Les travaux de recherche présentés dans cette thèse portent sur la stabilisation des systèmes descripteurs non linéaires représentés par des multi-modèles flous de type Takagi-Sugeno incertains et/ou perturbés. Dans ce cadre, des approches basées sur une fonction candidate quadratique de Lyapunov ont tout d'abord été développées. Celles-ci permettent la synthèse de lois de commande par la résolution d'un ensemble de contraintes LMIs (Inégalités Linéaires Matricielles). Les résultats de ces premières approches restent toutefois pessimistes vis-à-vis de l'ensemble des solutions accessible au problème de synthèse de lois de commande. Afin de réduire ce conservatisme, de nouvelles approches basées sur une fonction candidate non quadratique de Lyapunov et une loi de commande non PDC (Compensation Parallèle Distribuée) ont été proposées. Une autre source de conservatisme a ensuite été abordée. En effet, l'écriture classique de la dynamique de la boucle fermée introduit des termes croisés entre la commande et le modèle au sein des conditions LMIs à résoudre. L'utilisation de la propriété de redondance des descripteurs a alors permis de pallier cette source de conservatisme. En effet, l'écriture redondante de la dynamique de la boucle fermée permet de découpler les matrices du système à piloter de celles des gains de commande par retour d'état. Tirant parti de cette propriété, des problèmes réputés complexes en terme de formulation LMI ont étés traites tels que la synthèse de lois de commande robustes par retour de sortie dynamique et statique pour les systèmes standard de type Takagi-Sugeno incertains et/ou perturbés.

Ce travail permet de résoudre des problemes d'optimisation LMI dependant rationnellement d'un ou plusieurs parametres. Ce resultat est fondamental car il ouvre une solution efficace a la classe extremement large des problemes se formulant comme un probleme d'optimisation LMI dependant de parametres. En Automatique, une telle classe de problemes comprend celle de la conception de cor- recteurs dependant de parametres. Un cas particulier important est celui de la commande des systµemes non lineaires par sequencement de gains. Au depart, cette classe de problemes d'Automatique a ete motive par une nouvelle application possible : la conception de correcteurs dont les gains sont une fonction explicite du cahier des charges, baptises " correcteurs rereglables ". L'interet est de permettre un rereglage aise sur site d'exploitation par un utilisateur neophyte en Automatique, voire un rereglage automatique. Ce travail a permis de formaliser ce problµeme de rereglage, d'en proposer une solution complete et de la valider.

Dans cette thèse de doctorat, nous apportons quelques contributions à la stabilité de Lyapunov non-régulière des inclusions différentielles de premier ordre avec opérateurs monotones maximaux, dans un cadre Hilbertien de dimension infini. Nous fournissons des caractérisations explicites, primales et/ou duales, des paires de Lyapunov faibles et fortes, dont les fonctions sont semi-continues inférieurement à valeurs réelles étendues, et associées à des inclusions différentielles dont la partie de droite est gouvernée par des perturbations Lipschitziennes des opérateurs dits Cusco F, ou des opérateurs monotones maximaux A, ou les deux à la fois x(t) ∈ F(x(t}} A(x(t}} t ≥ 0, x(0) ∈ domA. De manière équivalente, nous étudions l'invariance faible et forte des ensembles fermés pour ces inclusions différentielles. Comme dans L'approche classique de Lyapunov à la stabilité des équations différentielles, les résultats présentés dans cette thèse n'utilisent que les données du système différentiel; c'est-à-dire, l'opérateur A et la multifonction F, et donc pas besoin de connaître les solutions, ni les semi-groupes générés par les opérateurs monotones en question. Parce que les paires de Lyapunov sont formées par des fonctions qui sont simplement semi-continues inférieurement, et les ensembles invariants ne sont que ensembles fermés, nous faisons usage dans cette thèse à des outils de l'analyse non-lisse, afin de fournir des critères du premier ordre, utilisant des sous-différentiels généraux et des cônes normaux. Nous fournissons une analyse similaire pour les inclusions différentielles gouvernées par le cône normal proximal à des ensembles prox-réguliers. Notre analyse ci-dessus, nous a permis de présenter ces systèmes prox-réguliers d’apparence plus générale, comme des inclusions différentielles avec opérateurs monotones maximaux. Nous utilisons aussi nos résultats pour étudier la géométrie des opérateurs monotones maximaux, et plus précisément, la caractérisation de la frontière des valeurs de ces opérateurs seulement au moyen des valeurs situées à proximité, distinctes du point de référence. Ce résultat a des applications dans la stabilité des problèmes de la programmation semi-infinie. Nous utilisons également nos résultats sur les paires de Lyapunov et les ensembles invariants pour établir une étude systématique des observateurs de type Luenberger pour des inclusions différentielles avec des cônes normaux à des ensembles prox-réguliers. / In this PhD thesis, we make some contributions to nonsmooth Lyapunov stability of first-order differential inclusions with maximal monotone operators, in the setting of infinite-dimensional Hilbert spaces. We provide primal and dual explicit characterizations for parameterized weak and strong Lyapunov pairs of lower semicontinuous extended-real-valued functions, referred to as a-Lyapunov pairs, associated to differential inclusions with right-hand-sides governed by Lipschitz or Cusco perturbationsF of maximal monotone operators A, x(t) ∈ F(x(t}} A(x(t}} t ≥ 0, x(0) ∈ domA. Equivalently, we study the weak and strong invariance of sets with respect to such differential inclusions. As in the classical Lyapunov approach to the stability of differential equations, the presented results make use of only the data of the differential system; that is, the operator A and the multifunction F, and so no need to know about the solutions, nor the semi-groups generated by the monotone operators. Because our Lyapunov pairs and invariant sets candidates are just lower semicontinuous and closed, respectively, we make use of nonsmooth analysis to provide first-order-like criteria using general subdifferentials and normal cones. We provide similar analysis to non-convex differential inclusions governed by proximal normal cones to prox-regular sets. Our analysis above allowed to prove that such apparently more general systems can be easily coined into our convex setting. We also use our results to study the geometry of maximal monotone operators, and specifically, the characterization of the boundary of the values of such operators by means only of the values at nearby points, which are distinct of the reference point. This result has its application in the stability of semi-infinite programming problems. We also use our results on Lyapunov pairs and invariant sets to provide a systematic study of Luenberger-like observers design for differential inclusions with normal cones to prox-regular sets.

Les systèmes descripteurs incertains sont convenables pour la représentation des incertitudes d’un modèle, du comportement impulsif et des contraintes algébriques entre les variables d’état. Ils peuvent décrire bien plus de phénomènes qu’un système dynamique standard, mais, en conséquence, l’analyse des systèmes descripteurs incertains est aussi plus complexe. Des recherches sont menées de façon à réduire le degré de conservatisme dans l’analyse des systèmes descripteurs incertains. L’utilisation des fonctions de Lyapunov qui sont en mesure de générer des conditions nécessaires et suffisantes pour une telle évaluation y figurent. Les fonctions de Lyapunov polynomiales homogènes font partie de ces classes, mais elles n’ont jamais été employées pour les systèmes descripteurs incertains. Dans cette thèse, nous comblons ce vide dans la littérature en étendant l’usage des fonctions de Lyapunov polynomiales homogènes du cas incertain standard vers les systèmes descripteurs incertains. / Uncertain descriptor systems are a convenient framework for simultaneously representing uncertainties in a model, as well as impulsive behavior and algebraic constraints. This is far beyond what can be depicted by standard dynamic systems, but it also means that the analysis of uncertain descriptor systems is more complex than the standard case. Research has been conducted to reduce the degree of conservatism in the analysis of uncertain descriptor systems. This can be achieved by using classes of Lyapunov functions that are known to be able to provide necessary and sufficient conditions for this evaluation. Homogeneous polynomial Lyapunov functions constitute one of such classes, but they have never been employed in the context of uncertain descriptor systems. In this thesis, we fill in this scientific gap, extending the use of homogeneous polynomial Lyapunov functions from the standard uncertain case for the uncertain descriptor one.

Cette thèse vise à élaborer de nouvelles stratégies de commande basées sur la commande prédictive pour le système de génération d’énergie éolienne. La topologie des systèmes de production éolienne basées sur le Générateur Asynchrone à Double Alimentation (GADA) qui convient à des plateformes de génération dans la gamme de puissance de 1.5 à 6 MW est abordée. Du point de vue technologique, le convertisseur à trois niveaux et clampé par le neutre (3L-NPC) est considéré comme une bonne solution pour une puissance élevée en raison de ses avantages: capacité à réduire la distorsion harmonique de la tension de sortie et du courant, et augmentation de la capacité du convertisseur grâce à une tension réduite appliquée à chaque semi-conducteur de puissance. Une description détaillée de la commande prédictive à ensemble de commande fini (FCS-MPC) avec un horizon de prédiction de deux pas est présentée pour deux boucles de régulation: celle liée au convertisseur connecté au réseau et celle du convertisseur connecté au GADA. Le principe de la commande repose sur l’utilisation d’un modèle de prédiction permettant de prédire le comportement du système pour chaque état de commutation du convertisseur. La minimisation d’une fonction de coût appropriée prédéfinie permet d’obtenir la commutation optimale à appliquer au convertisseur. La thèse étudie premièrement les problèmes liées à la compensation du temps de calcul de la commande et au choix et aux pondérations de la fonction de coût. Ensuite, le problème de stabilité de la commande FCS-MPC est abordé en considérant une fonction de Lyapunov dans la minimisation de la fonction de coût. Finalement, une étude sur la compensation des effets des temps morts du convertisseur est présentée. / This thesis aims to elaborate new control strategies based on Model Predictive control for wind energy generation system. We addressed the topology of doubly fed induction generator (DFIG) based wind generation systems which is suitable for generation platform power in the range in 1.5-6 MW. Furthermore, from the technological point of view, the three-level neutral-point clamped (3L-NPC) inverter configuration is considered a good solution for high power due to its advantages: capability to reduce the harmonic distortion of the output voltage and current, and increase the capacity of the converter thanks to a decreased voltage applied to each power semiconductor.In this thesis, we presented a detailed description of finite control set model predictive control (FCS-MPC) with two step horizon for two control schemes: grid and DFIG connected 3L-NPC inverter. The principle of the proposed control scheme is to use system model to predict the behaviour of the system for every switching states of the inverter. Then, the optimal switching state that minimizes an appropriate predefined cost function is selected and applied directly to the inverter.The study of issues such as delay compensation, computational burden and selection of weighting factor are also addressed in this thesis. In addition, the stability problem of FCS-MPC is solved by considering the control Lyapunov function in the design procedure. The latter study is focused on the compensation of dead-time effect of power converter.

Dans ce mémoire, nous considérons un modèle épidémiologique multigroupe dans une population hétérogène, pour décrire la situation de l’épidémie de la COVID-19 dans une résidence pour personnes âgées. L’hétérogénéité liée ici à l’âge reflète une transmission élevée dûe à des interactions accrues, et un taux de mortalité plus élevé chez les personnes âgées. Du point de vue mathématique, nous obtenons un modèle SEIR multigroupe d’équations intégro-différentielles dans lequel nous considérons une distribution générale de la période infectieuse. Nous utilisons la méthode des fonctions de Lyapunov et une approche de la théorie des graphes pour déterminer le rôle du nombre de reproduction de base \(\mathcal{R}_0\) : l’état d’équilibre sans maladie est globalement asymptotiquement stable et l’épidémie s’éteint dans les deux groupes lorsque \(\mathcal{R}_0 \leq 1\), par contre elle persiste et l’état d’équilibre endémique est globalement asymptotiquement stable lorsque \(\mathcal{R}_0>1\). Les simulations numériques illustrent l’impact des stratégies de contrôle de la santé publique. / In this thesis, we consider a multiple group epidemiological model in a heterogeneous population to describe COVID-19 outbreaks in an elderly residential population. Age-based heterogeneity reflects higher transmission with enhanced interactions, and higher fatality rates in the elderly. Mathematically, we analyse a SEIR model in the form of a system of integro-differential equations with general distribution function for the infectious period. Lyapunov functions and graph-theoretical methods are employed to establish the role played by the basic reproduction ratio \(\mathcal{R}_0\) : global asymptotic stability of the disease-free equilibrium and no sustained outbreak when \(\mathcal{R}_0 \leq 1\), as opposed to persistent outbreak and globally asymptotic endemic equilibrium when \(\mathcal{R}_0>1\). Numerical simulations are presented to illustrate public health control strategies.