Le but de cette thèse est l'établissement de formulations discontinues de Galerkin pour trois problèmes dérivant des équations de Maxwell.<br />En outre nous présentons de nouvelles inégalités de type Poincré Friedrichs et un couplage entre une méthode discontinue de Galerkin et une méthode intégrale de frontière.

Les méthodes intégrales pour résoudre des EDP, et en particulier le système de Maxwell, sont bien connues depuis environ vingt ans. Après discrétisation par éléments finis, un système linéaire plein apparaît, ce qui rend toute implémentation numérique difficile voire impossible. Pour les opérateurs d'ordre positif, quelques travaux ont été menés avec succès pour rendre creuse la matrice du système discret. Quelques difficultés restaient pour le problème de Maxwell: espace(s) d'énergie, présence d'un opérateur d'ordre négatif, et donc choix des ondelettes pour la résolution. Dans cette thèse, je donne une méthode pour ramener le système de Maxwell, issu d'un problème de diffraction en régime harmonique, à une étude sur des espaces de Sobolev classiques définis sur une surface, en utilisant des décompositions de Hodge. Je donne aussi une méthode de compression pourvu que les ondelettes vérifient certaines conditions (moments nuls, stabilité). La méthode de compression donnée fonctionne même avec des ondelettes formées à partir de polynômes de degré un, malgré la présence d'un opérateur d'ordre négatif, sans perturber des taux de convergence optimaux. L'analyse a été faite sur une surface fermée (sans bord) régulière simplement connexe, puis sur une partie à bord polygonal d'une telle surface (plaque ouverte). Les espaces fonctionnels et la compression de matrice, bien plus compliqués dans ce dernier cas, ont été étudiés en détail.

La présence d'objets métalliques en Imagerie par Résonance Magnétique provoque des dysfonctionnements qui peuvent se manifester par des artefacts, des échauffements, ... Dans le présent travail, on construit et étudie des modèles mettant en évidence le phénomène d'échauffement.<br /><br />Dans la première partie, on étudie l'antenne cage d'oiseau. On montre que les pulsations de résonance sont les valeurs propres d'un problème aux valeurs propres généralisé et on développe une méthode de calcul efficace de celles-ci. On étudie ensuite les propriétés du champ radiofréquence à l'aide de simulations numériques : mouvement de rotation en tout point et homogénéité au centre de l'antenne.<br /><br />Dans la deuxième partie, on modélise le problème magnétique associé à l'IRM par les équations de Maxwell avec le champ radiofréquence comme condition aux limites. On montre que ce problème est bien posé en dimension 3 et qu'il est équivalent à une série de problèmes axisymétriques bidimensionnels découplés. Des calculs numériques sont effectués sur les problèmes axisymétriques, qui confirment les résultats théoriques obtenus.

La modélisation de dispositifs tels que les tubes à décharge ou les diodes à vide soumises à un potentiel harmonique repose sur les équations de Vlasov-Maxwell ou de Vlasov-Poisson en régime périodique. Des résultats dans le cas périodique semblent inexistants. D'autre part, ces régimes sont très difficilement atteints lors de simulations numériques. Le but de ce travail a été d'étudier théoriquement et numériquement les régimes périodiques en transport de particules chargées soumises au champ électro-magnétique. Dans un premiers temps nous présenterons les équations de Maxwell sous forme conservative ainsi que le caractère hyperbolique de ce système. Le deuxième chapitre traite de l'approximation numérique utilisée pour la résolution du système de Maxwell. Il s'agit d'un schéma explicite de type volumes finis centrés aux noeuds. Après une étude de stabilité du schéma de discrétisation en espace (le beta-gama schéma), nous nous sommes intéressés au couplage des équations de Vlasov et de Maxwell. Nous montrons des résultats d'existence et d'unicité pour la solution faible périodique dans une ou plusieurs dimensions de l'espace. Ensuite nous avons proposé une nouvel méthode (MAL) pour la résolution numérique des équations différentielles avec des termes source périodiques afin d'accélérer la convergence vers les régimes périodiques. Après une partie consacré à une étude théorique sur un modèle simplifié ID, cette méthode a été étendue au système de Vlasov-Maxwell. Nous montrons l'efficacité d'une telle méthode à travers les nombreux cas test présentés.

Les travaux effectués durant cette thèse s’inscrivent dans le cadre d’une collaboration entre l’équipe CEM de l’Institut Pascal et l’équipe EDPAN du Laboratoire de Mathématiques de l’Université Blaise Pascal de Clermont-Ferrand. Nous présentons ici une étude qui, partant de l’analyse du processus de Retournement Temporel en électromagnétisme, a débouché sur le développement d’une méthode originale baptisée Linear Combination of Configuration Fields (LCCF) ou, en français, Combinaison Linéaire de Configurations de Champs. Après avoir introduit l’ensemble des outils et méthodes utilisés dans ces travaux, ce mémoire détaille le processus de Retournement Temporel de base ainsi qu’un ajout apporté à celui-ci. Par la suite, la méthode LCCF s’étant révélée applicable à plusieurs problèmes d’identification de sources en électromagnétisme, nous nous consacrons à la présentation détaillée des différentes variantes de celle-ci et nous illustrons son utilisation sur de nombreux exemples numériques. / This Ph.D thesis is the result of a collaboration between the CEM team of Pascal Institute and the EDPAN team of the Laboratory of Mathematics of the Blaise Pascal University in Clermont-Ferrand. We present here a study based on Time Reversal process in Electromagnetics. This work led to the development of a novel method called Linear Combination of Configuration Field (LCCF). This thesis first introduces the tools and the numerical methods used during this work. Then, we describe the Time Reversal process and a possible improvement to the basic technic. Afterwards, several possible applications of the LCCF method to electromagnetic source identification problems are detailed and we illustrate each of it on various numerical examples.

Dans cette thèse, nous nous intéressons à l’amélioration des performances numériques dela méthode Galerkin Discontinu en Domaine Temporel (GDDT), afin de valoriser son emploi industrielpour des problèmes de propagation d’ondes électromagnétiques. Pour ce faire, nous cherchons à réduire lenombre d’éléments des maillages utilisés en appliquant une stratégie de h-déraffinement/p-enrichissement.Dans un premier temps, nous montrons que si ce type de stratégie permet d’améliorer significativementl’efficacité numérique des résolutions dans un cadre conforme, son extension aux maillages non-conformespeut s’accompagner de contre-performances rédhibitoires limitant fortement leur intérêt pratique. Aprèsavoir identifié que ces dernières sont causées par le traitement des termes de flux non-conformes, nousproposons une méthode originale de condensation afin de retrouver des performances avantageuses. Cellecise base sur une redéfinition des flux non-conformes à partir d’un opérateur de reconstruction de traces,permettant de recréer une conformité d’espaces, et d’un produit scalaire condensé, assurant un calculapproché efficace. La stabilité et la consistance du schéma GDDT ainsi défini sont établies sous certainesconditions portant sur ces deux quantités. Dans un deuxième temps, nous détaillons la construction desopérateurs de trace et des produits scalaires associés. Nous proposons alors des flux condensés pourplusieurs configurations non-conformes, et validons numériquement la convergence du schéma GDDT résultant.Puis, nous cherchons à concevoir un algorithme de h-déraffinement/p-enrichissement automatisé,dans le but de générer des maillages hp minimisant les coûts de calcul du schéma. Ce processus est traduitsous la forme d’un problème d’optimisation combinatoire sous plusieurs contraintes de natures trèsdiverses. Nous présentons alors un algorithme de post-maillage basé sur un parcours efficace de l’arbrede recherche des configurations admissibles, associé à un processus de déraffinement hiérarchique. Enfin,nous mettons en œuvre la chaîne de calcul développée sur plusieurs cas-tests d’intérêt industriel, etévaluons son apport en termes de performances numériques. / This thesis is devoted to improving the numerical efficiency of the Discontinuous Galerkinin Time Domain (DGDT) method, in order to enhance its suitability for industrial use. One can noticethat, in an hp-conforming context, increasing correlatively the approximation order and the mesh sizeis a powerful strategy to reduce numerical costs. However, in complex geometries, the mesh can beconstrainted by the presence of small-scale inner elements, leading to hp-nonconforming configurationswith hanging nodes. The first issue we are dealing with is related to the nonconforming fluxes involvedin these configurations, whose high computational costs can deter the use of hp-coarsening strategies.In order to recover a satisfactory performance level, an original flux-lumping technique is set up. Thistechnique relies on recasting hybrid fluxes into conforming ones, and is performed by introducing twoingredients : a reconstruction operator designed to map traces from each side of a nonconforming interfaceinto the same functional space, and a lumped scalar product granting efficient integral computations.The resulting DGTD scheme is then proved to be stable and consistent, under some assumptions on thelatter two elements. Subsequently, we develop a lumped flux construction routine, and show numericalconvergence results on basic hybrid configurations. In a second part, we implement an automated strategyaiming at generating efficient hp-nonconforming meshes, well-suited to the previous DGDT scheme. To doso, a post-meshing process is formalized into a constrained optimization problem. We then put forward aheuristic hp-coarsening algorithm, based on a hierarchical coarsening approach coupled with an efficientsearch over the feasible configuration tree. Lastly, we present several numerical examples related toelectromagnetic wave propagation problems, and evaluate computational cost improvements.

Les equations de Maxwell se resolvent aisement lorsque le domaine d'etude est regulier, mais lorsqu'il existe des singularites geometriques (coins rentrants en 2D, coins et aretes rentrants en 3D), le champ electromagnetique est localement non borne au voisinage de ces singularites. Nous nous interessons a la resolution des equations de Maxwell dans des domaines bornes, singuliers, a l'aide de methodes d'elements finis continus. En pratique, cela permet de modeliser des instruments de telecommunication comme les guides d'onde, les filtres a stubs. Nous analysons tout d'abord le probleme quasi-electrostatique 2D, afin de maitriser la discretisation en espace. Nous presentons trois methodes de calcul (formulations augmentees mixtes) qui donnent des resultats numeriques tres convaincants : - Une version epuree de la methode du complement singulier (conditions aux limites essentielles). - La methode de regularisation a poids : on introduit un poids qui depend des distances aux singularites geometriques (conditions aux limites essentielles). - La methode avec conditions aux limites naturelles. Nous etudions ensuite la generalisation de ces methodes aux domaines 3D. Nous detaillons la resolution des equations de Maxwell instationnaires en domaines singuliers 3D par la methode de regularisation a poids, et nous donnons des resultats numeriques inedits.

Dans la première partie de cette thèse, nous avons considéré les équations de Maxwell en temps et construit une formulation discontinue de Galerkin (DG). On a montré que cette formulation est bien posée et ensuite on a établi des estimateurs a priori pour cette formulation. On a obtenu des résultats numériques pour valider les estimateurs a priori obtenus théoriquement. Dans la deuxième partie de cette thèse, des estimateurs d'erreur a posteriori de cette formulation sont établis, pour le cas semi-discret et pour le système complètement discrétisé. Dans la troisième partie de cette thèse, on considére les équations de Maxwell en régime harmonique. On a développé une formulation discontinue de Galerkin mixte. On a établi des estimations d'erreur a posteriori pour cette formulation. / In the first part of this thesis, we have considered the time-dependent Maxwell's equations in second-order form and constructed discontinuous Galerkin (DG) formulation. We have established a priori error estimates for this formulation and carried out the numerical analysis to confirm our theoretical results. In the second part of this thesis, we have established a posteriori error estimates of this formulation for both semi discrete and fully discrete case. In the third part of the thesis we have considered the time-harmonic Maxwell's equations and we have developed mixed discontinuous Galerkin formulation. We showed the well posedness of this formulation and have established a posteriori error estimates.

Le travail de thèse s’inscrit dans le cadre du projet TRAX. Il s’agit là du développement de moteurs électriques destinés à la traction des petits véhicules électriques urbains. Les caractéristiques clés d’une machine électrique pour une application de traction sont le couple, le rendement, la fiabilité, l’encombrement et la plage de vitesse à puissance maximale (dé-fluxage). Les machines électriques à aimants permanents répondent à ces exigences. C’est pourquoi ce travail de thèse s’est intéressé à l’étude des performances de machines à aimants permanents en proposant une étude comparative. Un état de l’art basé sur l’étude des brevets des machines électriques dans les applications automobiles est réalisé. Une description des dernières avancées des moteurs électriques principalement des structures à aimants permanents est fournit. Nous avons modélisé une première machine avec une méthode ana-lytique simplifiée basée sur la résolution des équations de Maxwell en 2D. Cette méthode est confrontée à une méthode numérique. Trois nouvelles machines sont définies à partir de la première en modifiant la configuration du rotor. La comparaison de quatre structures à aimants permanents est réalisée par des modèles numériques. Les performances à vide et en charge ainsi que le calcul des inductances dans l’axe direct et en quadrature sont évaluées. Les résultats théoriques sont comparés aux essais expérimentaux. / The thesis is part of the TRAX project. It deals with development of electric motors used for traction of small urban electric vehicles. The key characteristics of an electric machine for traction application are the torque, efficiency, reliability, size and flux-weakening. The permanents magnets electric machines meet these requirements. That’s why this thesis takes interest in the performances of permanents magnets machines by proposing a comparative study. A study of patents for electrical machines in automotive applications is realized. A description of the latest advances in electrical motors, mainly in permanent magnet structures, is provided. We started to model a first machine with a simplified analytical method based on the resolution of Maxwell's equations in 2D. This method is compared with a numerical method. Three new machines are defined from the first one by changing the configuration of the rotor. The comparison of four structures with permanent magnets is realized by numerical models. No load and load performances, as well as the calculation of inductances in the direct and quadrature axis, are evaluated. The theoretical results are compared with experimental tests.

Cette thèse est essentiellement composée de deux parties. Dans la première partie, on étudie le système d'Euler-Maxwell. En utilisant la méthode d'intégration de l'énergie classique, on montre l'existence et l'unicité de solutions régulières du système avec données initiales petites. Ensuite, on étudie la limite de relaxation en montrant que, le sytème d'Euler-Maxwell converge vers les équations de dérive-diffusion quand le temps de relaxation tend vers zéro. Dans la deuxième partie, on cherche la contrôlabilité et l'observabilité exactes frontières de systèmes hyperboliques quasi-linéaires dans un réseau du type d'arbre. On établit des résultats d'existences de la contrôlabilité et l'observabilité par des méthodes constructives qui sont basées sur la théorie de la solution C1 semi-globale du système hyperbolique quasi-linéaire du premier ordre avec conditions initiales et frontières. Ensuite, on trouve des dualités de la contrôlabilité et l'observabilité.