För många vetenskapliga och ingenjörsmässiga problem är det intressant att hitta en optimal geometri. Den typen av optimeringsproblem kallas formoptimering. Särskilt vanligt är det att vilja lösa formoptimeringsproblem med en partiell differentialekvation som bivillkor, det vill säga formoptimeringsproblem vars målfunktion beror på lösningen till en PDE. På senare tid har framsteg inom automatisk differentiering gjort det möjligt att diskretisera problem innan de differentieras, vilket möjliggör nya numeriska lösningsmetoder av optimeringsproblem. Det här projektet ämnar till att formulera en metod för att numeriskt lösa PDE-villkorade formoptimeringsproblem med automatisk differentiering och gradientstegning med hjälp av kodbiblioteket JAX i Python. Dessutom genomförs en dimensionsreduktion genom randintegralmetoder för PDE. Metoden testas på ett enkelt problem som inte innehåller någon PDE, och ett svårare problem där Poissons ekvationer ges som bivillkor. För snälla problem och startgeometrier uppnås snabbt ett litet fel. Om initialiseringsgeometrin är för långt ifrån optimum är konvergensen stort beroende av antal diskretiseringspunkter. För svårare problem utan känd lösning är det svårt att utvärdera resultatet. Något som är svårt att motverka är injektivitetsproblem vilket behövs undersökas vidare.

In the past decades of years, huge amounts of people chose to move to big cities for better education and medical service, which also makes many cities are very crowded and noisy. Moreover, the house rent in city center is some kind too expensive for many people, especially for the youth. In this sense, more people are willing to live in suburb instead of city center. Due to the larger distance between home and office, people’s requirement for a faster public transportation method is enormous. Elon Musk first publicly mentioned the concept of Hyperloop in 2012[1], which is a sealed tube or system of tubes with nearly vacuum condition through which a pod can transport people or objects at super high velocity. With the linear induction motor and magnetic levitation technology, the drag force on the pod can be reduced tremendously, thus increasing the peak velocity to 1200 km/h. To gather more ideas for this concept, SpaceX holds the Hyperloop Pod Competition where worldwide teams will design their own Hyperloop pod to demonstrate their technical feasibility of new ideas [2]. A Hyperloop system is currently in development by the Integrated Transport Research Lab (ITRL) at KTH Royal Institute of Technology to participate in the upcoming Hyperloop Pod Competition. KTH Hyperloop group has some primary design of chassis and shell. However, they have no idea how good of their current design is. Furthermore, since the velocity is the only criteria for this competition, they also want to reduce the mass as much as possible. In this sense, some finite element analysis and optimization analysis are necessary. The objective of this master’s thesis is to analyze the current shell and chassis design to assess the quality of the attachments and integrity of the design and to reduce the total mass while keeping the stiffness within the safety range. The used tools are HyperMesh, Optistruct and HyperView which are parts of the software HyperWorks from Altair. / Ett Hyperloop-system utvecklas för närvarande av Integrated Transport Research Lab (ITRL) vid KTH Royal Institute of Technology för att delta i den kommande Hyperloop Pod-tävlingen. Hyperloop-gruppen vid KTH har utvecklat en primärkonstruktion av chassi och skal. De har dock ingen aning om hur bra deras nuvarande design är. Eftersom hastigheten är de enda kriterierna för denna tävling, vill de också minska massan så mycket som möjligt. I detta avseende är det nödvändigt med finita element- och optimeringsanalyser. Syftet med denna masteruppsats är att analysera den aktuella skal- och chassikonstruktionen för att utvärdera kvaliteten på dess fästen och integriteten hos designen, samt att minska den totala massan samtidigt som styvheten uppfyller specificerat krav. De använda verktygen är HyperMesh, Optistruct och HyperView som är delar av programvaran HyperWorks från Altair.

The thesis evaluates the potential of shape optimization to provide electric machine geometries that are optimized for torque, noise, vibration and harshness (NVH) and efficiency. It could be an alternative to the parametrization-based approach in the electric machine design process. In this work, an optimization framework was developed using Altair Flux-2D™ and MATLAB™ software, with mean radial tooth force (MRTF) and torque as responses. Various features of an interior permanent magnet machine (IPM) machine were selected for optimization, such as rotor surface, outer magnet air-pockets, stator tooth-tips, and shape features along the d-axis and q-axis of the machine. A shape-parametrization study was performed to further understand the results obtained from the shape-optimization framework. During this study, it was observed that the MRTF harmonic of radial tooth forces represented in the complex domain could be modified by changing the shape dimension and position. Cases were created, wherein different types of bumps and notches were introduced on the rotor surface and stator tooth-tips, after which, a design of experiments (DOE) study modified them to observe their influence on the MRTF harmonic. Shape optimization provided results much faster than DOE-based studies, and it was best suited to suggest minor changes and offer additional performance improvements. In a parametrization-based design process, shape optimization could be used effectively in the latter stages as a design evaluation and enhancement tool. Results from the framework indicated that efficiency must be sacrificed to achieve a sizeable reduction in the MRTF harmonic. The latter is most sensitive to shape changes on the rotor surface, while partial radial-force vector modification is possible by changing the shape of that toothtip. When correctly placed, bumps and notches offer good MRTF harmonic and torque ripple reductions. / Avhandlingen utvärderar potentialen för formoptimering för att tillhandahålla elektriska maskingeometrier som är optimerade för vridmoment, NVH och effektivitet. Det kan vara ett alternativ till den parametriseringsbaserade metoden i designprocessen för elektriska maskiner. I detta arbete utvecklades ett optimeringsramverk med flera mål med hjälp av Altair Flux-2D™ och MATLAB™ mjukvara, med MRTF och vridmoment som svar. Olika funktioner hos en IPM-maskin valdes ut för optimering, såsom rotoryta, yttre magnetiska luftfickor, statortandspetsar och formegenskaper längs maskinens d-axel och q-axel. En formparametriseringsstudie utfördes för att ytterligare förstå resultaten från formoptimeringsramverket. Under denna studie observerades det att MRTF-harmoniken för radiella tandkrafter representerade i den komplexa domänen kunde modifieras genom att ändra formdimensionen och positionen. Fall skapades, där olika typer av stötar och skåror introducerades på rotorytan och statortandspetsarna, varefter en DOE-studie modifierade dem för att observera deras inverkan på MRTF-övertonen. Formoptimering gav resultat mycket snabbare än DOE-baserade studier, och den var bäst lämpad för att föreslå mindre förändringar och erbjuda ytterligare prestandaförbättringar. I en parametriseringsbaserad designprocess kan formoptimering användas effektivt i de senare stadierna som ett verktyg för designutvärdering och förbättring. Resultat från ramverket indikerade att effektivitet måste offras för att uppnå en avsevärd minskning av MRTF-övertonen. Den senare är mest känslig för formförändringar på rotorytan, medan partiell radialkraftvektormodifiering är möjlig genom att ändra formen på den tandspetsen. När de är korrekt placerade ger stötar och skåror bra MRTF-harmoniska och vridmoment-rippelreduktioner.