Bartsch (BARTSCH, 1993) introduziu uma teoria de índice cohomológico, conhecida como o length, para G-espaços, no qual G é um grupo de Lie compacto. Apresentamos o cálculo do length de G-espaços os quais são esferas de cohomologia e G = (Z2)k, (Zp)k ou (S1)k, k &ge; 1. Como consequências, obtemos um teorema de Borsuk-Ulam neste contexto e damos condições suficientes para a existência de aplicações G-equivariantes entre uma esfera de cohomologia e uma esfera de representação quando G = (Zp)<sup<k. Também, uma versão Bourgin-Yang do teorema de Borsuk-Ulam é apresentada. Como segunda parte desta tese, uma nova definição do grafo de Reeb R( f) de uma função suave f : MR com pontos críticos isolados, como um subcomplexo de M é dada. Para isto, um complexo 1-dimensional &Gamma; (f ) mergulhado em M e equivalente por homotopia a R( f ) é construído. Como consequência, mostramos que para toda função f sobre uma variedade com grupo fundamental finito, o grafo de Reeb de f é uma árvore. Se &pi;1(M) é um grupo abeliano, ou mais geralmente, um grupo amenable1, então R( f ) conterá no máximo um laço. Finalmente, é provado que o número de laços do grafo de Reeb de toda função sobre uma superfície Mg é estimado superiormente por g, o genus de Mg. Os resultados desta segunda parte estão publicados em (KALUBA; MARZANTOWICZ; SILVA, 2015). / Bartsch (BARTSCH, 1993) introduced a numerical cohomological index theory, known as the length, for G-spaces, where G is a compact Lie group. We present the length of G-spaces which are cohomology spheres and G = (Z2)k, (Zp)k or (S1)k, k &ge; 1. As consequences, we obtain a Borsuk-Ulam theorem in this context and we give a sucient condition for the existence of G-maps between a cohomological sphere and a representation sphere when G = (Zp)k. Also, a Bourgin-Yang version of the Borsuk-Ulam theorem is presented. As a second part of this thesis, a new definition of the Reeb graph R( f ) of a smooth function f : M &rarr; R with isolated critical points as a subcomplex of M is given. For that, a 1-dimensional complex &Gamma; ( f ) embedded into M and homotopy equivalent to R( f ) is constructed. As consequence it is shown that for every function f on a manifold with finite fundamental group, the Reeb graph of f is a tree. If &pi; 1 (M) is an abelian group, or more generally, an amenable group2, then R( f ) contais at most one loop. Finally, it is proved that the number of loops of the Reeb graph of every function on a surface Mg is estimated from above by g, the genus of Mg. The results of this second part is published in (KALUBA; MARZANTOWICZ; SILVA, 2015).

Bartsch (BARTSCH, 1993) introduziu uma teoria de índice cohomológico, conhecida como o length, para G-espaços, no qual G é um grupo de Lie compacto. Apresentamos o cálculo do length de G-espaços os quais são esferas de cohomologia e G = (Z2)k, (Zp)k ou (S1)k, k &ge; 1. Como consequências, obtemos um teorema de Borsuk-Ulam neste contexto e damos condições suficientes para a existência de aplicações G-equivariantes entre uma esfera de cohomologia e uma esfera de representação quando G = (Zp)<sup<k. Também, uma versão Bourgin-Yang do teorema de Borsuk-Ulam é apresentada. Como segunda parte desta tese, uma nova definição do grafo de Reeb R( f) de uma função suave f : MR com pontos críticos isolados, como um subcomplexo de M é dada. Para isto, um complexo 1-dimensional &Gamma; (f ) mergulhado em M e equivalente por homotopia a R( f ) é construído. Como consequência, mostramos que para toda função f sobre uma variedade com grupo fundamental finito, o grafo de Reeb de f é uma árvore. Se &pi;1(M) é um grupo abeliano, ou mais geralmente, um grupo amenable1, então R( f ) conterá no máximo um laço. Finalmente, é provado que o número de laços do grafo de Reeb de toda função sobre uma superfície Mg é estimado superiormente por g, o genus de Mg. Os resultados desta segunda parte estão publicados em (KALUBA; MARZANTOWICZ; SILVA, 2015). / Bartsch (BARTSCH, 1993) introduced a numerical cohomological index theory, known as the length, for G-spaces, where G is a compact Lie group. We present the length of G-spaces which are cohomology spheres and G = (Z2)k, (Zp)k or (S1)k, k &ge; 1. As consequences, we obtain a Borsuk-Ulam theorem in this context and we give a sucient condition for the existence of G-maps between a cohomological sphere and a representation sphere when G = (Zp)k. Also, a Bourgin-Yang version of the Borsuk-Ulam theorem is presented. As a second part of this thesis, a new definition of the Reeb graph R( f ) of a smooth function f : M &rarr; R with isolated critical points as a subcomplex of M is given. For that, a 1-dimensional complex &Gamma; ( f ) embedded into M and homotopy equivalent to R( f ) is constructed. As consequence it is shown that for every function f on a manifold with finite fundamental group, the Reeb graph of f is a tree. If &pi; 1 (M) is an abelian group, or more generally, an amenable group2, then R( f ) contais at most one loop. Finally, it is proved that the number of loops of the Reeb graph of every function on a surface Mg is estimated from above by g, the genus of Mg. The results of this second part is published in (KALUBA; MARZANTOWICZ; SILVA, 2015).