les variables aléatoires. Le résultat principal de ce mémoire sera que la convergence en probabilité du premier ordre du maximum est la même pour les trois modèles. Quelques résultats de simulations seront présentés afin de corroborer les résultats théoriques obtenus. / In this study, results about maxima of different Gaussian fields will be presented. More precisely, results for the convergence of the first order of the maximum of a set of Gaussian variables will be presented. Some results on the convergence of the second order, and of the law will also be explained. The models presented here are the Gaussian field of i.i.d. variables, the hierarchical model and the Gaussian free fields model. These fields differ from one another by their correlation structure. The main result of this study is that the first order convergence in probability of the maximum is the same for the three models. Finally, numerical simulations results will be presented to confirm theoretical results.

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Cette thèse porte sur les relations entre les processus SLE, les ensembles CLE et le champ libre Gaussien. Dans le chapitre 2, nous donnons une construction des processus SLE(k,r) à partir des boucles des CLE(k) et d'échantillons de restriction chordale. Sheffield et Werner ont prouvé que les CLE(k) peuvent être construits à partir des processus d'exploration symétriques des SLE(k,r).Nous montrons dans le chapitre 3 que la configuration des boucles construites à partir du processus d'exploration asymétrique des SLE(k,k-6) donne la même loi CLE(k). Le processus SLE(4) peut être considéré comme les lignes de niveau du champ libre Gaussien et l'ensemble CLE(4) correspond à la collection des lignes de niveau de ce champ libre Gaussien. Dans la deuxième partie du chapitre 3, nous définissons un paramètre de temps invariant conforme pour chaque boucle appartenant à CLE(4) et nous donnons ensuite dans le chapitre 4 un couplage entre le champ libre Gaussien et l'ensemble CLE(4) à l'aide du paramètre de temps. Les processus SLE(k) peuvent être considérés comme les lignes de flot du champ libre Gaussien. Nous explicitons la dimension de Hausdorff de l'intersection de deux lignes de flot du champ libre Gaussien. Cela nous permet d'obtenir la dimension de l'ensemble des points de coupure et des points doubles de la courbe SLE, voir le chapitre 5. Dans le chapitre 6, nous définissons la mesure de restriction radiale, prouvons la caractérisation de ces mesures, et montrons la condition nécessaire et suffisante de l'existence des mesures de restriction radiale.

Voir la bibliographie du mémoire pour les références du résumé. See the thesis`s bibliography for the references in the summary. / Ce mémoire étudie le comportement du maximum et des hauts points de la marche aléatoire branchante et du champ libre gaussien discret en dimension deux lorsque la variance de leurs accroissements est inhomogène dans le temps. Nous regardons le cas où il y a un nombre fini d'échelles $0 = \lambda_0 < \lambda_1 < ... < \lambda_M = 1$ et des paramètres de variance $\sigma_i > 0$ associés aux intervalles de temps $[\lambda_{i-1},\lambda_i]$. La marche aléatoire branchante inhomogène généralise le modèle considéré dans [23] et le champ libre gaussien inhomogène généralise le modèle introduit dans [4]. Le but du mémoire est d'étendre les résultats connus sur la convergence du maximum [5,6,23] et le nombre de hauts points [16] à ces deux nouveaux champs gaussiens. Les résultats aident à mieux comprendre comment la perturbation des corrélations dans l'un ou l'autre des modèles de base influence l'ordre de grandeur du maximum et l'ordre du nombre de hauts points. / This thesis studies the behavior of the maximum and high points of the branching random walk and the Gaussian free field when the variance of their increments is time-inhomogeneous. We look at the case where there are a finite number of scales $0 = \lambda_0 < \lambda_1 < ... < \lambda_M = 1$ and variance parameters $\sigma_i > 0$ associated with the time intervals $[\lambda_{i-1},\lambda_i]$. The inhomogeneous branching random walk generalizes the model considered in [23] and the inhomogeneous Gaussian free field generalizes the model introduced in [4]. The purpose of the thesis is to extend known results on the convergence of the maximum [5,6,23] and the number of high points [16] to these new Gaussian fields. The results help to better understand how perturbations of the correlations in one or the other basic models influence the order of magnitude of the maximum and the order of the number of high points.

Cette thèse porte sur les relations entre les processus SLE, les ensembles CLE et le champ libre Gaussien. Dans le chapitre 2, nous donnons une construction des processus SLE(k,r) à partir des boucles des CLE(k) et d'échantillons de restriction chordale. Sheffield et Werner ont prouvé que les CLE(k) peuvent être construits à partir des processus d'exploration symétriques des SLE(k,r).Nous montrons dans le chapitre 3 que la configuration des boucles construites à partir du processus d'exploration asymétrique des SLE(k,k-6) donne la même loi CLE(k). Le processus SLE(4) peut être considéré comme les lignes de niveau du champ libre Gaussien et l'ensemble CLE(4) correspond à la collection des lignes de niveau de ce champ libre Gaussien. Dans la deuxième partie du chapitre 3, nous définissons un paramètre de temps invariant conforme pour chaque boucle appartenant à CLE(4) et nous donnons ensuite dans le chapitre 4 un couplage entre le champ libre Gaussien et l'ensemble CLE(4) à l'aide du paramètre de temps. Les processus SLE(k) peuvent être considérés comme les lignes de flot du champ libre Gaussien. Nous explicitons la dimension de Hausdorff de l'intersection de deux lignes de flot du champ libre Gaussien. Cela nous permet d'obtenir la dimension de l'ensemble des points de coupure et des points doubles de la courbe SLE, voir le chapitre 5. Dans le chapitre 6, nous définissons la mesure de restriction radiale, prouvons la caractérisation de ces mesures, et montrons la condition nécessaire et suffisante de l'existence des mesures de restriction radiale. / This thesis focuses on various relations between SLE, CLE and GFF. In Chapter 2, we give a construction of SLE(k,r) processes from CLE(k) loop configuration and chordal restriction samples. Sheffield and Werner has proved that CLE(k) can be constructed from symmetric SLE(k,k-6) exploration processes. We prove in Chapter 3 that the loop configuration constructed from the asymmetric SLE(k,k-6) exploration processes also give the same law CLE(k). SLE(4) can be viewed as level lines of GFF and CLE(4) can be viewed as the collection of level lines of GFF. We define a conformally invariant time parameter for each loop in CLE(4) in the second part of Chapter 3 and then give a coupling between GFF and CLE(4) with time parameter in Chapter 4. SLE(k,r) can be viewed as flow lines of GFF. We derive the Hausdorff dimension of the intersection of two flow lines in GFF. Then, from there, we obtain the dimension of the cut and double point set of SLE curve in Chapter 5. In Chapter 6, we define the radial restriction measure, prove the characterization of these measures, and show the if and only if condition for the existence of radial restriction measure.

L'objet d'étude de cette thèse est une mesure infinie sur les boucles (lacets) naturellement associée à une large classe de processus de Markov et les processus ponctuels de Poisson d'intensité proportionnelle à cette mesure (paramètre d'intensité alpha>0). Ces processus ponctuels de Poisson portent le nom d'ensembles poissoniens de boucles markoviennes ou de soupes de boucles. La mesure sur les boucles est covariante par un certain nombre de transformations sur les processus de Markov, par exemple le changement de temps.Dans le cadre de soupe de boucles brownienne à l'intérieur d'un sous-domaine ouvert propre simplement connexe de C, il a été montré que les contours extérieurs des amas extérieurs de boucles sont, pour alpha<=1/2, des Conformal Loop Ensembles CLE(kappa), kappa dans (8/3,4]. D'autre part il a été montré pour une large classe de processus de Markov symétriques que lorsque alpha=1/2, le champ d'occupation d'une soupe de boucle (somme des temps passés par les boucles aux dessus des points) est le carré du champ libre gaussien. J'ai étudié d'abord les soupes de boucles associés aux processus de diffusion unidimensionnels, notamment leur champ d'occupation dont les zéros délimitent dans ce cas les amas de boucles. Puis j'ai étudié les soupes de boucles sur graphe discret ainsi que sur graphe métrique (arêtes remplacés par des fils continus). Sur graphe métrique on a d'une part une géométrie non triviale pour les boucles et d'autre part on a comme dans le cas unidimensionnel continu la propriété que les zéros du champ d'occupation délimitent les amas des boucles. En combinant les graphes métriques et l'isomorphisme avec le champ libre gaussien j'ai montré que alpha=1/2 est le paramètre d'intensité critique pour la percolation par soupe de boucles de marche aléatoire sur le demi plan discret Z*N (existence ou non d'un amas infini) et que pour alpha<=1/2 la limite d'échelle des contours extérieurs des amas extérieurs sur Z*N est un CLE(kappa) dans le demi-plan continu. / In this thesis I study an infinite measure on loops naturally associated to a wide range of Markovian processes and the Poisson point processes of intensity proportional to this measure (intensity parameter alpha>0). This Poissson point processes are called Poisson ensembles of Markov loops or loop soups. The measure on loops is covariant with some transformation on Markovian processes, for instance the change of time. In the setting of Brownian loop soups inside a proper open simply connected domain of C it was shown that the outer boundaries of outermost clusters of loops are, for alpha1/2, Conformal Loop Ensembles CLE(kappa), kappa in (8/3,4]. Besides, it was shown for a wide range of symmetric Markovian processes that for alpha=1/2 the occupation field of a loop soup (the sum of times spent by loops over points) is the square of the Gaussian free field. First I studied the loop soups associated to one-dimensional diffusions, and particularly the occupation field and its zeroes that delimit in this case the clusters of loops. Then I studied the loop soups on discrete graphs and metric graphs (edges replaced by continuous lines). On a metric graph on one hand the loops have a non-trivial geometry and on the other hand one has the same property as in the setting of one-dimensional diffusions that the zeroes of the occupation field delimit the clusters of loops. By combing metric graphs and the isomorphism with the Gaussian free field I have shown that alpha=1/2 is the critical parameter for random walk loop soup percolation on the discrete half-plane Z*N (existence or not of an infinite cluster of loops) and that for alpha<= 1/2 the scaling limit of outer boundaries of outermost clusters on Z*N is a CLE(kappa) on the continuum half plane.

Cette thèse porte sur la géométrie du champ libre Gaussien. Le champ libre Gaussien est un objet central en théorie quantique des champs et représente entre autre les fluctuations naturelles d'un potentiel électrique ou d’un modèle de dimères. La thèse commence dans le discret avec la démonstration d'un principe de Donsker en dimension plus grande que 1. Ce résultat est établi grâce à une nouvelle façon de représenter le champ libre en exprimant son gradient comme la partie gradient d'un champ de bruits blancs. Ensuite, les processus d'exploration du champ libre - ou ensembles locaux - introduits par Schramm-Sheffield sont étudiés en détail. Ces ensembles locaux généralisent de façon naturelle le concept de temps d'arrêt. On formalise cette théorie d'une nouvelle manière en procédant par analogie au cas 1D. Pour mieux comprendre le comportement du champs libre près des points d'intersection des ensembles locaux, un étude fine des oscillations du champ libre 2D près du bord s'avère utile. Enfin, la partie principale de cette thèse étudie des processus d'explorations particuliers – les processus SLE qui sont couplés naturellement avec le champ libre. On peut donner par exemple un sens aux lignes de niveau en utilisant le processus SLE_4 (Schramm-Sheffield). Nous avons utilisé ce couplage pour mieux comprendre la relation dite de KPZ qui intervient dans la théorie de la gravité quantique de Liouville. A l ‘aide de résultats fins sur l’enroulement des SLEs, nous avons montré comment adapter la relation de KPZ à la famille ci-dessus de processus d’explorations du champ libre. On peut interpréter ces résultats aussi comme une description de la géométrie du champ libre près des ces lignes d’exploration. / In this thesis we study the geometry of the Gaussian free field (GFF). After a gentle general introduction, we describe what we call the Hodge decomposition of the white noise – a way to represent the white noise vector field as a sum of a gradient and a rotation of independent GFFs. This decomposition gives rise to the Donsker invariance principle for the GFF.Next, we revisit from a slightly different angle the theory of so-called local sets of the GFF, introduced by Schramm and Sheffield. These random sets allow one to study the geometry of the GFF in a Markovian way. We also go a step further in describing the behaviour of the field near the boundary of possibly several local sets. The first chapter ends with a study of boundary oscillations of the GFF.The GFF is only a generalized function, yet it comes out that one can still make sense of it as a „random landscape“. In particular, Schramm and Sheffield gave meaning to the level lines of the GFF in terms of a coupling with SLE_4 process. In chapter 2 we study this coupling and describe the existent proofs and a non-proof of measurability of the SLE_4 process in this coupling. The rest of this chapter contains one of the most technical parts of the thesis – we obtain fine estimates on the winding of the SLE curves, conditioned to pass closely by a fixed point.This technical work is put in use in chapter 3, where we study the so called KPZ relation. In this context, the KPZ formula relates fractal dimensions of sets under the Euclidean geometry and under the „quantum geometry“ given by the exponential of the GFF. So far the KPZ formula was derived for planar sets independent of the quantum geometry. Here, we determine the KPZ formulas for sets that are naturally coupled with the quantum geometry – for the flow and level lines of the GFF. The family of KPZ formulas obtained resemble but still differ from the KPZ formula for independent sets.

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