In dieser Arbeit wird die Smallest-Accepted Methode als neue Lepski-Typ Methode für Modellwahl im geordneten Fall eingeführt. In einem ersten Schritt wird die Methode vorgestellt und im Fall von Schätzproblemen mit bekannter Fehlervarianz untersucht. Die Hauptkomponenten der Methode sind ein Akzeptanzkriterium, basierend auf Modellvergleichen für die eine Familie von kritischen Werten mit einem Monte-Carlo-Ansatz kalibriert wird, und die Wahl des kleinsten (in Komplexität) akzeptierten Modells. Die Methode kann auf ein breites Spektrum von Schätzproblemen angewandt werden, wie zum Beispiel Funktionsschätzung, Schätzung eines linearen Funktionals oder Schätzung in inversen Problemen. Es werden allgemeine Orakelungleichungen für die Methode im Fall von probabilistischem Verlust und einer polynomialen Verlustfunktion gezeigt und Anwendungen der Methode in spezifischen Schätzproblemen werden untersucht. In einem zweiten Schritt wird die Methode erweitert auf den Fall einer unbekannten, möglicherweise heteroskedastischen Fehlerstruktur. Die Monte-Carlo-Kalibrierung wird durch eine Bootstrap-basierte Kalibrierung ersetzt. Eine neue Familie kritischer Werte wird eingeführt, die von den (zufälligen) Beobachtungen abhängt. In Folge werden die theoretischen Eigenschaften dieser Bootstrap-basierten Smallest-Accepted Methode untersucht. Es wird gezeigt, dass unter typischen Annahmen unter normalverteilten Fehlern für ein zugrundeliegendes Signal mit Hölder-Stetigkeits-Index s > 1/4 und log(n) (p^2/n) klein, wobei n hier die Anzahl der Beobachtungen und p die maximale Modelldimension bezeichnet, die Anwendung der Bootstrap-Kalibrierung anstelle der Monte-Carlo-Kalibrierung theoretisch gerechtfertigt ist. / In this thesis, the Smallest-Accepted method is presented as a new Lepski-type method for ordered model selection. In a first step, the method is introduced and studied in the case of estimation problems with known noise variance. The main building blocks of the method are a comparison-based acceptance criterion relying on Monte-Carlo calibration of a set of critical values and the choice of the model as the smallest (in complexity) accepted model. The method can be used on a broad range of estimation problems like function estimation, estimation of linear functionals and inverse problems. General oracle results are presented for the method in the case of probabilistic loss and for a polynomial loss function. Applications of the method to specific estimation problems are studied. In a next step, the method is extended to the case of an unknown possibly heteroscedastic noise structure. The Monte-Carlo calibration step is now replaced by a bootstrap-based calibration. A new set of critical values is introduced, which depends on the (random) observations. Theoretical properties of this bootstrap-based Smallest-Accepted method are then studied. It is shown for normal errors under typical assumptions, that the replacement of the Monte-Carlo step by bootstrapping in the Smallest-Accepted method is valid, if the underlying signal is Hölder-continuous with index s > 1/4 and log(n) (p^2/n) is small for a sample size n and a maximal model dimension p.

Schwerpunkt dieser Arbeit ist die Untersuchung einer Klasse von Diskretisierungsmethoden für nichtlineare optimale Steuerungsprobleme mit gewöhnlichen Differentialgleichungen und Steuerungsbeschränkung sowie die Durchführung von numerischen Experimente. Die theoretischen Untersuchungen basieren aus einem gekoppeltes Parametrisierungs-Diskretisierungsschema aus stückweise polinomialen Ansatz für die Steuerung und einen Runge-Kutta-Verfahren zur Integration der Zustands-Differentialgleichung. Die Konvergenzordnung der Lösung wird unter Regularitätsbedingung und Optimalitätsbedingung 2.Ordnung ermittelt. Außerdem wird eine Möglichkeit zur numerischen Berechnung der Gradienten über internen numerischen Differentiation erläutert. Schließlich werden einige numerischen Resultate gegeben und die Abhängigkeiten zur den theoretischen Konvergenzresultate diskutiert. / The focal point of this work is the investigation of a class of discretization methods for nonlinear optimal control problems governed by ordinary differential equations with control restrictions, as well as the implementation of some numerical experiments. The theoretical investigations are based on a coupledparameterization-discretization pattern, a piecewise linear parameterization representation of the control, and the application of a Runge Kutta method for the integration of the differential state equation. The rate of convergence of the solution is obtained with the help of regularity conditions and the second order optimality conditions. Furthermore, we also present in this paper a possibility of the numerical computation of the gradients via numerical differentiation. Finally some numerical results are given and their relationship to the theoretical convergence results are discussed.

In dieser Arbeit beschäftigen wir uns mit Nutzenoptimierungs- und stochastischen Kontrollproblemen unter mehreren Gesichtspunkten. Wir untersuchen die Parameterunsicherheit solcher Probleme im Sinne des Robustheits- und des Sensitivitätsparadigma. Neben der Betrachtung dieser problemen widmen wir uns auch einem Zweiagentenproblem, bei dem der eine dem anderen das Management seines Portfolios vertraglich überträgt. Wir betrachten das robuste Nutzenoptimierungsproblem in Finanzmarktmodellen, wobei wir Bedingungen für seine Lösbarkeit formulieren, ohne jegliche Kompaktheit der Unsicherheitsmenge zu fordern, welche die Maße enthält, auf die der Optimierer robustifiziert. Unsere Bedingungen sind über gewisse Funktionenräume beschrieben, die allgemein Modularräume sind, mittels dennen wir eine Min-Max-Gleichung und die Existenz optimalen Strategien beweisen. In vollständigen Märkten ist der Raum ein Orlicz, und nachdem man seine Reflexivität explizit überprüft hat, erhält man zusätzlich die Existenz einer Worst-Case-Maße, die wir charakterisieren. Für die Parameterabhängigkeit stochastischer Kontrollprobleme entwickeln wir einen Sensitivitätsansatz. Das Kernargument ist die Korrespondenz zwischen dem adjungierten Zustand zur schwachen Formulierung des Pontryaginschen Prinzips und den Lagrange-Multiplikatoren, die der Kontrollgleichung assoziiert werden, wenn man sie als eine Bedingung betrachtet. Der Sensitivitätsansatz wird dann auf konvexe Probleme mit additiver oder multiplikativer Störung angewendet. Das Zweiagentenproblem formulieren wir in diskreter Zeit. Wir wenden in größter Verallgemeinerung die Methoden der bedingten Analysis auf den Fall linearer Verträge an und zeigen, dass sich die Mehrheit der in der Literatur unter sehr spezifischen Annahmen bekannten Ergebnisse auf eine deutlich umfassenderer Klasse von Modellen verallgemeinern lässt. Insbesondere erhalten wir die Existenz eines first-best-optimalen Vertrags und dessen Implementierbarkeit. / In this thesis we deal with utility maximization and stochastic optimal control through several points of view. We shall be interested in understanding how such problems behave under parameter uncertainty under respectively the robustness and the sensitivity paradigms. Afterwards, we leave the single-agent world and tackle a two-agent problem where the first one delegates her investments to the second through a contract. First, we consider the robust utility maximization problem in financial market models, where we formulate conditions for its solvability without assuming compactness of the densities of the uncertainty set, which is a set of measures upon which the maximizing agent performs robust investments. These conditions are stated in terms of functional spaces wich generally correspond to Modular spaces, through which we prove a minimax equality and the existence of optimal strategies. In complete markets the space is an Orlicz one, and upon explicitly granting its reflexivity we obtain in addition the existence of a worst-case measure, which we fully characterize. Secondly we turn our attention to stochastic optimal control, where we provide a sensitivity analysis to some parameterized variants of such problems. The main tool is the correspondence between the adjoint states appearing in a (weak) stochastic Pontryagin principle and the Lagrange multipliers associated to the controlled equation when viewed as a constraint. The sensitivity analysis is then deployed in the case of convex problems and additive or multiplicative perturbations. In a final part, we proceed to Principal-Agent problems in discrete time. Here we apply in great generality the tools from conditional analysis to the case of linear contracts and show that most results known in the literature for very specific instances of the problem carry on to a much broader setting. In particular, the existence of a first-best optimal contract and its implementability by the Agent is obtained.

Diese Dissertation betrachtet das Problem der nichtparametrischen Schätzung der Diffusionskoeffizienten eines ein-dimensionalen und zeitlich homogenen Itô-Diffusionsprozesses. Dabei werden verschiedene diskrete Sampling Regimes untersucht. Im ersten Teil zeigen wir, dass eine Variante des von Gobet, Hoffmann und Reiß konstruierten Niedrigfrequenz-Schätzers auch im Fall von zufälligen Beobachtungszeiten verwendet werden kann. Wir beweisen, dass der Schätzer optimal im Minimaxsinn und adaptiv bezüglich der Verteilung der Beobachtungszeiten ist. Außerdam wenden wir die Lepski Methode an um einen Schätzer zu erhalten, der zusätzlich adaptiv bezüglich der Sobolev-Glattheit des Drift- und Volatilitätskoeffizienten ist. Im zweiten Teil betrachten wir das Problem der Volatilitätsschätzung für äquidistante Beobachtungen. Im Fall eines stationären Prozesses, mit kompaktem Zustandsraum, erhalten wir einen Schätzer, der sowohl bei hochfrequenten als auch bei niedrigfrequenten Beobachtungen die optimale Minimaxrate erreicht. Die Konstruktion des Schätzers beruht auf spektralen Methoden. Im Fall von niedrigfrequenten Beobachtungen ist die Analyse des Schätzers ähnlich wie diejenige in der Arbeit von Gobet, Hoffmann und Reiß. Im hochfrequenten Fall hingegen finden wir die Konvergenzraten durch lokale Mittelwertbildung und stellen daubt eine Verbindung zum Hochfrequenzschätzer von Florens-Zmirou her. In der Analyse unseres universalen Schätzers benötigen wir scharfe obere Schranken für den Schätzfehler von Funktionalen der Occupation time für unstetige Funktionen. Wir untersuchen eine auf Riemannsummen basierende Approximation der Occupation time eines stationären, reversiblen Markov-Prozesses und leiten obere Schranken für den quadratischen Fehler her. Im Fall von Diffusionsprozessen erhalten wir Konvergenzraten für Sobolev Funktionen. / In this thesis, we consider the problem of nonparametric estimation of the diffusion coefficients of a scalar time-homogeneous Itô diffusion process from discrete observations under various sampling assumptions. In the first part, the low-frequency estimation method proposed by Gobet, Hoffmann and Reiß is modified to cover the case of random sampling times. The estimator is shown to be optimal in the minimax sense and adaptive to the sampling distribution. Moreover, Lepski''s method is applied to adapt to the unknown Sobolev smoothness of the drift and volatility coefficients. In the second part, we address the problem of volatility estimation from equidistant observations without a predefined frequency regime. In the case of a stationary diffusion with compact state space and boundary reflection, we introduce a universal estimator that attains the minimax optimal convergence rates for both low and high-frequency observations. Being based on the spectral method, the low-frequency analysis is similar to the study conducted by Gobet, Hoffmann and Reiß. On the other hand, the derivation of the convergence rates in the high-frequency regime requires local averaging of the low-frequency estimator, which makes it mimic the behaviour of the classical high-frequency estimator introduced by Florens-Zmirou. The analysis of the universal estimator requires tight upper bounds on the estimation error of the occupation time functional for non-continuous functions. In the third part of the thesis, we thus consider the Riemann sum approximation of the occupation time functional of a stationary, time-reversible Markov process. Upper bounds on the squared mean estimation error are provided. In the case of diffusion processes, convergence rates for Sobolev regular functions are obtained.

Diese Dissertation untersucht Brill-Noether-Theorie der algebraischen Kurven, unter besonderer Berücksichtigung von Kurven auf K3-Flächen und Del-Pezzo-Flächen. In Kapitel 2 studieren wir den Gieseker-Petri-Ort GP_g im Modulraum M_g der glatten irreduziblen Kurven vom Geschlecht g. Dieser Ort wird definiert durch Kurven mit einer Brill-Noether-Varietät G^r_d(C), die singulär ist oder deren Dimension größer als erwartet ist. Der Satz von Gieseker-Petri impliziert, dass GP_g mindestens Kodimension 1 hat, und es wurde vermutet, dass er von reiner Kodimension 1 ist. Wir beweisen diese Vermutung für Geschlecht höchstens 13. Dies wird dadurch ermöglicht, dass man für kleine Geschlechter die Dimension der irreduziblen Komponenten von GP_g mittels "ad hoc"-Beweisführungen untersuchen kann. Lazarsfelds Beweis des Gieseker-Petri-Theorems mittels Kurven auf allgemeninen K3-Flächen deutet darauf hin, dass die Brill-Noether-Theorie von K3-Schnitten wichtig ist, um den Gieseker-Petri-Ort besser zu verstehen. Linearscharen von Kurven, die auf K3-Flächen liegen, stehen in tiefgehender Beziehung zu sogenannten Lazarsfeld-Mukai-Vektorbündeln. In Kapitel 3 untersuchen wir die Stabilität der Lazarsfeld-Mukai-Vektorbündel vom Rang 3 auf einer K3-Fläche S, und wir zeigen, dass sie viele Informationen über Netze vom Typ g^2_d auf Kurven in S enthalten. Wenn d größ genug ist, erhalten wir eine obere Schranke für die Dimension der Varietät G^2_d(C). Wenn die Brill-Noether-Zahl negativ ist, beweisen wir, dass jedes g^2_d in einer von einem Geradenbündel induzierten Linearschar enthalten ist, wie von Donagi und Morrison vermutet wurde. Kapitel 4 befasst sich mit Syzygien einer gegebenen Kurve C, die auf einer Del-Pezzo-Fläche liegt. Wir insbesondere, dass C die Greens Vermutung erfüllt, die impliziert, dass die Existenz gewisser spezieller Linearscharen auf C von den Gleichungen ihrer kanonischen Einbettung abgelesen werden kann. / We investigate Brill-Noether theory of algebraic curves, with special emphasis on curves lying on $K3$ surfaces and Del Pezzo surfaces. In Chapter 2, we study the Gieseker-Petri locus GP_g inside the moduli space M_g of smooth, irreducible curves of genus g. This consists, by definition, of curves [C] in M_g such that for some r, d the Brill-Noether variety G^r_d(C), which parametrizes linear series of type g^r_d on C, either is singular or has some components exceeding the expected dimension. The Gieseker-Petri Theorem implies that GP_g has codimension at least 1 in M_g and it has been conjectured that it has pure codimension 1. We prove this conjecture up to genus 13; this is possible since, when the genus is low enough, one is able to determine the irreducible components of GP_g and to study their codimension by "ad hoc" arguments. Lazarsfeld''s proof of the Gieseker-Petri-Theorem by specialization to curves lying on general K3 surfaces suggests the importance of the Brill-Noether theory of K3-sections for a better understanding of the Gieseker-Petri locus. Linear series on curves lying on a K3 surface are deeply related to the so-called Lazarsfeld-Mukai bundles. In Chapter 3, we study the stability of rank-3 Lazarsfeld-Mukai bundles on a K3 surface S, and show it encodes much information about nets of type g^2_d on curves C contained in S. When d is large enough and C is general in its linear system, we obtain a dimensional statement for the variety G^2_d(C). If the Brill-Noether number is negative, we prove that any g^2_d is contained in a linear series which is induced from a line bundle on S, as conjectured by Donagi and Morrison. Chapter 4 concerns syzygies of any given curve C lying on a Del Pezzo surface S. In particular, we prove that C satisfies Green''s Conjecture, which implies that the existence of some special linear series on C can be read off the equations of its canonical embedding.

im Postscript-Format / PostScript

In der vorliegenden Arbeit wird das Entstehen von Singularitäten an Oberflächen von dünnen Flüssigkeitsfilmen studiert. Unter einer Singularität versteht man hier das plötzliche Aufreißen einer Flüssigkeitsoberfläche an einer Stelle. Nach einer Diskussion physikalischer Phänomene, wird ein 2D Modell zur Beschreibung von Flüssigkeitsfilmen hergeleitet. Dieses Modell beinhaltet u.a. Oberflächenspannung, van der Waals''sche Kräfte und eine Navier-slip Randbedingung (Schlupf-Randbedingung) zwischen Substrat und Flüssigkeit, d.h. die Flüssigkeite haftet nicht an der Grenzfläche zum Substrat. Dieses Phänomen wird vor allen Dingen im Nano- und Mikrometerbereich beobachtet. Dieses Modell wird vereinfacht und man erhält die sogenannte "strong-slip" Gleichung. In dieser Dissertation werden verschiedene Ansätze verfolgt, um die Singularität der Flüssigkeitsoberfläche zu beschreiben. Der Entstehungsprozess der Singularität wird durch die lineare Stabilitätsuntersuchung beschrieben. Da die Linearisierung schnell ihre Gültigkeit verliert, wird das nichtlineare Verhalten der Singularität mit einem numerischen Verfahren beschrieben. Das dazu hier konstruierte Finite-Differenzen-Schema besitzt eine hohe räumliche und zeitliche Genauigkeit. Dadurch können verschiedene Regime, in denen die Singularität eine selbstähnliche Dynamik besitzt, untersucht und beschrieben werden. Im zweiten Teil der Arbeit werden die Gleichungen weiter vereinfacht. Dadurch können qualitative Eigenschaften der Singularitätsentstehung bewiesen werden. Weiterhin kann so eine Verbindung zu Modellen der Ostwald-Reifung hergestellt werden und man gelangt zu ähnlichen mathematischen Aussagen wie für selbstähnliche Vergröberungsprozesse. Insbesondere wird in der Arbeit gezeigt, dass die Singularität nach endlicher Zeit auftritt. Für das vereinfachte Problem werden hinreichende und notwendige Bedingungen für selbstähnliches Verhalten angegeben. / In this thesis we study the formation of surface singularites of thin liquid films, i.e., rupture of thin liquid films. First, important physical phenomena are discussed and a two-dimensional model for thin-film rupture is derived . That model contains surface tension, van der Waals forces between a liquid and a underlying substrate, and a Navier-slip condition. Using the thin-film hypothesis, this model is simplified and one obtains the so-called strong-slip equation. The phenomenon slip, where the velocity of the liquid is non-zero at a fluid-solid interface, is particularly important at microscopic length scales. In this text we study interfacial singularities with various approaches. The creation of a singularity is described by a linear stability analysis. The non-linear behavior is investigated by a numerical analysis. A finite-difference scheme is used to study the non-linear self-similar dynamics of the singularity. In the second part of this thesis the equations are further simplified. This allows to study qualitative properties of the singularity formation. Furthermore, we can establish a correspondence to models for Ostwald rippending and obtain similar mathematical statements as they are known for self-similar coarsening processes. In particular it is shown that rupture happens after a finite time. In addition, necessary and sufficient condition for self-similar rupture are proven.

In dieser Arbeit wird das Fraïssé-Hrushowskis Amalgamationsverfahren in Zusammenhang mit nilpotenten graduierten Lie Algebren über einem endlichen Körper untersucht. Die Prädimensionen die in der Konstruktion auftauchen sind mit dem gruppentheoretischen Begriff der Defizienz zu vergleichen, welche auf homologische Methoden zurückgeführt werden kann. Darüber hinaus wird die Magnus-Lazardsche Korrespondenz zwischen den oben genannten Lie Algebren und nilpotenten Gruppen von Primzahl-Exponenten beschrieben. Dabei werden solche Gruppen durch die Baker-Haussdorfsche Formel in den entsprechenden Algebren definierbar interpretiert. Es wird eine omega-stabile Lie Algebra von Nilpotenzklasse 2 und Morleyrang omega + omega erhalten, indem man eine unkollabierte Version der von Baudisch konstruierten "new uncountably categorical group" betrachtet. Diese wird genau analysiert. Unter anderem wird die Unabhängigkeitsrelation des Nicht-Gabelns durch die Konfiguration des freien Amalgams charakterisiert. Mittels eines induktiven Ansatzes werden die Grundlagen entwickelt, um neue Prädimensionen für Lie Algebren der Nilpotenzklassen größer als zwei zu schaffen. Dies erweist sich als wesentlich schwieriger als im Fall 2. Wir konzentrieren uns daher auf die Nilpotenzklasse 3, als Induktionsbasis des oben genannten Prozesses. In diesem Fall wird die Invariante der Defizienz auf endlich erzeugte Lie Algebren adaptiert. Erstes Hauptergebnis der Arbeit ist der Nachweis dass diese Definition zu einem vernüftigen Begriff selbst-genügender Erweiterungen von Lie Algebren führt und sehr nah einer gewünschten Prädimension im Hrushovskischen Sinn ist. Wir zeigen – als zweites Hauptergebnis – ein erstes Amalgamationslemma bezüglich selbst-genügender Einbettungen. / In this work, the so called Fraïssé-Hrushowski amalgamation is applied to nilpotent graded Lie algebras over the p-elements field with p a prime. We are mainly concerned with the uncollapsed version of the original process. The predimension used in the construction is compared with the group theoretical notion of deficiency, arising from group Homology. We also describe in detail the Magnus-Lazard correspondence, to switch between the aforementioned Lie algebras and nilpotent groups of prime exponent. In this context, the Baker-Hausdorff formula allows such groups to be definably interpreted in the corresponding algebras. Starting from the structures which led to Baudisch’ new uncountably categorical group, we obtain an omega-stable Lie algebra of nilpotency class 2, as the countable rich Fraïssé limit of a suitable class of finite Lie algebras. We study the theory of this structure in detail: we show its Morley rank is omega+omega and a complete description of non-forking independence is given, in terms of free amalgams. In a second part, we develop a new framework for the construction of deficiency-predimensions among graded Lie algebras of nilpotency class higher than 2. This turns out to be considerably harder than the previous case. The nil-3 case in particular has been extensively treated, as the starting point of an inductive procedure. In this nilpotency class, our main results concern a suitable deficiency function, which behaves for many aspects like a Hrushovski predimension. A related notion of self-sufficient extension is given. We also prove a first amalgamation lemma with respect to self-sufficient embeddings.

In der Arbeit befassen wir uns mit der Potenznutzenmaximierung des Endvermögens, wenn die Aktienpreise stetigen Semimartingaldynamiken genügen und die Strategien des Agenten Investitions- und Informationsrestriktionen unterworfen sind. Hauptaugenmerk liegt auf der stochastischen Rückwärtsgleichung (BSDE) für den dynamischen Wertprozess und auf der Übertragung von neuen Ergebnissen zu quadratischen Semimartingal-BSDEs auf das Investitionsproblem. Dieses gelingt unter der Annahme endlicher exponentiellen Momente des Mean-Variance Tradeoff und verallgemeinert frühere Resultate, die Beschränktheit fordern. Wir betrachten dabei zunächst die Beziehung zwischen den Dualitäts- und BSDE-Ansätzen zur Lösung des Problems und gehen dann über zum Studium der quadratischen Semimartingal-BSDE, wenn der Marktpreis des Risikos vom BMO-Typ ist. Wir zeigen, dass es stets ein Kontinuum verschiedener BSDE-Lösungen mit quadratisch integrierbarem Martingalteil gibt. Wir stellen dann eine neue scharfe Bedingung an geeignete dynamische exponentielle Momente vor, die die Beschränktheit der BSDE-Lösungen in einer allgemeinen Filtration garantiert. In weiterer Folge weisen wir Existenz-, Eindeutigkeits-, Stabilitäts- und Maßwechselresultate für allgemeine quadratische stetige BSDEs unter exponentiellen Momenten nach. Diese Ergebnisse verwenden wir, um das Investitionsproblem für den Fall konischer Investitionsrestriktionen zu untersuchen. Ausgehend von der Zerlegung von Elementen des dualen Gebietes erhalten wir die zugehörige BSDE und beweisen, dass der Wertprozess in einem Raum liegt, in dem Lösungen quadratischer BSDEs eindeutig sind. Als Folgerung aus dem Stabilitätsresultat für BSDEs erhalten wir die Stetigkeit der Optimierer in der Semimartingaltopologie in den Parametern des Modells. Schließlich betrachten wir das Investitionsproblem unter exponentiellen Momenten, kompakten Handelsrestriktionen und eingeschränkter Information. Hierbei benutzen wir ausschließlich BSDE-Resultate. / In this thesis we consider the problem of maximizing the power utility from terminal wealth when the stocks have continuous semimartingale dynamics and there are investment and information constraints on the agent''s strategies. The main focus is on the backward stochastic differential equation (BSDE) that encodes the dynamic value process and on transferring new results on quadratic semimartingale BSDEs to the portfolio choice problem. This is accomplished under the assumption of finite exponential moments of the mean-variance tradeoff, generalizing previous results which require boundedness. We first recall the relationship between the duality and BSDE approaches to solving the problem and then study the associated quadratic semimartingale when the market price of risk is of BMO type. We show that there is always a continuum of distinct solutions to this BSDE with square-integrable martingale part. We then provide a new sharp condition on the dynamic exponential moments of the mean-variance tradeoff which guarantees the boundedness of BSDE solutions in a general filtration. In a subsequent step we establish existence, uniqueness, stability and measure change results for general quadratic continuous BSDEs under an exponential moments condition. We use these results to study the portfolio selection problem when there are conic investment constraints. Building on a decomposition result for the elements of the so-called dual domain we derive the associated BSDE and show that the value process is contained in a specific space in which BSDE solutions are unique. A consequence of the stability result for BSDEs is then the continuity of the optimizers with respect to the input parameters of the model in the semimartingale topology. Finally, we study the optimal investment problem under exponential moments, compact constraints and restricted information. This is done by referring to BSDE results only.

Diese Arbeit befasst sich mit der Entwicklung einer Theorie bedingter Mengen. Bedingte Mengenlehre ist reich genug um einen bedingten mathematischen Diskurs zu führen, dessen Möglichkeit wir durch die Konstruktion einer bedingten Topologielehre und bedingter reeller Analysis aufzeigen. Wir beweisen die bedingte Version folgender Sätze: Ultrafilterlemma, Tychonoff, Borel-Lebesgue, Heine-Borel, Bolzano-Weierstraß, und das Gaplemma von Debreu. Darüberhinaus beweisen wir die bedingte Version derjenigen Resultate der klassischen Mathematik, die in den Beweisen dieser Sätze benötigt werden, beginnend mit der Mengenlehre. Wir diskutieren die Verbindung von bedingter Mengenlehre zur Garben-, Topos- und L0-Theorie. / In this thesis, we develop a theory of conditional sets. Conditional set theory is sufficiently rich in order to allow for a conditional mathematical reasoning, the possibility of which we demonstrate by constructing a conditional general topology and a conditional real analysis. We prove the conditional version of the following theorems: Ultrafilter Lemma, Tychonoff, Borel-Lebesgue, Heine-Borel, Bolzano-Weierstraß, and Debreu’s Gap Lemma. Moreover, we prove the conditional version of those results in classical mathematics which are needed in the proofs of these theorems, starting from set theory. We discuss the connection of conditional set theory to sheaf, topos and L0-theory.