Le sujet principal de cette thèse est l'étude de l'équation de Klein-Gordon couplée avec un terme d'interaction et sa quantification du point de vue multisymplectique. <br /><br />Nous nous interessons tout d'abord à l'équation linéaire et nous proposons une description multisymplectique de la quantification canonique par le biais d'une representation des symétries, de la quantification par deformation et enfin nous introduisons la notion de quatification par déformation multisymplectique. <br /><br />Ensuite nous traitons le champ en interaction. Nous construisons dans un premier temps des observables sous la forme de séries sur les arbres plans puis nous montrons comment elles peuvent être reliées aux séries de Butcher. Enfin nous voyons comment appliquer nos résultats à la théorie du contrôle.

Cette thèse concerne l'homogénéisation, ou limite semi-classique, des transformées de Wigner associées à des suites bornées L^2 solutions d'une équation de Schrödinger ou d'un système hyperbolique linéaire du premier ordre. On établit diverses équations de transport satisfaites par les mesures de Wigner limites lorsque qu'un petit paramètre tend vers zéro. <br /><br />Une première partie résume les propriétés générales de la transformation en rappelant son lien avec le calcul pseudo-différentiel. <br /><br />Une seconde partie étudie la perturbation des hamiltoniens périodiques par des potentiels réguliers apériodiques au moyen d'estimations de commutation concernant les décompositions de Bloch. <br /><br />Une troisième partie étudie sous une hypothèse de couplage faible l'homogénéisation de certains milieux aléatoires évoluant chaotiquement selon une dynamique réversible mais gouvernés en moyenne par une dynamique irréversible de type Bolztmann. <br /><br />Une quatrième partie clarifie au moyen du formalisme des transformées de Wigner un résultat connu d'existence-unicité pour la hiérarchie infinie BBGKY du problème de Schrödinger à N particules, lorsque N tend vers l'infini, dans l'approximation de champ moyen.

Ce mémoire décrit mes travaux de recherche sur l'analyse mathématique et numérique de problèmes de propagation d'ondes. Le premier chapitre est consacré à des méthodes numériques pour la propagation ou la diffraction d'ondes élastiques dans des solides : (i) potentiels retardés dans des milieux élastiques homogènes isotropes, (ii) méthodes d'imagerie sismique par tomographie, (iii) équations paraxiales, (iv) éléments finis mixtes pour l'élasto-dynamique. Ce dernier point, (iv), le plus détaillé ici, s'inscrit dans une stratégie générale pour obtenir une méthode numérique performante pouvant traiter des milieux complexes (anisotropes, hétérogènes) avec des obstacles de géométrie quelconque. Il a été développé dans l'optique d'utiliser la méthode des domaines fictifs qui fait l'objet du deuxième chapitre. Après une description de cette méthode sur un problème modèle scalaire, elle est présentée tout d'abord pour un problème de diffraction d'ondes élastiques par une fissure modélisée soit par une condition de surface libre soit par une condition de contact unilatéral, puis pour un problème d'acoustique musicale (modélisation de la guitare). Le troisième chapitre traite de questions de conditions aux limites artificielles utilisées pour borner le domaine de calcul. Des méthodes de couches absorbantes parfaitement adaptées (PML) sont analysées pour des problèmes transitoires (électromagnétisme, acoustique, élasto-dynamique, système hyperbolique général du premier ordre) puis pour un problème d'acoustique en écoulement en régime harmonique. Le mémoire se termine par un point sur les travaux en cours et des perspectives ouvertes par ces travaux.

Cette thèse a pour objet le comportement asymptotique de solutions globales d'Equations aux Dérivées Partielles d'évolution paraboliques semilinéaires. A travers deux exemples distincts, on traite de la convergence en temps des solutions vers des solutions particulières (ondes progressives, solutions autosimilaires). Dans un premier temps, on étudie la stabilité asymptotique des ondes progressives à symétrie sphérique dans une équation de réaction-diffusion scalaire avec non-linéarité bistable. On obtient un résultat de stabilité pour de petites perturbations radiales et d'instabilité pour des perturbations quelconques. Dans un deuxième temps, on calcule un développement asymptotique jusqu'au second ordre des solutions, à donnée initiale petite, de Navier-Stokes et de Navier-Stokes Coriolis dans une bande tridimensionnelle. On montre notamment que leur comportement asymptotique est régi par le tourbillon d'Oseen. On généralise ensuite ce résultat à toute solution globale uniformément bornée en temps, sans aucune hypothèse de petitesse. Enfin, on met en évidence de telles solutions pour l'équation de Navier-Stokes Coriolis pour les fluides tournants dans le cas d'une rotation suffisamment rapide.

Nous présentons quelques contributions à la simulation et à l'analyse de discrétisation de processus, avec leurs applications notamment en finance. Nous avons regroupé nos travaux selon 4 thèmes: 1. statistique des processus avec observations discrètes; 2. couverture en temps discret en finance; 3. sensibilités d'espérances; 4. analyses d'erreurs de discrétisation. Le premier chapitre sur la statistique des processus est assez indépendant du reste. En revanche, les trois autres chapitres correspondent à une cohérence et une progression dans les questions soulevées. Néanmoins au fil de la lecture, on remarquera des liens entre les quatre parties: différentiation par rapport à des domaines et amélioration de simulation de temps de sortie, sensibilités d'espérances et statistique asymptotique avec le calcul de Malliavin, sensibilités d'espérances et analyse d'erreur etc... Les preuves des résultats s'appuient notamment sur les outils du calcul de Malliavin, des martingales, des Équations aux Dérivées Partielles et de leurs liens avec les Équations Différentielles Stochastiques.

Le sujet principal de cette thèse est l'étude de la contrôlabilité exacte de deux équations dispersives, l'équation de Korteweg-de Vries et la "bonne" équation de Boussinesq. En ce qui concerne l'équation de Korteweg-de Vrie, on étend un résultat de Rosier en montrant la contrôlabilité exacte en tout temps de l'équation non linéaire autour d'une solution stationnaire proche de zéro mais non nulle, ce pour des longueurs de domaine spatial critiques. Cette démonstration utilise en particulier la méthode d'unicité hilbertienne couplée avec la méthode des multiplicateurs et un théorème de point fixe. Ensuite, nous étudions le problème de la contrôlabilité exacte de l'équation de Boussinesq pour deux contrôles différents. On utilise également la méthode d'unicité hilbertienne pour ces problèmes en appliquant une inégalité de Ingham. On obtient ainsi un résultat de contrôlabilité exacte pour des temps arbitrairement petits. Nous implémentons ensuite cette méthode de facon numérique pour l'équation de Boussinesq avec un contrôle portant sur la dérivée seconde a droite, tant sur le problème linéaire que non linéaire.

Dans cette thèse, nous étudions le modèle de synchronisation de Kuramoto et plus généralement des systèmes de diffusions interagissant en champ moyen, en présence d'un aléa supplémentaire appelé désordre. La motivation principale en est l'étude du comportement du système en grande population, pour une réalisation fixée du désordre (modèle quenched). Ce document, outre l'introduction, comporte quatre chapitres. Le premier s'intéresse à la convergence de la mesure empirique du système d'oscillateurs vers une mesure déterministe, solution d'un système d'équations aux dérivées partielles non linéaires couplées (équation de McKean-Vlasov). Cette convergence est prouvée indirectement via un principe de grandes déviations dans le cas averaged et directement dans le cas quenched, sous des hypothèses plus faibles sur le désordre. Le deuxième chapitre est issu d'un travail en commun avec Giambattista Giacomin et Christophe Poquet et concerne la régularité des solutions de l'EDP limite ainsi que la stabilité de ses solutions stationnaires synchronisées dans le cas d'un désordre faible. Les deux derniers chapitres étudient l'influence du désordre sur une population d'oscillateurs de taille finie et illustrent des problématiques observées dans la littérature physique. Nous prouvons dans le troisième chapitre un théorème central limite quenched associé à la loi des grands nombres précédente: on montre que le processus de fluctuations quenched converge, en un sens faible, vers la solution d'une EDPS linéaire. Le dernier chapitre étudie le comportement en temps long de cette EDPS, illustrant le fait que les fluctuations dans le modèle de Kuramoto ne sont pas auto-moyennantes.

Nos travaux ont été motivés par un problème pratique visant à étudier et à développer une méthode générale pour détecter les vaisseaux sanguins à partir de cinéangiographies. Il s'agit donc d'obtenir une bonne modélisation des vaisseaux, i.e. une caractér isation précise de leurs lignes centrales et de leurs diamètres. Une solution à cette problématique consiste à générer un espace multi-échelles qui grâce à ses différents niveaux de détails permet de traiter des artères de diamètres divers. Ces méthodes sont généralement mises en oeuvre en utilisant le formalisme des équations aux dérivées partielles (EDP) et celui de la géométrie différentielle. Les contributions de cette thèse sont multiples. Nous centrons tout d'abord nos travaux théoriques autour des traitements relatif s à la résolution des EDP en considérant ces traitements sous l'angle des méthodes itératives dites de recherche de point fixe. Ensuite, nous résolvons l'équation de la chaleur par une méthode de résolution à pas adaptatif originale, dite lambda-résolution. Ceci nous permet, en contrôlant la vitesse de convergence du processus, d'obtenir un filtre de diffusion isotrope, qui a la particularité de préserver les contours. Nous utilisons alors ce processus à des fins de débruitage et de segmentation d'images en niveaux de gris et couleur. Par ailleurs, nous introduisons une nouvelle EDP de rehaussement d'images, inspirée des filtres de choc et de la morphologie mathématique que nous couplons à l'analyse multi-échelles précédente de manière à obtenir un filtre de restauration d'images. Par la suite, la définition de courbures d'images vectorielles nous permet de proposer à la fois, une nouvelle {sc EDP} de lissage par courbure moyenne et une nouvelle méthode de détection des lignes centrales que nous appliquons sur des images couleur. Finalement, nous présentons une stratégie de détection multi-échelles des lignes centrales et des contours de l'arbre coronarien.

Nous nous intéressons dans cette thèse à l'étude de systèmes couplés fluide-structure. Ces systèmes peuvent modéliser l'écoulement du sang dans un vaisseau large. La vitesse et la pression du sang sont alors décrites par les équations de Navier-Stokes incompressibles et le déplacement de la partie mobile de la frontière vérifie une équation des poutres/ plaques (selon la dimension du modèle). Dans la première partie, nous montrons l'existence de solutions fortes à deux systèmes (correspondant à un paramètre nul ou non) en deux ou trois dimensions. Plus précisément, nous prouvons l'alternative suivante. Nous avons soit l'existence globale pour des conditions initiales petites, soit l'existence locale pour des conditions initiales quelconques. Dans une seconde partie, nous étudions d'une part la contrôlabilité à zéro d'un système couplant les équations de Navier-Stokes à une équation différentielle ordinaire pour des conditions initiales petites en deux dimensions. D'autre part, nous montrons la stabilisation (pour tout taux de décroissance) d'un système couplant les équations de Navier-Stokes et deux équations des plaques par deux contrôles dans le cadre périodique pour des conditions initiales petites. Dans ce cas, les contrôles sont de dimension finie.

Mes travaux de recherche portent sur la mécanique des fluides, et plus précisément sur les systèmes de particules, avec plusieurs domaines d'applications : le poumon (aérosol thérapie, pollution, régimes diffusifs), la formation d'opinion (sociophysique), et le couplage entre un fluide et une phase dispersée. La plupart de mes travaux s'appuient sur la théorie cinétique, où apparaissent des équations aux dérivées partielles cinétiques où l'inconnue est une fonction de distribution ayant pour variables non seulement le temps ou l'espace, mais aussi toute autre grandeur physique pertinente décrivant l'état des particules (vitesse, énergie, opinion, etc.).