Orientador: Tiago de Carvalho / Banca: Claudio Aguinaldo Buzzi / Banca: Pedro Toniol Cardin / Resumo: O principal resultado dessa dissertação é o Teorema de Poincaré-Bendixson para campos de vetores planares suaves por partes, que nos diz quais são os tipos de conjuntos limite. Estudaremos também detalhes a respeito dos conceitos de conjuntos minimais e caóticos em campos de vetores planares suaves por partes / Abstract: The main result of this work is the Poincaré - Bendixson Theorem for planar piecewise smooth vector fields, which tell us what kind of limit sets arise in this context. We will also study details about the concepts of minimal and chaotic sets in planar piecewise smooth vector fields / Mestre

Made available in DSpace on 2013-08-07T18:53:22Z (GMT). No. of bitstreams: 1 000400805-Texto+Completo-0.pdf: 595405 bytes, checksum: 3428750384be823e541e4f5bcb4130e4 (MD5) Previous issue date: 2008 / This Master thesis addresses the robust stability analysis problem of uncertain discrete-time linear systems subject to state delay, where the system state-space representation is allowed to be a rational function of the uncertain parameters. The stability conditions are obtained from Lyapunov-Krasovskii functionals with polynomial parameter dependence by means of nonlinear decompositions of rational vector functions. The proposed results are divided into delay dependent and delay independent, and they are expressed in terms of linear matrix inequalities (LMIs) constraints. / Esta dissertação aborda o problema de análise de estabilidade robusta de sistemas lineares discretos sujeitos a atraso de transporte e incertezas paramétricas que podem aparecer de forma racional na representação por espaço de estados do sistema. As condições de estabilidade são baseadas em funcionais de Lyapunov-Krasovskii e são obtidas através da aplicação de decomposições não lineares de funções vetoriais racionais. As condições de estabilidade propostas podem ser dependentes e independentes do atraso e são expressas através de desigualdades matriciais lineares (ou LMIs).

Made available in DSpace on 2014-06-11T19:30:22Z (GMT). No. of bitstreams: 0 Previous issue date: 2006Bitstream added on 2014-06-13T20:07:43Z : No. of bitstreams: 1 carnevarollojr_rp_me_sjrp.pdf: 404426 bytes, checksum: 4ea777e4e28a9a139f9b0bcb3f7b0f7c (MD5) / O objetivo principal desse trabalho é provar, sob certas hipóteses de transversalidade e sobre os autovalores, que se uma família a um-parâmetro de equações diferenciais possuindo, para um determinado valor do parâmetro, um laço homoclínico conectado a um ponto de equilíbrio do tipo sela, então existe uma variedade central invariante, de dimensão dois, que contém o laçco homoclínico, que contém todas as trajetórias que permanecem numa vizinhança do laço homoclínico e ainda é tangente ao autoespaço gerado por autovetores associados aos autovalores que determinam o laço homoclínico. / The main goal of this work is to prove, under certain hypothesis of transversality and about the eigenvalues, that if a one-parameter family of ordinary differential equations possess, for a determined value of the parameter, a homoclinic loop connected to an equilibrium point of type saddle, then there exists an invariant center manifold, of dimension two, that contains the homoclinic loop, that contains all trajectories which stay in a small neighborhood of the homoclinic loop and that is tangent to the eigenspace spanned by the eigenvectors associated to the eigenvalues that determine the homoclinic loop.

Neste trabalho estudamos a dinâmica fracamente não linear de ondas eletromagnéti- cas localizadas em interações laser-plasma. Ao se propagarem, estas ondas perturbam a densidade de elétrons do plasma e eventualmente originam campos elétricos por efeitos de space-charge. Estes campos por sua vez afetam a dinâmica das ondas, ou seja, a dinâmica de ambos é acoplada. Modelamos a onda localizada através de uma equação para seu envelope e tratamos o plasma como um fluído eletrônico frio, com alta mobilidade, e um fundo iônico fixo neutralizador . Inicialmente investigamos a dinâmica longitudinal da propagação autoconsistente de pulsos laser em plasmas. Nesta configuração, os campos elétricos no plasma são exci- tados no rastro dos pulsos, sendo por isto denominados wakefields. Desenvolvemos um modelo composto por duas equações, uma para o envelope do pulso laser e outra para o wakefield, no qual as interações entre ambos são plenamente consideradas na análise da evolução temporal e da estabilidade do pulso. Aplicando técnicas de lagrangeano efetivo e o método variacional obtemos uma equação para a dinâmica aproximada da largura dos pulsos, utilizada para fazer estimativas analíticas sobre dois casos-limite: pulsos largos e pulsos estreitos. Enquanto pulsos largos podem ou não manter a sua forma localizada de- pendendo da sua potência, pulsos muito estreitos sempre tendem a se dispersar à medida que o tempo avança. Em seguida estudamos a propagação de feixes laser focalizados, incluindo a dinâmica transversal em um modelo desenvolvido sem o uso da aproximação paraxial. Este mo- delo, direcionado à análise de regimes estacionários quando observados no referencial do feixe, nos permite obter uma condição de equilíbrio para os perfis transversais do mesmo. Examinamos a dependência de tais perfis nos parâmetros de controle e a estabilidade de feixes levemente descasados dos perfis de equilíbrio. Embora os detalhes da dinâmica dos feixes dependam das condições iniciais, feixes descasados sempre evoluem para padrões espaço-temporais incoerentes, independente da precisão adotada em tais condições. Em ambos os sistemas abordados, os modelos podem ser aplicados para estudar pro- pagação de ondas em plasmas com densidades arbitrárias, uma vez que foram construídos sem aproximar a velocidade de propagação da onda eletromagnética pela velocidade da luz no vácuo (algo usual no estudo de plasmas com baixa densidade, do tipo underdense). / In the present analysis we study the weakly nonlinear dynamics of localized electro- magnetic waves in laser-plasma interactions. As these waves are injected into plasmas, they disturb its electronic density and eventually give rise to space-charge fields, which in turn affect back the waves. In other words, their dynamics is coupled. We model the localized wave using an equation for its envelope and we treat the plasma as consisting of a mobile cold electronic fluid and a neutralizing fixed ionic background. We first investigate the longitudinal self-consistent dynamics propagation of laser pul- ses in plasmas. Here the space-charge fields in the plasma are excited in the wake of the pulses, thus being called wakefields. We develop a model consisting of two equations, one for the pulse envelope, another for the wakefield, and the interactions between both are fully taken to account to analyze the pulse time dependent dynamics and stability. Ap- plying effective Lagrangian techniques and the variational approach we derive an equation for the approximated dynamics of a pulse width, which is used in order to obtain some analytical estimates about two limit-cases: wide and narrow pulses. While wide pulses may or may not retain the localized shape depending on their power, narrower pulses always tend to delocalize as time evolves. Next we study the propagation of focused laser beams, taking to account the trans- verse dynamics in a model derived avoiding any assumption on paraxial conditions. This model, directed to the analysis of stationary regimes when observed in the co-moving coordinate of the beam frame, allows us to obtain an equilibrium condition for the beam transverse profiles. We examine the dependence of equilibrium profiles on control para- meters and the stability of beams as one adds small mismatches to the ideally matched equilibrium. Details of beam evolution depend on initial conditions. However, indepen- dently of the precise form of initial conditions, mismatched beams evolve to incoherent space-time patterns. In both systems discussed, the models can be applied to study the wave propagation in plasmas with arbitrary densities, since they were constructed without approximating the group velocity of the wave by the speed of light in vacuum (something usual when studying underdense plasmas).

Orientador: Nelson Callegari Junior / Banca: Adrian Rodriguez Colucci / Banca: Macos Tadeu dos Santos / Resumo: Este trabalho aborda os aspectos teóricos e numérico da Transformada de Fourier, bem como aplicações em sistemas mecânicos periódicos. O estudo iniciou-se com uma revisão bibliográfica que abordou inicialmente aspectos básicos de equações diferenciais ordinárias, métodos numéricos e implementação computacional, o desenvolvimento teórico da Transformada de Fourier, bem como sua implementação. Realizou-se estudos baseados em simulações numéricas de três modelos físicos: o oscilador harmônico, o pêndulo e o pião simétrico / Abstract: This work deals with the theoretical and numerical aspects of the Fourier Transform, as well as applications in periodic mechanical systems. It begins with a bibliographical study about a basic review of ordinary differential equations and its numerical solution methods. We also revisit the theoretical of the Fourier Transform as well an its computational implementation. We applied this theory studed in three physical models: the harmonic oscillator, the pendulum and the symmetrical top / Mestre

A importância das redes de comunicação industriais em modernos sistemas de automação e controle industriais tem aumentado significativamente nos últimos anos, devido aos avanços nas áreas de processadores e softwares embarcados, que permitem o desenvolvimento de dispositivos com elevada capacidade de processamento a custos reduzidos. Estas características também são muito importantes em sistemas automotivos, visto que existe uma tendência para a substituição de sistemas mecânicos e hidráulicos em veículos e o espaço disponível para implementação é bastante reduzido. Esta substituição passa pela elaboração de complexos algoritmos de controle, os quais, quando operam sobre uma rede de comunicação, precisam considerar explicitamente os efeitos do canal de comunicação compartilhado na dinâmica do sistema em malha fechada. Este trabalho apresenta uma análise do impacto da comunicação em rede sobre sistemas de controle. Mais especificamente, analisa-se o comportamento do protocolo Flexray, recentemente desenvolvido por um consórcio de importantes empresas e que incorpora interessantes conceitos para escalonamento de mensagens síncronas e assíncronas. No trabalho foram realizados experimentos com três diferentes tipos de controladores aplicados ao estudo de caso de uma suspensão ativa, onde o sistema tem sua malha fechada sobre a rede FlexRay. / The importance of communication networks on modern automation systems has increased significantly over the last years, mostly due to advances in embedded microprocessor and software technologies, which enable the development of devices with high processing power at reduced costs. These characteristics are very important for vehicle systems, since there is nowadays a trend to replace mechanical and hydraulic systems, and the space available for implementation is limited. This replacement requires very complex control algorithms, which, when operating on a communication network, have to consider explicitly the effects introduced by the shared communication channel on the closed loop system dynamics. This work presents an analysis of the network communication impact over control systems. More specifically, it is of interest to analyse the behavior of the FlexRay protocol, which has been recently developed by a Consortium of important companies and incorporates interesting concepts of synchronous and asynchronous message scheduling. In this work, some experiments were performed with three controllers, which were developed using different methodologies, applied to the case study of an active suspension system, where the loop is closed over the FlexRay protocol.

No contexto do gerenciamento de redes de computadores, domínios são recursos utilizados para agrupar objetos gerenciáveis. Os mapas de rede utilizados pelos sistemas de gerenciamento são exemplos bastante comuns do uso de domínios. Domínios são importantes porque as ações de gerenciamento podem ser aplicadas a todos os objetos gerenciáveis membros de um domínio ao mesmo tempo, não sendo necessário, então, repetir a mesma ação em cada objeto gerenciável, um a um. Domínios que necessitam ser rapidamente criados, utilizados e descartados são referenciados nesta dissertação de mestrado como domínios dinâmicos. Atualmente, na maioria dos sistemas de gerenciamento de redes não existem facilidades disponíveis para suportar o conceito desse tipo de domínios. Em relação aos aspectos de visualização, a apresentação visual de domínios deve ser realizada de forma adequada, visto que, atualmente, as GUIs estão presentes na maioria dos sistemas de gerenciamento. Entretanto, os processos de visualização de domínios utilizados pelos sistemas de gerenciamento atuais apresentam limitações em relação à configuração de características visuais dos domínios apresentados. Essas características são estáticas, não permitindo ao usuário, dessa forma, escolher como deseja visualizar um determinado domínio. Nesta dissertação de mestrado são apresentados a definição e o desenvolvimento de duas novas linguagens que têm por objetivo aperfeiçoar a criação e a visualização de domínios dinâmicos. A primeira linguagem é baseada em um modelo de informação do ambiente gerenciado e é utilizada para criar, de forma automatizada, novos domínios dinâmicos. Tal modelo de informação é formado por classes, atributos e relacionamentos entre as classes. A segunda linguagem, por sua vez, é usada para configurar características visuais dos domínios dinâmicos criados por meio da primeira linguagem. Esta dissertação apresenta, também, um protótipo desenvolvido para suportar as linguagens de criação e visualização de domínios dinâmicos criadas. A partir desse protótipo, é possível criar domínios dinâmicos relacionados a informações da rede de computadores utilizada, bem como personalizar a visualização dos domínios dinâmicos criados. Além disso, o protótipo possibilita, também, a obtenção de algumas informações dos membros dos domínios dinâmicos criados. O protótipo é baseado na Web e foi desenvolvido utilizando-se as tecnologias PRECCX, PHP, MySQL e SNMP. Como será visto ao final, as linguagens definidas e o protótipo desenvolvido mostram que o suporte a domínios dinâmicos objetivado pode ser efetivo e melhorar, sensivelmente, os processos de gerenciamento de redes. A integração da implementação desenvolvida junto ao ambiente QAME, por exemplo, permite atualmente que os administradores possam selecionar, através das linguagens, os equipamentos de uma rede com QoS que precisam ser configurados através do processo de aplicação de políticas original do QAME. / In the computer networks management context, domains are facilities used to group managed objects. The network maps presented in the management systems are the most common examples of the use of domains. Domains are important because the management actions can be applied to all managed objects that are members of a domain at the same time, not being necessary, then, to repeat the same action in each managed object one by one. Domains that need to be quickly created, used and discarded are referenced in this work as dynamic domains. Currently, in the majority of the available network management systems there are no proper facilities to support this type of domains. Concerning the visualization aspects, the domains visual presentation must be carried through of adjusted form, since, currently, the GUIs are present in the majority of the management systems. However, the domains visualization processes used by the current management systems present limitations related to the visual features configuration of the presented domains. These features are static, not allowing the user, this way, to choose how he or she desires to visualize one determined domain. This work presents the definition and the development of two new languages whose goals is to enhance the creation and the visualization of dynamic domains. The first language is based on a managed environment information model and is used to create, forming an automated fashion, new dynamic domains. Such information model is formed by classes, attributes and relationships between the classes. The second language, on its turn, is used to configure visual features of the dynamic domains created by the first language. This work also presents a prototype developed to support the defined dynamic domains creation and visualization languages. With this prototype it is possible to create dynamic domains based on the information of the computer network used, as well as customizing the visualization of the dynamic domains created. Moreover, the prototype makes possible the attainment of some members information of the dynamic domains created. The prototype is based on the Web and was developed using technologies as PRECCX, PHP, MySQL and SNMP. As will be seen in the end, the defined languages and the developed prototype shows that the desired dynamic domains support can be effective and improve, significantly, the network management processes. The integration of the implementation developed together to the QAME environment, for example, allows currently that the administrators can select, through the languages, the QoS network devices that need to be configured through the original policies application process of the QAME.

Dissertação (mestrado)—Universidade de Brasília, Faculdade de Tecnologia, Departamento de Engenharia Elétrica, 2011. / Submitted by Jaqueline Ferreira de Souza (jaquefs.braz@gmail.com) on 2011-09-26T12:11:54Z No. of bitstreams: 1 2011_RafaelLourencodosSantos.pdf: 75067223 bytes, checksum: bf1357b479c60664ff6fe4bb278a32ad (MD5) / Approved for entry into archive by Jaqueline Ferreira de Souza(jaquefs.braz@gmail.com) on 2011-09-26T12:12:28Z (GMT) No. of bitstreams: 1 2011_RafaelLourencodosSantos.pdf: 75067223 bytes, checksum: bf1357b479c60664ff6fe4bb278a32ad (MD5) / Made available in DSpace on 2011-09-26T12:12:28Z (GMT). No. of bitstreams: 1 2011_RafaelLourencodosSantos.pdf: 75067223 bytes, checksum: bf1357b479c60664ff6fe4bb278a32ad (MD5) / O consumo de energia para condicionamento de ar responde por uma parte relevante do uso de energia elétrica no Brasil. Em relação a outros aparelhos eletrodomésticos, os aparelhos de ar-condicionado ainda estão presentes em um número pequeno de residências brasileiras. No entanto, em mantendo-se a melhora nas condições econômicas observadas nos últimos anos, haverá cada vez mais equipamentos instalados. Os efeitos gerados por picos de demanda relacionados ao efeito cumulativo de vários aparelhos de ar-condicionado ligados simultaneamente já foram responsáveis inclusive por alguns blecautes em várias redes de distribuição pelo mundo afora. O desenvolvimento de novos sistemas de controle para equipamentos de arcondicionado que possibilitem um controle mais apurado do conforto ambiental tornaria os equipamentos mais eficientes e com melhor desempenho. Neste trabalho é proposto um sensor virtual capaz de estimar o índice de conforto térmico em vários pontos de um ambiente hipotético. O sensor virtual é baseado numa solução numérica das equações médias de Navier-Stokes, incorporando o modelo de turbulência de duas equações, kepsilon. Todo o modelo físico foi implantado em uma linguagem Modelica, agregando equações para cálculo dos índices de conforto térmico em uma biblioteca que gera uma malha espacial e soluciona o modelo das equações médias de Navier-Stokes com equações de turbulência k-epsilon. Os resultados da simulação de um caso-base do sensor virtual foram confrontados com aqueles obtidos na solução de um problema equivalente modelado em uma ferramenta comercial para simulação de dinâmica dos fluidos. Os valores médios das variáveis termodinâmicas obtidos pelo modelo do sensor virtual mostraram-se aderentes quando comparados com sua contrapartida modelada em programa de simulação comercial, cujo código-fonte é privativo. O modelo permite acesso ao valor de todas as variáveis termodinâmicas e de conforto térmico em cada um dos elementos da malha de simulação. _______________________________________________________________________________ ABSTRACT / An important portion of electricity use in Brazil is due air-conditioning energy consumption. Unlike other home appliances, air-conditioning is still present in a small number of Brazilian houses. However, if Brazil succeeds improving its economic conditions as were observed in past years, a higher amount of Brazilian homes will have their own air-conditioning system. In addition, peak demand caused by a high number of air-conditioning apparatus connected simultaneously accounts for massive blackouts throughout the world. The development of control systems, designed specifically for airconditioners, allows a more accurate control of thermal comfort, resulting in more efficient and better performing systems. This work presents a virtual sensor model that can estimate a thermal comfort index at various points in a hypothetical environment. The virtual sensor is based on the numerical solution of Navier-Stokes averaged equations, complemented with k-epsilon turbulence model. The coding was carried out with Modelica modeling language, based on a library that generates a solution mesh and solves the Navier-Stokes averaged equations with k-epsilon turbulence model. The capability of calculating thermal comfort indexes in the mesh nodes was added to the library. Simulations were performed in order to validate the results obtained by the virtual sensor model against the results obtained by a similar problem modeled in a commercial program for fluid dynamics simulation. The simulation results obtained by the virtual sensor model were considered satisfactory, based on a comparison with its counterpart modeled and solved on the commercial simulation program. The model proposed can deliver thermodynamics and thermal comfort data whithin each element of the simulation mesh

Nesta tese, através de métodos perturbativos adequados, resultados rigorosos são obtidos para dois sistemas dinâmicos específicos. Primeiro, apresentamos uma investigação matemática do fenômeno de localização dinâmica em uma classe de sistemas de dois níveis periodicamente e quase-periodicamente dependente do tempo. Nossos resultados são baseados em um procedimento de eliminação iterativa de termos polinominais da série de Lindstedt, a qual é proposta como solução de uma certa equação de Riccati associada. Tal procedimento é desenvolvido aqui de uma forma sistemática para adequá-lo ao efeito de localização em qualquer ordem de perturbação. No caso quase-periódico esse procedimento nos leva apenas a uma série de Lindstedt formal bem definida. No caso periódico, uma solução perturbativa convergente é obtida e, em particular, uma expansão perturbativa convergente para a frequência secular é apresentada. O caso particular do campo monocromático é discutido em detalhes onde cômputos numéricos das soluções são apresentadas e os resultados são exibidos em termos de certas probabilidades de transição entre os dois auto-estados do sistema. Segundo, consideramos em uma equação de Hill perturbada da forma + (p IND.0(t) + p IND.1(t)) = 0 onde p IND.0 é real analítica e periódica, p IND.1 é real analítica quase-periódica e R é pequeno. Assumindo condições Diophantinas nas frequências do sistema desacoplado, i.e., as frequências dos potenciais externos p IND.0 e p IND.1 e a frequência própria da equação de Hill não-perturbado (=0), e assumindo apenas uma condição de não-degenerescência específica sobre o potencial perturbador p IND.1, provamos que soluções quase-periódicas da equação não-pertrubada são estáveis se estiver em um conjunto de Cantor de medida relativamente grande em [- IND.0. IND.0] C R, onde IND.0 é pequeno o suficiente. Nosso método é baseado em um procedimento de resoma da série de Lindstedt formal obtida como solução de uma equação de Riccati associada ao problema de Hill. Finalmente, salientamos que os sistemas acima são matematicamente aparentados. De fato, ambos passam pela solução de certas equações de Riccati bastante parecidas. Tais soluções são procuradas em termos de séries de Lindstedt expandidas em um parâmetro pertrubativo adequado. / In this thesis, through the use of suitable perturbative methods, rigorous results are obtained for two specific dynamical systems. First, we present a mathematical investigation of the phenomenon of dynamical localization in a class of quasi-periodically and periodically time-dependent two-level systems. Our results are based on an interative procedure of elimination of polynomial terms from the Lindstedt series, which is proposed as a solution of a certain associated Riccati equation. Such a procedure is developed here in a systematic way in order to adapt it to the effect of localization in any perturbative order. In the quasi-periodic case, this procedure leads only to a formal well defined Lindstedt series. In the periodic case, a convergent perturbative solution is obtained and, in particular, a convergent perturbative expansion for the secular frequency is presented. The particular case of a monochromatic field is discussed in detail, where numerical computations of the solutions are presented and results are exhibited in terms of certain transition probabilities between the two eigenstates of the system. Second, we consider a perturbed Hill\'s equation of the form + (p0(t) + p1(t)) = 0, where p0 is real analytic and periodic, p1 is real analytic and quasi-periodic and R is small. Assuming Diophantine conditions on the frequencies of the decoupled system i.e., thr frequencies of the external potentials p0nd p1 and the proper frequency of the unperturbed ( = 0) Hills equation and making only one specific non-degeneracy assumption on the perturbating potential p1, we prove that quasi-periodic solutions of the unperturbed equation are stable if lies in a Cantor set of relatively large measure in [-0,0] C R where 0 is small enough. Our method is based on a resummation procedure of a formal Lindstedt series obtained as a solution of a genrelized Riccati equation associated to Hills problem. Finally, we stress that the two systems above are mathematically related. Indeed, both pass through the solutions of certain strongly related Riccati euqations. Such solutions are scarched in terms of Lindstedt series expandend in a suitable pertrubative parameter.

Nesta Tese de Doutoramento investigamos a influência das órbitas em regime de stickiness, para com a dinâmica de alguns sistemas dinâmicos clássicos. Tais órbitas são caracterizadas como aprisionamentos de tempo finito ao redor de estrututas de regularidade no espaço de fases. Esse comportamento ao longo da dinâmica, pode afetar propriedades estatísticas, de difusão e de transporte, dependendo do ensemble de condições iniciais e parâmetros de controle. Caracterizamos a influência deste fenômeno em três sistemas dinâmicos: (i) modelo Fermi-Ulam (FUM), onde órbitas em regime de stickiness produzem decaimento de correlações em forma de exponencial esticada e de lei de potência, e toda uma análise estatística ao longo da dinâmica é feita, tanto analítica quanto numericamente; (ii) no modelo Bouncer, essas órbitas são caracterizadas via expoentes de Lyapunov e decaimento de correlações, onde elas funcionam como um mecanismo para atrasar a difusão ilimitada de energia; e finalmente (iii) no bilhar Stadium, onde aliado a ressonância, o stickiness atua como um facilitador na troca de comportamento de órbitas, onde as mesmas sofrem uma transição de difusão ilimitada, para platô estacionário, perto da criticalidade ressonante. / In this Doctorate Thesis we investigate how the sticky orbits influence the dynamics of some classical dynamical systems. These orbits are characterized as finite-time trapping around stability islands in the phase space. This behaviour along the dynamics, may affect statistical properties, diffusion and transport, depending on the ensemble of energies, initial conditions and control parameters. We characterize this stickiness influence in three dynamical systems: (i) in the Fermi-Ulam Model (FUM), where orbits in sticky regime produce a decay of correlations, of a stretched exponential and power law kinds and a whole statistics analysis is made concerning numerical and analytical approaches; (ii) in the Bouncer model, these orbits are characterized along the dynamics via Lyapunov exponents and decay of correlations, where they play the role of a mechanism to slow down the unlimited diffusion of energy; and finally (iii) in the Stadium billiard, where allied with the resonance, stickiness allows a change in the orbits behaviour, where we can set a transition from unlimited diffusion to stationary state, near the critical resonance.