Les nouveaux programmes des lycées français, mis en place depuis la rentrée 2010, ont fixé des objectifs précis en matière d’algorithmique. A la lecture de ces programmes, l’enseignement de l’algorithmique apparaît comme outil (au sens de Douady, 1986) pour donner sens à un certain nombre de notions étudiées. Comment dépasser ce stade pour que l’algorithmique devienne objet d’apprentissage (au sens de Douady, 1986) ? Le travail de recherche se situe dans le cadre d’apprentissages de connaissances sur les algorithmes en mathématiques dans l’enseignement au niveau des classes de Seconde et du Cycle Terminal Scientifique du lycée. L’étude et la construction d’algorithmes par les élèves sont situées dans un cadre plus général de raisonnement et de preuve, mais aussi de démarches de modélisation en mathématiques. Il s’agit d’étudier l’effectivité de tels enseignements dans le cadre institutionnel français du point de vue des apprentissages effectivement réalisés par les élèves et des pratiques des enseignants, et d’en inférer des résultats plus généraux sur le raisonnement mathématique dans certains domaines spécifiques, pour les classes du lycée. Le travail de recherche entrepris privilégie la place occupée par les algorithmes dans l’enseignement des mathématiques et propose un cadre théorique tenant compte des cadres généraux de la didactique des mathématiques, en particulier les Espaces de Travail Mathématique (ETM) (Kuzniak, Richard, 2014) associés à des domaines mathématiques spécifiques. Plus particulièrement, poursuivant la spécification d’un modèle Espaces de Travail Algorithmique (ETA) (Laval, 2014, 2016), nous précisons ce que peuvent être les plans épistémologique et cognitif dans ces espaces en mettant l’accent sur leurs interactions liées aux genèses sémiotique, instrumentale et discursive auxquelles ces plans donnent lieu. Nous étudions aussi quels espaces personnels peuvent se construire chez les élèves des différents niveaux scolaires du lycée, et comment ils articulent des connaissances sur les algorithmes et les domaines mathématiques scolaires. Les modèles des ETM/ETA sont consacrés à l’analyse du travail mathématique dans des domaines mathématiques spécifiques avec, en particulier, des paradigmes guidant et orientant le travail des élèves. De plus, partant du fait que peu d’études sur des tâches de modélisation ont été basées sur les modèles ETM/ETA, nous affinons certaines de nos analyses dans le cadre des ETM/ETA sur la base du cycle de modélisation proposé par Blum et Leiss (2005) en relation avec certains domaines spécifiques des mathématiques. Pour cela, nous construisons plusieurs ingénieries didactiques mettant en place des expérimentations dans trois domaines mathématiques : (1) la théorie élémentaire des nombres ; (2) l’analyse ; (3) les probabilités et les simulations aléatoires. Ces ingénieries sont expérimentées et analysées dans les trois niveaux du lycée français : seconde et cycle terminal scientifique. Notre travail de recherche comporte des outils d’analyse de tâches et d’activités dans différents domaines mathématiques. La méthodologie employée permet d’obtenir des données globales et d’observer finement les activités des élèves en classe et les pratiques des enseignants / The new programs of French High schools, since 2010, precise objectives in terms of algorithmics. According to High schools curricula, algorithmics teaching appears as a tool (in the sense of Douady, 1986) to give meaning to some studied notions. How to go beyond this level so that algorithmic becomes an object of learning (in the sense of Douady, 1986)? This research work is in the framework of learning of mathematical knowledge in algorithmics at the level of Grade 10 and Scientific Terminal Cycle (Grades 11 and 12) of the French high school. The study and construction of algorithms by students are located in a more general framework of reasoning and proof, but also mathematical modelling. We build three didactic engineerings in High school to study the work of student and to watch teacher’s practices. Our aim is to infer more general results on mathematical reasoning in some specific mathematical domains.The research work favours algorithms’ place in mathematics teaching. We propose a theoretical framework taking into account the general frameworks of mathematics didactics, in particular the Mathematical Working Spaces (MWS) (Kuzniak, Richard, 2014) associated with specific mathematical domains.Following the specification of an Algorithmics Working Spaces (AWS) (Laval, 2014, 2016) we specify the possibilities of the epistemological and cognitive plans inside of these spaces increasing their interactions with their semiotician, instrumental and discursive geneses. We also study which personal spaces can be built for students at different levels of High school system, and how they articulate knowledge about algorithms and school mathematical domains. The models of MWS/AWS aim at analysing of mathematical work in specific mathematical domains, with in particular, paradigms guiding and directing the work of the student.Moreover, since few studies of modelling tasks have been built on MWS/AWS models, we refined some our analyses in the framework MWS/AWS basing on the modelling cycle proposed by Blum & Leiss (2005) in relation to some specific mathematical domains.We build several didactic engineerings that we experimented in various mathematical domains: (1) elementary number theory; (2) mathematical analysis; (3) probabilities and random simulations. These didactic engineerings are experimented and analysed in various French High school's grade: Grade 10 and Scientific Terminal Cycle (Grades 11 and 12). Our research work includes tools for analysing tasks and activities in different mathematical domains. The methodology obtains aggregated global data and finely observes students' activities in classroom and teacher’s practices

À la fin des années quatre-vingts, Vladimir G. Berkovich a introduit une notion d'espace analytique sur tout anneau de Banach. Nous nous proposons, dans cette thèse, d'etudier le cas particulier où l'anneau de Banach considéré est l'anneau des entiers Z ou, plus généralement, un anneau d'entiers de corps de nombres. <br /><br />La majeure partie de notre travail est consacrée à la droite analytique. Elle jouit de propriétés semblables à celles des espaces analytiques complexes d'un point de vue topologique, mais également algébrique, son faisceau structural étant cohérent. En outre, en termes cohomologiques, ses disques se comportent comme des espaces de Stein.<br /><br />Pour finir, nous exposons quelques applications des résultats géométriques énoncés auparavant. Nous obtenons ainsi quelques propriétés de classes de fonctions particulières, telles les fonctions holomorphes sur un disque contenu dans C et dont le développement en un point est à coefficients entiers.

Cette thèse est un travail en mathématiques appliquées. Elle aborde quelques problèmes en analyse d'images et utilise des outils mathématiques spécifiques.<br /><br />L'objectif des deux premières parties de cette thèse <br /> est de proposer un modèle pour décomposer une image f en trois composantes : f=u+v+w.<br />La première composante, u, contient l'information géométrique. On peut la considérer comme une esquisse de l'image originale f.<br />La seconde composante, v, contient l'information texture.<br />La troisième composante, w, contient le bruit présent dans l'image originale.<br />Notre approche repose sur l'utilisation d'espaces mathématiques <br />adaptés à chaque composante: l'espace BV des fonctions à variations bornées pour u, un espace G proche du dual de BV pour les textures, et un espace de Besov d'exposant négatif E pour le bruit.<br />Nous effectuons l'étude mathématique complète des différents modèles que nous proposons.<br />Nous illustrons notre approche par de nombreux exemples, et donnons deux applications concrètes : une première en restauration d'images RSO, et une seconde en compression d'images.<br /><br /><br />Dans la troisième et dernière partie de cette thèse, nous nous intéressons <br />spécifiquement à la composante texturée.<br />Nous proposons un algorithme de classification supervisée pour les images texturées. L'approche utilisée est basée sur l'utilisation de la méthode des contours actifs et d'un terme d'attache aux donnés spécifiques au textures. Ce dernier est construit à partir d'une transformée en paquets d'ondelettes. Nous obtenons ainsi une fonctionnelle, dont le minimum correspond à la classification cherchée. Nous résolvons numériquement ce problème à l'aide d'un système couplé d'EDP que nous plongeons dans un schéma dynamique. Nous illustrons notre démarche par de nombreux exemples numériques. Nous effectuons également l'étude théorique de la fonctionnelle de classification.

L'étude des fonctions de deux variables et des opérateurs intégraux associés, ou l'étude directe des noyaux au sens de L. Schwartz (définis comme opérateurs faiblement continus du dual topologique d'un espace vectoriel localement convexe dans lui même), est depuis plus d'un demi-siècle une branche des mathématiques en pleine expansion notamment dans le domaine des distributions, des équations différentielles ou dans le domaine des probabilités avec l'étude des mesures gaussiennes et<br />des processus gaussiens.<br /><br />Les travaux de Moore, Bergman et Aronszajn ont notamment abouti au résultat fondamental suivant qui concerne les noyaux positifs : il est toujours possible de construire un sous-espace préhilbertien à partir d'un noyau positif et, moyennant quelques hypothèses (faibles) supplémentaires, de compléter fonctionnellement cet espace afin d'obtenir alors un espace de Hilbert. Cet espace possède alors la propriété d'être continûment inclus dans l'espace vectoriel localement convexe de départ.<br />Il existe donc une relation forte entre noyaux positifs et espaces hilbertiens. Dans cette thèse, nous nous sommes posés le problème suivant : que se passe t'il si l'on lève l'hypothèse<br />de positivité ? D'hermicité ?<br /><br />Dans cette perspective nous considérons une seconde approche qui consiste à travailler directement sur des espaces vectoriels plutôt que sur les noyaux.<br />Précisément, adoptant une démarche classique en mathématiques, nous étudions les propriétés d'une classe d'espaces vérifiant des hypothèses additionnelles. Partant des espaces de Hilbert continûment inclus dans un espace localement convexe donné, cette approche a conduit aux espaces de Hilbert à noyau reproduisant de N. Aronszajn puis aux sous-espaces hilbertiens de L. Schwartz. Cette théorie est présentée dans la première partie de la thèse, le résultat majeur de cette théorie étant sans doute l'équivalence entre sous-espaces hilbertiens<br />et noyaux positifs, résumé par la phrase suivante :<br /><br />``Il existe une bijection entre sous-espaces hibertiens et noyaux positifs.''<br /><br />Le principal apport à la théorie existante est l'utilisation intensive de systèmes en dualité et de formes bilinéaires (et pas uniquement sesquilinéaires). De manière surprenante,<br />cela conduit à une certaine perte de symétrie qui porte les germes de la théorie des sous-dualités.<br /><br />Dans une seconde partie nous suivons encore les travaux de L. Schwartz et étudions la théorie moins connue des sous-espaces de Krein (ou sous-espaces hermitiens).<br />Les espaces de Krein ressemblent aux espaces de Hilbert mais sont munis d'un produit scalaire qui n'est plus nécessairement positif. Les sous-espaces de Krein constituent donc une première généralisation des sous-espaces hilbertiens. Un des principaux intérêt de l'étude de tels espaces réside en la disparition de l'équivalence fondamentale entre les notions de sous-espaces et de noyaux, même si une relation étroite subsiste. Nous étudions plus particulièrement les similitudes et les différences entre ces deux différentes théories, que nous retrouverons dans la théorie des sous-dualités.<br /><br />La troisième partie généralise la perte de symétrie évoquée dans le chapitre 1. Nous développons les bases d'une théorie non plus basée sur une structure hilbertienne, mais sur une certaine dualité.<br />Nous développons ainsi le concept de sous-dualité d'un espace vectoriel localement convexe (ou d'un système dual) et de son noyau associé.<br />Une sous-dualité est définie par un système de deux espaces en dualité vérifiant des conditions d'inclusion algébrique ou<br />topologique. Plus précisément :<br />un système dual $(E,F)$ est une sous-dualité d'un espace localement convexe $\cE$ (ou plus généralement d'un système dual $(\cE,\cF)$) si $E$ et $F$ sont faiblement continûment inclus dans $\cE$.<br />Dans ce cas, il est possible d'associer à cette sous-dualité un unique noyau d'image dense dans la sous-dualité. Nous étudions également l'effet d'une application linéaire faiblement continue. Il devient alors possible (moyennant une relation d'équivalence) de munir l'ensemble des sous-dualités d'une structure d'espace vectoriel qui le rend isomorphe algébriquement à l'espace vectoriels des noyaux. Nous exhibons ensuite un représentant canonique de ces classes d'équivalences, ce qui permet d'établir une bijection entre sous-dualités canoniques et noyaux.<br /><br />Une quatrième et dernière partie propose quelques applications. Le premier champ d'application possible est une généralisation du lien entre sous-espaces hilbertiens et mesures gaussiennes. Le second est l'étude d'opérateurs particuliers, les opérateurs dans les sous-dualités d'évaluation (sous-dualités de $\KK^(\Omega)$) et les opérateurs différentiels.

Cette thèse présente quelques résultats de la théorie des probabilités quantiques et de l'analyse harmonique à valeurs operateurs. La thèse est composée des trois parties.Dans la première partie, on démontre la décomposition atomique des espaces de Hardy de martingales non commutatives. On identifie aussi les interpolés complexes et réels entre les versions conditionnelles des espaces de Hardy et BMO de martingales non commutatives.La seconde partie est consacrée à l'étude des espaces de Hardy à valeurs opérateursvia la méthode d'ondellettes. Cette approche est similaire à celle du cas des martingales non commutatives. On démontre que ces espaces de Hardy sont équivalents à ceux étudiés par Tao Mei. Par conséquent, on donne une base explicite complètement inconditionnelle pour l'espace de Hardy H1(R), muni d'une structure d'espace d'opérateurs naturelle. La troisième partie porte sur l'analyse harmonique sur le tore quantique. On établit les inégalités maximales pour diverses moyennes de sommation des séries de Fourier définies sur le tore quantique et obtient les théorèmes de convergence ponctuelle correspondant. En particulier, on obtient un analogue non commutative du théorème classique de Stein sur les moyennes de Bochner-Riesz. Ensuite, on démontre que les multiplicateurs de Fourier complètement bornés sur le tore quantique coïncident à ceux définis sur le tore classique. Finalement, on présente la théorie des espaces de Hardy et montre que ces espaces possèdent les propriétés des espaces de Hardy usuels. En particulier, on établit la dualité entre H1 et BMO.

On étudie des variétés presque hermitiennes de dimension 6 qui admettent une réduction supplémentaire à SU(3), induite par la partie de type (3,0) de la différentielle de la forme de Kähler dω. On se sert du fait constaté par Hitchin qu'une 2-forme ω et une 3-forme ψ, d'un certain type algébrique, sont suffisantes pour définir une structure SU(3) sur une variété de dimension 6, ainsi que du fait démontré par Chiossi, Salamon que les différentielles de ω, ψ mais aussi de φ, le dual de Hodge de ψ, déterminent le 1-jet de cette structure SU(3) en tout point. L'exemple privilégié de cette situation, où la réduction est globale, est celui des variétés « nearly Kähler » non kähleriennes en dimension 6, appelées par nous variétés de Gray. On classifie les variétés de Gray homogènes ce qui permet de résoudre une ancienne conjecture de Gray et Wolf : toutes les variétés strictement « nearly Kähler » homogènes sont des espaces 3-symétriques. Un autre résultat concerne une sous-variété naturelle de l'espace de twisteurs d'une variété presque hermitienne. Cet « espace de twisteurs réduit » est muni d'une structure presque complexe naturelle qu'on montre n'être intégrable que si la variété est localement conforme à une variété kählerienne, Bochner-plate ou à la sphère S6. En passant, on montre que les variétés de type W1+W4 dans la classification de Gray, Hervella (où W1 est la classe des variétés « nearly-Kähler » et W4 la classe des variétés localement conformément kähleriennes) sont localement conformes à des variétés nearly-Kähler, en dimension 6.

Thèse de doctorat : Mathématiques : Nice : 2004. / Thèse préparée à l'Inria Sophia Antipolis, projet Ariana. Bibliogr. p. 261-269.

Ce mémoire porte sur l'étude des surfaces minimales et de courbure moyenne constante dans les espaces homogènes de dimension 3. Nous établissons les formules de Sym-Bobenko pour les surfaces de courbure moyenne constante 1/2 de H^2xR et minimales du groupe de Heisenberg, et donnons des exemples de construction de telles immersions par la méthode DPW. Nous montrons également que des propriétés de symétrie passent aux correspondances de type surfaces sœurs et cousines, ce qui entraîne l'existence de graphes entiers de courbure moyenne constante 1/2 à bout vertical dans H^2xR qui ne sont pas de révolution. Nous reprenons ensuite l'étude des bouts verticaux d'immersions de courbure moyenne constante 1/2 dans H^2xR. Nous munissons une famille de graphes entiers d'une structure de variété lisse et en déduisons un analogue pour H^2xR d'un théorème de A. E. Treibergs pour l'espace de Minkowski. Nous nous intéressons également aux déformations des anneaux de révolution. Une conséquence directe est l'existence d'anneaux immergés qui ne sont pas de révolution. Nous construisons notamment des anneaux dont les bouts n'ont pas le même axe. Enfin, nous décrivons les invariants de Nœther correspondant aux isométries des espaces homogènes pour les surfaces minimales et de courbure moyenne constante. Nous utilisons le formalisme de la géométrie de contact qui permet l'écriture de formules explicites en toute généralité, et nous étudions l'évolution des formes de Nœther sous l'action des isométries des espaces homogènes. Nous calculons ces invariants dans le cas des anneaux déformés de H^2xR, et dans celui des anneaux horizontaux du groupe de Heisenberg

Résumé de la thèse :ce travail porte sur la notion d'espace symétrique symplectique extrinsèque. Ces espaces sont des espaces symétriques symplectiques dont la structure est induite par le plongement dans variété symplectique ambiante munie d'une connexion.<p><p>Par analogie à la théorie standard des espaces symétriques, nous démontrons un théorème d'équivalence entre les espaces symétriques symplectiques extrinsèques d'une variété qui est elle-même un espace symétrique symplectique.<p><p>La définition d'un espace symétrique symplectique extrinsèque fait intervenir l'existence d'affinités globales de la variété ambiante, les ``symétries extrinsèques', qui induisent la structure symétrique de la sous-variété ;ceci mène à poser une question du type :quelles sont les variétés possédant ``beaucoup' de ces affinités~? Une question précise ainsi qu'une réponse sont fournies dans un contexte où la variété ambiante est seulement supposée munie d'une structure<p>symplectique et d'une connexion symplectiques. Nous considérons également le cas où ces symétries commutent avec un champ $K$ d'endomorphismes symplectiques fixé de la variété, de carré $pmId$. Nous définissons une notion de courbure sectionnelle pour plans $K$-stables et montrons que les espaces à $K$-courbure sectionnelle constantes sont localement symétriques de type Ricci.<p><p>Par suite nous étudions les espaces symétriques symplectiques extrinsèques dans un espace vectoriel symplectique. Nous montrons par exemple qu'un tel espace, s'ils est de dimension deux, est forcément intrinsèquement plat (c.-à-d. à courbure intrinsèque nulle), mais que son image n'est pas forcément un plan affin de l'espace vectoriel ambiant. Nous décrivons en fait explicitement tous les espaces<p>symétriques symplectiques extrinsèques, dans un espace vectoriel, dont la courbure intrinsèque s'annule identiquement. Nous décrivons également une famille d'exemples d'espaces extrinsèques, dont nous montrons qu'elle fournit la totalité des espaces extrinsèques de codimension $2$, dans un espace vectoriel.<p><p>Enfin, nous décrivons quelques exemples d'espaces symétriques symplectiques extrinsèques qui sont totalement géodésiques, dans un espace de type Ricci particulier.<p> / Doctorat en Sciences / info:eu-repo/semantics/nonPublished

Le polytope des m-sous-espaces est défini comme l'enveloppe convexe des vecteurs caractéristiques de tous les sous-espaces de dimension m d'un espace affin fini. Le cas particulier du polytope des hyperplans a été étudié par Maurras (1993) et Anglada et Maurras (2003), qui ont obtenu une description complète des facettes. Le polytope général des m-sous-espaces que nous considérons possède une structure plus complexe, notamment concernant les facettes. Néanmoins, nous établissons dans cette thèse plusieurs familles de facettes. Nous caractérisons également complètement le groupe des automorphismes du polytope ainsi que l'adjacence des sommets du polytope des m-sous-espaces. Un tangle est un ensemble d'hyperplans d'un espace affin contenant un hyperplan par classe d'hyperplans parallèles. Anglada et Maurras ont montré que les tangles définissent des facettes du polytope des hyperplans et que toutes les facettes de ce polytope proviennent de tangles. Nous tentons d'établir une généralisation de ce résultat. Nous élaborons une classification des tangles en familles pour de petites dimensions d'espaces affins. / Doctorat en sciences, Spécialisation mathématiques / info:eu-repo/semantics/nonPublished