Les données provenant de l'échantillonnage fin d'un processus continu (champ aléatoire) peuvent être représentées sous forme d'images. Un test statistique permettant de détecter une différence entre deux images peut être vu comme un ensemble de tests où chaque pixel est comparé au pixel correspondant de l'autre image. On utilise alors une méthode de contrôle de l'erreur de type I au niveau de l'ensemble de tests, comme la correction de Bonferroni ou le contrôle du taux de faux-positifs (FDR). Des méthodes d'analyse de données ont été développées en imagerie médicale, principalement par Keith Worsley, utilisant la géométrie des champs aléatoires afin de construire un test statistique global sur une image entière. Il s'agit d'utiliser l'espérance de la caractéristique d'Euler de l'ensemble d'excursion du champ aléatoire sous-jacent à l'échantillon au-delà d'un seuil donné, pour déterminer la probabilité que le champ aléatoire dépasse ce même seuil sous l'hypothèse nulle (inférence topologique). Nous exposons quelques notions portant sur les champs aléatoires, en particulier l'isotropie (la fonction de covariance entre deux points du champ dépend seulement de la distance qui les sépare). Nous discutons de deux méthodes pour l'analyse des champs anisotropes. La première consiste à déformer le champ puis à utiliser les volumes intrinsèques et les compacités de la caractéristique d'Euler. La seconde utilise plutôt les courbures de Lipschitz-Killing. Nous faisons ensuite une étude de niveau et de puissance de l'inférence topologique en comparaison avec la correction de Bonferroni. Finalement, nous utilisons l'inférence topologique pour décrire l'évolution du changement climatique sur le territoire du Québec entre 1991 et 2100, en utilisant des données de température simulées et publiées par l'Équipe Simulations climatiques d'Ouranos selon le modèle régional canadien du climat. / Data coming from a fine sampling of a continuous process (random field) can be represented as images. A statistical test aiming at detecting a difference between two images can be seen as a group of tests in which each pixel is compared to the corresponding pixel in the other image. We then use a method to control the type I error over all the tests, such as the Bonferroni correction or the control of the false discovery rate (FDR). Methods of data analysis have been developped in the field of medical imaging, mainly by Keith Worsley, using the geometry of random fields in order to build a global statistical test over the whole image. The expected Euler characteristic of the excursion set of the random field underlying the sample over a given threshold is used in order to determine the probability that the random field exceeds this same threshold under the null hypothesis (topological inference). We present some notions relevant to random fields, in particular isotropy (the covariance function between two given points of a field depends only on the distance between them). We discuss two methods for the analysis of non\-isotropic random fields. The first one consists in deforming the field and then using the intrinsic volumes and the Euler characteristic densities. The second one uses the Lipschitz-Killing curvatures. We then perform a study of sensitivity and power of the topological inference technique comparing it to the Bonferonni correction. Finally, we use topological inference in order to describe the evolution of climate change over Quebec territory between 1991 and 2100 using temperature data simulated and published by the Climate Simulation Team at Ouranos, with the Canadian Regional Climate Model CRCM4.2.

Made available in DSpace on 2015-03-03T15:36:13Z (GMT). No. of bitstreams: 1 OdilonJS_DISSERT.pdf: 1624865 bytes, checksum: f08c3087f93d38a7f0eca20c25b43940 (MD5) Previous issue date: 2014-03-31 / Coordena??o de Aperfei?oamento de Pessoal de N?vel Superior / In this paper we analyze the Euler Relation generally using as a means to visualize the fundamental idea presented manipulation of concrete materials, so that there is greater ease of understanding of the content, expanding learning for secondary students and even fundamental. The study is an introduction to the topic and leads the reader to understand that the notorious Euler Relation if inadequately presented, is not sufficient to establish the existence of a polyhedron. For analyzing some examples, the text inserts the idea of doubt, showing cases where it is not fit enough numbers to validate the Euler Relation. The research also highlights a theorem certainly unfamiliar to many students and teachers to research the polyhedra, presenting some very simple inequalities relating the amounts of edges, vertices and faces of any convex polyhedron, which clearly specifies the conditions and sufficient necessary for us to see, without the need of viewing the existence of the solid screen. And so we can see various polyhedra and facilitate understanding of what we are exposed, we will use Geogebra, dynamic application that combines mathematical concepts of algebra and geometry and can be found through the link http://www.geogebra.org / Neste trabalho, analisamos a Rela??o de Euler de uma maneira geral, utilizando, como meios de visualiza??o, a manipula??o de materiais concretos, a fifim de que haja maior facilidade na percep??o do conte?do, expandindo a aprendizagem aos alunos de n?vel m?dio e at? fundamental. O estudo faz uma introdu??o ao tema e leva o leitor a entender que a Rela??o de Euler, se apresentada de maneira inadequada, n?o ? sufificiente para determinar a exist?ncia de um poliedro. Pois, analisando alguns exemplos, o texto insere a id?ia de d?vida, mostrando casos onde n?o ? sufificiente encaixar n?meros que validem a Rela??o de Euler. A pesquisa destaca ainda um teorema, certamente desconhecido de muitos alunos e professores que pesquisam sobre os poliedros, apresentando algumas inequa??es muito simples, relacionando as quantidades de arestas, v?rtices e faces de qualquer poliedro convexo, as quais definem de forma precisa as condi??es sufificientes e necess?rias para que possamos constatar, sem a necessidade da visualiza??o, a exist?ncia do s?lido em tela. E para que possamos visualizar v?rios poliedros e facilitar a compreens?o do que estamos expondo, utilizaremos o Geogebra, aplicativo de matematica din?mica que combina conceitos de geometria e alg?bra e pode ser encontrado por meio do link http://www.geogebra.org

Suite aux travaux de Zbigniew Szafraniec et Nicolas Dutertre, je me suis intéressée aux calculs de caractéristiques d'Euler de certains espaces semi-algébriques. En particulier, ceux de laforme : $ {(-1)^{varepsilon_1} G_1geq 0 }cap...cap{(-1)^{varepsilon_l} G_lgeq 0}cap W$, où $epsilon=(epsilon_1,...,epsilon_l)in{0,1}^l$, $G=(G_1,...,G_l):R^nrightarrowR^l$ polynomiale et $W:=F^{-1}(0)subsetR^n$ où $F:R^nrightarrowR^k$ et $k+lleq n$. Une fois le cas lisse traité, on intersecte ces ensembles avec ${ fgeq 0}$ ou ${ fleq 0}$, où $f$ est polynomiale telle que $f^{-1}(0)$ admette un nombre fini de singularités. J'énonce alors un théorème reliant ces caractéristiques au degré d'applications faisant intervenir les fonctions $f$, $F$ et $G$. Pour finir, on s'intéresse au cas où l'ensemble $W$ possède un lieu critique compact.Dans une autre partie, je travaille sur l'indice radial, indice défini sur des variétés singulières. J'énonce un résultat faisant le lien entre l'indice radial d'un champ de vecteurs V en une singularité avec l'indice radial de son opposé -V. Finalement, je relie l'indice radial à un indice d'intersection. / After the works of Zbigniew Szafraniec and Nicolas Dutertre, we are interested in computing Euler characteristics of some particular semialgebraic sets. In particular, the ones of the form : $ {(-1)^{varepsilon_1} G_1geq 0 }cap...cap{(-1)^{varepsilon_l} G_lgeq 0}cap W$, where $varepsilon=(varepsilon_1,...,varepsilon_l)in{0,1}^l$, $G=(G_1,...,G_l):R^nrightarrowR^l$ polynomial and $W:=F^{-1}(0)subsetR^n$ where $F:R^nrightarrowR^k$ and $k+lleq n$. Once the smooth case is treated, we intersect these sets with ${ fgeq 0}$ or ${ fleq 0}$, where $f$ is polynomial such that $f^{-1}(0)$ contains a finite number of singularities. Then we state a theorem that makes a link between these caracteristics and some degrees of mappings involving the functions $f$, $F$ and $G$. Finally, we study the case where $W$ has a compact singular set.In another part, I work with the radial index, an index defined for singular manifolds. I have a result making a link between the radial index of a vector field V and its opposite -V at a singularity. Finally, I relate that radial index to an intersection index.

Dans cette thèse, nous étudions le volume et la caractéristique d'Euler de sous-variétés aléatoires de codimension r ∈ {1, . . . , n} dans une variété ambiante M de dimension n. Dans un premier modèle, dit des ondes riemanniennes aléatoires, M est une variété riemannienne fermée. Nous considérons alors le lieu Zλ des zéros communs de r combinaisons linéaires aléatoires indépendantes de fonctions propres du laplacien associées à des valeurs propres inférieures à λ 0. Nous obtenons alors les asymptotiques du volume moyen et de la caractéristique d'Euler moyenne de Zλ lorsque λ tend vers l'infini. Dans un second modèle, M est le lieu réel d'une variété projective définie sur les réels. On s'intéresse dans ce cadre au lieu d'annulation réel Zd d'une section holomorphe réelle globale aléatoire de E⊗Ld, où E est un fibré hermitien de rang r, L est un fibré en droites hermitien ample et tous deux sont définis sur les réels. Nous estimons alors les moyennes du volume et de la caractéristique d'Euler de Zd quand d tend vers l'infini. Dans ce modèle algébrique réel, nous calculons aussi l'asymptotique de la variance du volume de Zd pour 1 r < n. Nous en déduisons, dans ce cas, des résultats asymptotiques d'équidistribution de Zd dans M / We study the volume and Euler characteristic of codimension r ∈ {1, . . . , n} random submanifolds in a dimension n manifold M. First, we consider Riemannian random waves. That is M is a closed Riemannian manifold and we study the common zero set Zλ of r independent random linear combinations of eigenfunctions of the Laplacian associated to eigenvalues smaller than λ 0. We compute estimates for the mean volume and Euler characteristic of Zλ as λ goes to infinity. We also consider a model of random real algebraic manifolds. In this setting, M is the real locus of a projective manifold defined over the reals. Then, we consider the real vanishing locus Zd of a random real global holomorphic section of E ⊗ Ld, where E is a rank r Hermitian vector bundle, L is an ample Hermitian line bundle and both these bundles are defined over the reals. We compute the asymptotics of the mean volume and Euler characteristic of Zd as d goes to infinity. In this real algebraic setting, we also compute the asymptotic of the variance of the volume of Zd, when 1 r < n. In this case, we prove asympotic equidistribution results for Zd in M