Nas últimas décadas, vários sistemas de comunicação baseados em sincronismo caótico têm sido propostos na literatura como alternativa a sistemas de espalhamento espectral que melhoram o nível de privacidade na transmissão da mensagem. No entanto, devido à falta de robustez do sincronismo caótico, um pequeno nível de ruído ou uma simples imperfeição no canal é suficiente para impedir a comunicação. Neste trabalho, equalizadores adaptativos são utilizados para permitir a comunicação em um sistema de comunicação baseado em caos quando a resposta em frequência do canal não é ideal. São propostos algoritmos de equalização baseados em versões modificadas do algoritmo normalized least-mean-squares para a versão de tempo discreto do sistema de comunicação baseado no modelo de sincronismo de Wu e Chua. Para esses algoritmos, é calculado o intervalo para a escolha do passo de adaptação para evitar a divergência. Como geradores de sinais caóticos (GSC), são utilizados os mapas de Hénon e de Ikeda e, para a codificação da mensagem, são consideradas duas funções, sendo uma baseada na multiplicação da mensagem por um dos estados do GSC e a outra baseada na soma da mensagem com um dos estados do GSC. Os resultados de simulação indicam que os algoritmos propostos são capazes de equalizar o canal de comunicação e permitir o sincronismo caótico em diferente cenários. / In the last decades, many communication systems applying synchronism of chaotic systems have been proposed as an alternative spread spectrum modulation that improves the level of privacy in data transmission. However, due to the lack of robustness of chaos synchronization, even a low level of noise or minor channel imperfections are enough to hinder communication. In this work, adaptive equalizers are used to enable chaotic synchronization when the communication channel is not ideal. Adaptive equalization algorithms are proposed based on a modified version of the normalized least-mean-squares algorithm, considering the discrete-time version of the communication system based on Wu and Chuas synchronization model. For these algorithms, the interval for the choice of the step-size is computed, in order to avoid divergence. The Hénon and the Ikeda maps are used as chaotic signal generators (CSG) and two functions are considered to encode the message, one based on the multiplication of the message by one of the states of the CSG and the other based on the addition of the message to one of the states of the CSG. Simulation results show that the proposed algorithms can successfully equalize the channel in different scenarios.

Este trabalho consiste do estudo das propriedades de transporte de sistemas dinâmicos caóticos por meio do uso de técnicas de operadores de projeção. Tais sistemas podem exibir difusão determinística e relaxação para o equilíbrio. Mostramos que esse comportamento difusivo pode ser visto como uma propriedade espectral do operador de Perron-Frobenius associado. Em particular, a ressonância dominante de Policott-Ruelle é calculada analiticamente para uma classe geral de mapas que preservam área. Sua dependência do número de onda determina os coeficientes de transporte normais. Calculamos uma fórmula geral exata para o coeficiente de difusão, obtida sem qualquer aproximação de alta estocasticidade, e um novo efeito emergiu: a evolução angular pode induzir modos rápidos ou lentos de difusão mesmo no regime de alta estocasticidade. Os aspectos não-Gaussianos do transporte caótico são também investigados para esses sistemas. O estudo é realizado por meio de uma relação entre a curtose, o coeficiente de difusão e o coeficiente de Burnett de quarta ordem, os quais são calculados analiticamente. Uma escala de tempo característica que delimita os regimes Gaussiano e Markoviano para a função densidade foi estabelecida. À parte os modos acelerados, cujas propriedades cinéticas são anômalas, todo os resultados estão em excelente acordo com as simulações numéricas / This work consists in the study of the transport properties of chaotic Hamiltonian systems by using projection operator techniques. Such systems can exhibit deterministic diffusion and display an approach to equilibrium. We show that this diffusive behavior can be viewd as a spectral property of the associated Perron-Frobenius operator. In particular, the leading Pollicott-Ruelle resonance is calculated analytically for a general class of two-dimensional area-preserving maps. Its wavenumber dependence determines the normal transport coefficients. We calculate a general exact formula for the diffusion coefficient, derived without any high stochasticity approximation and a new effect emerges: the angular evolution can induce fast or slow modes of diffusion even in the high stochasticity regime. The non-Gaussian aspects of the chaotic transport are also investigated for this systems. This study is done by means of a relationship between kurtosis and diffusion coefficient and fourth order Burnett coefficient, which are calculated analytically. A characteristic time scale which delimits the Markovian and Gaussian regimes for the density function was established. Despite the accelerator modes, whose kinetics properties are anomalous, all theoretical results are in excellent agreement with the numerical simulations

Investigaremos algumas propriedades dinâmicas e de transporte para um conjunto de partículas clássicas não interagentes em diversos sistemas físicos. Os sistemas descritos aqui, em sua maioria, apresentam estrutura mista no espaço de fase no sentido de que curvas invariantes do tipo spanning, mares de caos e ilhas periódicas estão presentes. A descrição de cada sistema será feita utilizando mapeamentos discretos não lineares. Detalharemos a forma de obter os mapeamentos assim como discutiremos algumas de suas propriedades dinâmicas. Expoentes de Lyapunov serão utilizados para caracterizar a região de caos nos sistemas. Hipóteses de escala são usadas para provar que certos observáveis, por exemplo a energia média ao longo de mares de caos, são invariantes de escala. Consideraremos também que quando uma partícula, ou de forma equivalente um conjunto delas atinge uma determinada altura no espaço de fases, ela pode escapar. Ao estudar o escape de partículas, vemos que o histograma do número de partículas que atingem uma certa altura (ou energia) h no espaço de fases em uma dada iterada n, ao qual observamos ser invariante de escala, cresce rapidamente até atingir um máximo e então tende à zero para n grande. Quando a altura h varia proporcionalmente a posição da primeira curva invariante spanning, podemos confirmar uma invariância de escala do histograma de frequências. O mesmo ocorre para a probabilidade de sobrevivência da partícula à dinâmica. Neste contexto, abordaremos os seguintes problemas: (1) Um guia de ondas senoidalmente corrugado; (2) Uma família de mapas Hamiltonianos bidimensionais que recupera diversos modelos; (3) Partículas confinadas em uma caixa com potenciais infinitos nas bordas e contendo em seu interior um poço de potencial dependente periodicamente do tempo; (4) Analisaremos um bilhar ovóide com dependência temporal introduzida através de giro, onde para certas condições observamos que este não apresenta um aparente crescimento ilimitado de energia (aceleração de Fermi), desta forma sendo um possível contra-exemplo da conjectura LRA. Esta tese é um resumo de 8 artigos que foram publicados em revistas internacionais. / We investigate some dynamical and transport properties for a set of non-interacting classical particles. The systems here described, for the most part, present mixed structure in the phase space in the sense that invariant spanning curves, chaotic seas and periodic islands are present. The dynamics of each model is described by using non-linear mappings. We show all the details to construct the mappings and discuss some of their dynamical properties including fixed points stability among others. Lyapunov exponents will be obtained to characterize the chaotic dynamics observed in the phase space. Moreover some scaling hypotheses are used to prove that certain observables, including the average energy, are scaling invariant. We consider also that when a particle or an ensemble of them reach a certain portion of the phase space, they can escape. When studying the escape, we see that the histogram for the number of particles that reach certain height (or energy) h in the phase space for the iteration n, for which we observe to be scaling invariant, grows quickly until reaching a maximum and then goes towards zero for large enough n. When changing the height h proportionally to the position of the first invariant spanning curve, we can confirm the scaling invariance. The same happens for the survival probability for a particle in the chaotic dynamics. In this way, we will discuss the following problems: (1) A corrugated waveguide; (2) A family of two-dimensional Hamiltonian mappings which can reproduce different scaling exponents; (3) Particles confined to bounce in the interior of a time-dependent potential well; (4) We will analyse a rotating oval billiard, where for certain conditions we observed that this system does not present the unbounded energy growth (Fermi acceleration), in this way it is a possible counterexample of the LRA conjecture. This thesis is as summary of eight papers already published.

Alguns métodos aproximados são sugeridos na literatura relacionada para encontrar a resposta de sistemas com amortecimento não-proporcional. Muitas vezes procura-se estabelecer um critério para aproximar o amortecimento não-proporcional por um modelo de amortecimento proporcional. Neste trabalho foram utilizadas simulações de modelos dinâmicos com três graus de liberdade, com amortecimento não proporcional, a fim de analisar os valores obtidos para as freqüências naturais, estimados a partir dos autovalores resultantes desses modelos. Os cálculos das freqüências naturais e dos amortecimentos modais foram feitos admitindo-se a validade das relações entre estes parâmetros e os autovalores do problema como são bem conhecidas no caso do amortecimento proporcional. Observa-se que, para o caso de amortecimento não-proporcional, este procedimento pode levar a erros significativos na avaliação destes parâmetros. Nos problemas simulados é possível quantificar os erros nas avaliações das freqüências naturais, sendo significativos para fatores de amortecimentos altos. Observa-se que para os fatores de amortecimento não é possível quantificar estes erros, sendo que seus valores são apenas aproximações baseadas na teoria de amortecimento proporcional. Este trabalho apresenta dados que possibilitam uma discussão sobre as diferenças encontradas entre os valores das freqüências naturais e os valores estimados pelas expressões clássicas do amortecimento proporcional. / Some approximate methods are suggested in the related literature to find the output of mechanical systems with non-proportional damping. Often they try to establish a criterion that approximates the non-proportional damping to proportional damping model. In this work, stimulations of dynamics models of three degree of freedom with non-proportional damping were used to examine the values of natural frequencies, estimated from the eigenvalues obtained by these models. The calculations of natural frequencies and modal damping ratio were performed assuming the validity of the relationship between these parameters and the well known eigenvalues of the problem in the proportional damping case. In the simulated problems is possible to quantify the errors in the evaluations of the natural frequencies and this errors are significant for the case where the damping factors are high. It is observed that for the damping factors it is not possible to quantify these errors, and their magnitudes are only approximations based on the theory of proportional damping. This work presents data which enables a discussion about the differences between the magnitude of natural frequencies and the magnitude estimated by the classic equations of proportional damping.

Introdução: A premissa do programa nacional de controle da leishmaniose visceral (LV) é que a doença humana esteja relacionada com a canina, sendo o controle do reservatório canino um dos focos do programa. Objetivos: Mensurar a taxa de incidência da LV em humanos, relacionando-a com as coberturas do controle químico e do reservatório canino. Relacionar a soroprevalência canina com características dos cães e de seus tutores. E avaliar a eficácia da eutanásia de cães soropositivos no controle da infecção canina. Métodos: Os casos humanos e os domicílios com cães soropositivos registrados no período de 2007 a 2015 no município de Araçatuba, estado de São Paulo, foram geocodificados e calculadas a soroprevalência canina, a taxa de incidência humana e as coberturas das atividades de inquérito sorológico, eutanásia e controle químico. A associação entre as variáveis foi avaliada por comparação de mapas, por regressão linear e pela função K de Ripley. Um estudo transversal foi conduzido entre 2015 e 2016, nos municípios de Araçatuba e Birigui, tendo como base uma amostra da população canina. A soroprevalência foi modelada por regressão logística em uma abordagem geoestatística usando a aproximação de Laplace integrada aninhada para inferência bayesiana. Dados secundários e dos inquéritos realizados foram utilizados para elaborar e calibrar modelos dinâmicos. Resultados: Observou-se no município de Araçatuba a diminuição da taxa de incidência LV e da soroprevalência canina, apesar das coberturas de controle terem sido baixas no mesmo período estudado. O inquérito sorológico revelou uma soroprevalência canina de 8% em Araçatuba e 4% em Birigui. Em Araçatuba a ocorrência de cães soropositivos foi associada à domicílios que tiveram mais de 10 cães ao longo do tempo, domicílios com histórico de cães com a infecção ou que morreram por outras causas não naturais, e à permanência dos cães no peridomicílio ao longo do dia. Foi observada dependência espacial (46 m) entre as observações. Considerando controle contínuo e um esforço das atividades de inquérito sorológico três vezes maior que a média do observado em Araçatuba e duas vezes maior em Birigui, as atividades relacionadas à eutanásia de cães com diagnóstico positivos possibilitariam, em teoria, o controle da infecção canina. Conclusões: A diminuição da LV ao longo do tempo está relacionada com as ações de controle, uma vez que pequenas alterações na dinâmica da infecção canina têm importância epidemiológica. O encontro de dependência espacial entre os domicílios com casos caninos em pequenas distâncias reforça a existência de um padrão local da transmissão da infecção entorno dos domicílios, relacionado com as características do vetor. A eutanásia de cães soropositivos, em teoria, é capaz de controlar a infecção canina, porém, este resultado desse ser entendido com cautela, dada a complexidade operacional desta medida e as questões éticas relacionadas. Novos estudos precisam ser desenvolvidos para uma melhor compreensão se fatores além das atividades de controle estariam envolvidos na diminuição da incidência da LV. Faz-se necessário planejamento a longo prazo das ações de controle e investimento em pesquisas sobre o custo-efetividade de outras medidas que auxiliem no controle da LV. / Background: The assumption of visceral leishmaniasis (VL) control program is that human disease (HVL) is related to canine infection (CanL), and that supports the culling of infected dogs. Objectives: Estimate the coverage of visceral leishmaniasis (VL) control measures and to relate them to the occurrence of HVL in an endemic urban area (Araçatuba, SP). Determine the CanL seroprevalence and to evaluate its relationship with the characteristics of dogs and their owners. Evaluated the culling dogs efficacy in controlling the canine infection. in the municipalities of Araçatuba and Birigui, state of São Paulo, Brazil. Methods: The cases of HVL and households with seropositive dogs registered in the period from 2007 to 2015 were geocoded the coverage of the serological inquiry, culling dogs and chemical spaying, canine seroprevalence and HVL incidence rates were calculated. The relationship between CanL, HVL and control measures was evaluated by map comparison, by linear regression and was also assessed using the Ripley K function. A cross-sectional study was conducted between 2015 and 2016, based on a sample of the canine population. Seroprevalence was modelled by logistic regression in a geostatistical approach using the integrated nested Laplace approximation for Bayesian inference. The spatial component was modelled by a Gaussian field, using a stochastic partial differential equation approach. Secondary data and the surveys were used to elaborate and calibrate dynamic models of canine disease transmission. Results: Verified the decrease of HVL and the CanL in Araçatuba over time, even in low coverage of control measures. The CanL seroprevalence was 8% in Araçatuba and 4% in Birigui. The occurrence of a seropositive dog in Araçatuba was associated with the presence of more than 10 dogs living in the same house, house with dogs that previously died of VL or died of other unnatural causes, and the place of dogs stayed during the day. Spatial dependence among observations occurred within about 46 m. Considering a continuous control and a serological survey effort three times higher than the average of the observed in Araçatuba and twice as high in Birigui, the activities related to culling dogs is effective in controlling canine infection. Conclusions: The observation of VL decrease over time may be related to control measures. The short-distance spatial dependence could be related to the vector characteristics, producing a local neighbourhood VL transmission pattern. The culling dogs were effective in controlling the disease in the dogs\' population. However, this result should be understood with caution given the operational complexity of this measure and related ethical issues. New studies need to be developed for a better understanding if factors other than control activities would be involved in reducing the incidence of VL. It is necessary in addition to long-term planning of the control actions carried out by the program, investment in researches that evaluate the cost-effectiveness of other measures that may help in the control of VL.

Estágio realizado na Fluidinova-Engenharia de Fluidos e orientado pelo Eng.ª Joana Isabel Cardoso / Tese de mestrado integrado. Engenharia Química. Faculdade de Engenharia. Universidade do Porto. 2009

Tese de mestrado integrado. Engenharia Civil (Área de Especialização de Estruturas). Faculdade de Engenharia. Universidade do Porto. 2012

Desde o desenvolvimento dos primeiros métodos de controle do movimento e posição de partículas usando lasers, ainda no início da década de 1970, até o reconhecimento com o prêmio Nobel de Física de 2018, uma das principais e mais versáteis ferramentas de manipulação óptica, as chamadas pinças ópticas, têm sido usadas majoritariamente para explorar objetos em dois regimes de tamanho: o limite das partículas sub-nanométricas (átomos e moléculas simples) e o limite das partículas micrométricas (com aplicações especialmente em sistemas biológicos). Nesse trabalho, foi desenvolvido e construído um aparato experimental para aprisionar micro e nanopartículas numa pinça óptica, que pode ser controlada de forma dinâmica usando modulação acusto-óptica do feixe de aprisionamento. A calibração da pinça óptica foi feita por diversos métodos, incluindo o método de equipartição de energia e análise do potencial óptico, resultando em forças de aprisionamento da ordem de piconewtons por micrometros. Ademais, simulações computacionais de modelos estocásticos foram realizadas com o intuito de comparar os resultados experimentais com àqueles previstos teoricamente e guiar estudos futuros. / Since the development of early methods for controlling the motion and position of particles using lasers, in the 1970s, to the recognition with the 2018 Nobel Prize for Physics, one of the most versatile optical manipulation tools, the so-called optical tweezers, have been used mostly to explore objects in two limits of sizes: the sub nanometric particles (atoms and simple molecules) and the micrometric particles (with applications especially in biological systems). In this work, an experimental apparatus was developed and built to trap micro and nanoparticles in an optical tweezer that can be dynamically controlled, using acoustic-optical modulation of the trapping beam. The calibration of the optical tweezer was done using several methods, including the energy equipartition method and optical potential analysis, resulting in trapping forces on the order of piconewtons per micrometers. In addition, computational simulations of stochastic models were performed with the purpose of comparing the experimental results with those predicted theoretically and guiding future studies.

Neste trabalho, apresentamos resultados para um sistema dinâmico denominado como bilhar, que descreve a dinâmica de uma partícula de massa m, livre da influência de qualquer potencial externo, no interior de uma região delimitada por uma fronteira que pode ser estática ou móvel. A partícula é lançada de uma determinada posição no interior do bilhar, de modo a sofrer colisões elásticas ou inelásticas com a fronteira do modelo. Após a ocorrência de uma colisão, a partícula sofre uma reflexão especular com a fronteira, de modo que seu ângulo de incidência é igual ao ângulo de reflexão. Para o caso em que as colisões são elásticas e a fronteira estática, o módulo da velocidade da partícula permanece constante ao longo de todas as colisões, entretanto, se uma perturbação temporal for introduzida na fronteira do sistema, é permitida a variação no módulo da velocidade da partícula durante o impacto. Nesta tese, vamos estudar a dinâmica de um ensemble de partículas não-interagentes em um bilhar ovóide sob duas configurações diferentes. Inicialmente, a fronteira será assumida como estática e a partir de um mapeamento bidimensional que descreve a dinâmica do sistema, demonstramos que para esse tipo de bilhar o espaço de fases é do tipo misto, onde pode ser observado a coexistência de um mar de caos, ilhas de estabilidade e um conjunto de curvas invariantes do tipo spanning. Ainda para esse caso, introduzimos orifícios ao longo da fronteira do bilhar para estudar o comportamento do escape das partículas, via análise da probabilidade de sobrevivência P(n) que um conjunto de partículas no interior do sistema exibe, conforme o número de colisões n é aumentado. Através de simulações numéricas, verificamos que P(n) decai em média de forma exponencial com um expoente de decaimento dado aproximadamente pela razão entre a extensão do orifício h e o comprimento total da fronteira do bilhar. Ao longo deste estudo, observamos que devido a natureza mista do espaço de fases, existem regiões preferenciais para a visitação de partículas, o que pode fornecer pistas para a verificação da maximização ou minimização do escape no sistema. Posterior a isso, introduzimos uma perturbação temporal na fronteira do bilhar ovóide, e descrevemos todas as equações necessárias para a obtenção do mapeamento quadrimensional não-linear, que reproduzirá o movimento de uma partícula no interior do modelo com fronteiras oscilantes. O objetivo dessa análise, é a verificação da difusão ilimitada de energia por parte das partículas, conhecido como Aceleração de Fermi. Além de discutir todo o mecanismo envolvido nesse fenômeno, também analisamos formas possíveis para provocar a supressão desse crescimento ilimitado de energia exibido pelas partículas. Por último, propomos uma conexão entre os resultados referentes ao bilhar ovóide dependente do tempo com conceitos ligados à Termodinâmica. / In this work, we present some results for a dynamical system denoted as a billiard that describes the dynamics of a free particle of mass m inside of a region delimited by a boundary that might be static or time-dependent. The particle is launched from a region inside of the billiard and can experiences either elastic or inelastic collisions with the boundary. After a collision, the particle exhibits a specular reflection with the border, in such way that the incidence angle is equal to the reflected angle. When elastic collisions are taken into account the speed of the particle remains constant along all collisions. When a time-dependence is introduced on the boundary, then the particle may gain or lose energy upon collision. In this thesis, we will study the dynamics of an ensemble of non-interacting particles inside an oval billiard, under two different configurations. Initially, the boundary is considered as static and via a two-dimensional and nonlinear mapping, the dynamics of each particle is investigated. We show that for the static case the phase space is of mixing type with the coexistence of a chaotic sea, stability islands and a set of invariant spanning curves over the phase space. We then introduce holes along the boundary of the billiard allowing the particles to escape through them. We analyze the survivor probability P(n) that an ensemble of particles exhibits inside of the billiard as a function of n. Our results show that P(n) decays in average exponentially with a decay exponent given approximately by the size of the hole h over the total length of the boundary. Along this study, we observed that, due to the mixing structure of the phase space, there are preferential regions for the visitation of particles, which might be useful for the verification of the maximization or minimizations of the escape in the system. After that, we introduced a time-dependence on the boundary of the oval billiard and describe all the equations to obtained the nonlinear four-dimensional mapping used to reproduce the movement of particle inside of the billiard. The main goal of this analysis is the verification of the unlimited diffusion of energy from the particles, known as Fermi Acceleration. We discuss all the mechanism involved in such a phenomenon and discuss possibilities to promote the suppression of the unlimited energy growth in the billiard. Finally, we discuss a possible connection of the time-dependent oval billiard with concepts linked with Thermodynamics.

Orientador: Edson Denis Leonel / Banca: Ricardo Egydio de Carvalho / Banca: Tiago Kroetz / Resumo: Neste trabalho estudamos dois bilhares com fronteira móvel cuja perturbação temporal é dada por um oscilador van der Pol. Estudamos um bilhar unidimensional e outro bidimensional na qual uma ou mais partículas clássicas de massa m não interagentes são confinadas ao interior da fronteira que define o bilhar. Investigando algumas propriedades dinâmicas e estatísticas da partícula em função do parâmetro X que controla o termo não linear e o parâmetro y0 que controla a amplitude do oscilador de van der Pol. O bilhar unidimensional consiste em duas paredes rígidas, em que uma delas é móvel centrada na origem regida pelo oscilador de van der Pol e a outra xa em L. Descrevemos todos os procedimentos para construção do mapeamento que fornece a dinâmica da partícula, assim como as equações necessárias que defnem o movimento da parede móvel. O espaço de fases, o expoente de Lyapunov e a velocidade média são obtidos para diferentes valores de parâmetros de controle. Para o caso em que massa da partícula (mp) é muito menor que a massa da parede móvel (mw), m = mp=mw ' 0, podemos dividir o regime dinâmico em função do parâmetro c em dois tipos: (i) que recupera os resultados do modelo Fermi- Ulam; e (ii) no qual é observado um regime de crescimento da velocidade média nal. Para o caso em que m 6= 0, as colisões da partícula com a parede móvel perturbam o movimento da parede móvel e o sistema se torna dissipativo. Neste caso a dinâmica da partícula tende a pontos xos de forma assintótica passando por um transiente inicial. Para este caso construímos a bacia de atração e a frequência do número de períodos de um conjunto de condições iniciais. Para o bilhar bidimensional, construímos um modelo em que a fronteira é do tipo ovoide, analisamos o caso estático e o móvel regida pelo oscilador de van der Pol... (Resumo completo, clicar acesso eletrônico abaixo) / Abstract: Some dynamical properties for an ensemble of non-interacting particles con ned in a billiard with a time-dependent boundary are studied. The boundary is given by van der Pol oscillator and two cases are considered namely: (i) one-dimensional and (ii) twodimensional dynamics. For the one-dimensional case, we considered the dynamics of classical particle of mass m con ned to bounce between two rigid walls. One of them is xed at a distance L from the average position of the rst that uctuates according to a van der Pol oscillator. We consider the case where the mass of the particle is su ciently small as compared to the mass of the moving wall. Then we investigate some properties of the phase space including the average velocity of the particle. Our results reveal a scaling invariance for the nal average velocity, i.e., when n!¥. We discuss also the case when the mass of the particle is a fraction of the mass of the moving wall therefore showing the system now shows features of dissipative model. This is characterized speci cally by the presence of attractors in the phase space. For the two-dimensional case, we considered the dynamics of a classical particle of mass m where the particle is con ned to bounce inside a billiard whose boundary is of ellipticaloval like shape. First we analyze the static case. Second we consider the case where the boundary moves according to a van der Pol oscillator. We discuss the model in a similar way as made for the 1-D case including very small mass of the particle (m = 0) and m 6= 0. Dynamical properties for the particle were obtained like the behavior of the average velocity therefore demonstrating that unlimited energy gain is in course, as predicted by the LRA conjecture For the case of... (Complete abstract click electronic access below) / Mestre