La investigación es un acercamiento, desde la didáctica de las matemáticas, a la problemática que plantea la enseñanza y aprendizaje en el ámbito de la enseñanza universitaria. Toma como referencia teórica las principales aportaciones teóricas de la línea de investigación conocida como Pensamiento Matemático Avanzado.Su propósito es analizar el proceso de enseñanza-aprendizaje de los conceptos de función y extremo de una función a través de la realización de una unidad didáctica, que incida en la creación de significados y estimule el proceso de aprendizaje de los estudiantes.La población de estudio incluye a estudiantes inscritos en el primer semestre de la Licenciatura en Economía y una muestra de seis estudiantes para el estudio de casos. Mediante un conjunto de estrategias cualitativas y cuantitativas se analizan, tanto las principales dificultades de los estudiantes como la propia unidad didáctica.Las conclusiones dan constancia sobre la existencia de dificultades en el aprendizaje de estos conceptos, así como del nivel coincidencia con los resultados obtenidos en investigaciones anteriores. Se concluye que la unidad didáctica diseñada es un buen instrumento para integrar el conocimiento matemático al desarrollo cognitivo actual de los estudiantes, que aprovecha en mayor medida el conocimiento inicial del estudiante y orienta un contenido específico con nuevos recursos para el aprendizaje. / The investigation is an approach, from the Didactics of the mathematics, to the problematic one that it raises education and learning in the scope of university education. Taking like theoretical reference the main theoretical contributions of the line of well-known investigation like Advanced Mathematical Thought.Its intention is to analyze the process of education-learning of the concepts of function and end of a function through the accomplishment of a didactic unit, that affects the meaning creation and stimulates the process of learning of the students.The study population includes to students enrolled in the first semester of the Degree in Economy and a sample of six students for the study of cases. By means of a set of qualitative and quantitative strategies they are analyzed, as much the main difficulties of the students like the own didactic unit.The conclusions give certainty on the existence of difficulties in the learning of these concepts, as well as of the level coincidence with the results obtained in previous investigations. One concludes that the designed didactic unit is a good instrument to integrate the mathematical knowledge to the present cognitivo development of the students, that takes advantage of in greater measurement the initial knowledge the student and orients a specific content with new resources for the learning.

En los métodos planificadores de trayectorias basados en funciones potenciales, la utilización de las funciones armónicas tiene la importante propiedad de no presentar mínimos locales. Sin embargo, la creación de planificadores basados en estas funciones armónicas se ha encontrado con serias dificultades, sobre todo cuando el número de grados de libertad es elevado. Por este motivo, esta tesis realiza inicialmente un estudio de las propiedades más relevantes de dichas funciones armónicas; destacando aquellas que han sido la causa de su reducida aplicación en la generación de trayectorias. Al mismo tiempo, el resultado de este estudio sirve de base para la proposición de métodos compensatorios que permitan reducir las propiedades negativas de las funciones armónicas, como funciones potenciales aplicables a la generación de movimientos en robótica. Después se considera los métodos numéricos de cálculo de las funciones armónicas, así como el coste computacional de los mismos. Con el objetivo de reducir el tiempo de cálculo, esta tesis propone una discretización jerárquica y un método eficiente de etiquetado de celdas. Por su parte, dicha discretización jerárquica, se va realizando progresivamente mediante muestreo aleatorio y descomposición de celdas, lo que genera un escenario parcialmente conocido que, sin embargo, permitirá en cierto número de casos encontrar la trayectoria buscada. Por lo tanto, esta propuesta reduce drásticamente el número de puntos de cálculo y, por consiguiente, el tiempo de computación. La tesis completa la propuesta de un planificador combinando las técnicas de muestreo con el cálculo de funciones armónicas mediante un método de exploración aleatorio conducido (PHM), aplicado a un espacio de configuraciones discretizado jerárquicamente sobre el que se va recalculando la función armónica. De esta forma la exploración se guía hacia zonas más prometedoras, intentando obtener la solución por fases. / In methods based trajectories planners potential functions, the use of harmonic functions has the important property of not presenting local minima. However, the creation of planners based on these harmonic functions has met with serious difficulties, especially when the number of degrees of freedom is high. For this reason, this thesis makes an initial study of the properties most relevant of these harmonic functions, highlighting those that have been the cause of their limited application in the generation of trajectories. At the same time, the result of this study provides a basis for proposing compensatory methods to reduce the negative properties of harmonic functions as potential functions applicable to the generation of robotic movements. Then we consider numerical methods for calculating the harmonic functions and the computational cost of the same. In order to reduce computation time, this thesis proposes a hierarchical discretization and an efficient method of labeling cells. Meanwhile, this discretization hierarchical be made gradually by random sampling and decomposition of cells, generating a scene partially known, however, allow a number of cases in finding the trajectory sought. Therefore, this proposal drastically reduces the number of calculation points, and hence the computation time. The thesis, complete a proposed planner combining sampling techniques to the calculation of harmonic functions by a method of random exploration conducted (PHM), applied to a hierarchically discretized configuration space on which the harmonic function is recalculated. In this way the exploration is guided to more promising, trying to obtain the solution phases.

Cuaderno de trabajo del curso Cálculo Diferencial de Arquitectura (MA102), que corresponde al ciclo 2014-01. Este documento contiene parte de la teoría que se desarrolla en cada sesión de clase, ejercicios y problemas de modelación. Incluye además ejercicios propuestos y sus respuestas.

Cuaderno de trabajo del curso Cálculo Diferencial de Arquitectura (MA102), que corresponde al ciclo 2014-2. Este documento contiene parte de la teoría que se desarrolla en cada sesión de clase, ejercicios y problemas de modelación. Incluye además ejercicios propuestos y sus respuestas.

En este artículo se presenta una manera de optimizar una función vectorial que parte de una variedad diferenciable y llega a Rm. Definiremos un conjunto análogo al conjunto de puntos críticos de una función real y otro análogo al conjunto de máximos; también tendremos dos proposiciones parecidas a las propiedades que conocemos del cálculo: si la primera derivada es cero, el punto es crítico y si además la segunda derivada es negativo definida, el punto es máximo. Finalmente aplicaremos todo esto al caso del intercambio económico puro llegando a resultados interesantes.

El objetivo de la presente memoria es proponer un nuevo método para resolver una clase general de problemas de optimización, a saber, dado un conjunto convexo y abierto , una función diferenciable , una matriz de rango completo (con ) y un vector , buscamos resolver algorítmicamente el problema: (P0) min{ f(x) : x ∈ clC, Ax = b}. Para esto, tomamos herramientas de la Geometría Riemanniana, las mezclamos con el método de máximo descenso y nos preguntamos qué sucede si miramos este algoritmo bajo la lupa de otra métrica, una no necesariamente Euclideana. Si bien la idea de usar métricas variables para resolver este tipo de problemas no es nueva, nuestro trabajo sí lo es, pues nos interesamos en una en particular, una que es inducida por el cuadrado de la matriz Hessiana de una cierta función barrera cuyo dominio coincide con . Esta métrica tiene la gran gracia de proveernos de una isometría, fácil de calcular, entre el conjunto , visto como variedad, y un espacio Euclideano apropiado. En el capítulo 1 de esta memoria damos una descripción introductoria de las herramientas de la Geometría Riemanniana que usamos para desarrollar nuestra teoría. En el capítulo 2 definimos formalmente la Métrica Hessiana Cuadrada de Legendre sobre un dominio convexo. Estudiamos también sus principales propiedades y consecuencias. En el capítulo 3 introducimos un nuevo método de optimización para resolver de forma algorítmica un problema más simple que el de minimizar la función sólo sobre la adherencia del conjunto . También introducimos una nueva noción de dualidad y presentamos algunos teoremas de convergencia. En el capítulo 4 generalizamos este método, con el fin de resolver algorítmicamente el problema . Por otra parte, en el capítulo 5 abordamos la pregunta de en qué casos nuestra métrica coincide con la inducida por la Hessiana de otra función barrera. Primeramente, planteamos el problema para el caso separable, obteniendo condiciones necesarias y suficientes, para luego pasar a un caso más general, donde sólo obtuvimos una condición necesaria. Finalmente, usando este criterio mostramos que el problema es en realidad muy restrictivo respecto al conjunto , lo cual nos hace conjeturar que esta pregunta no es fácil de responder y que la respuesta es en general negativa. Cabe destacar que la noción de dualidad que aquí introducimos crea un lazo entre las propiedades de carácter Riemanniano y las de carácter Euclideano, en particular, permite transformar problemas no convexos en otros que sí lo son. Más aún, esta noción nos muestra que es posible resolver ciertos problemas de optimización con restricciones aplicando métodos de optimización irrestricta sobre un problema dual adecuado.

Ingeniero Civil Matemático / Sea $X$ un evtlc y $\Phi$ una función convexa, semicontinua inferior y propia en $X$. Dados $\lambda\in\R$ y $\delta\geq 0$, se prueba que para $\overline{x}\in S_\lambda:=[\Phi\leq\lambda]$ se cumple la fórmula \begin{equation} N^\delta_{S_\lambda}(\overline{x})=\sigma^*-\limsup_{\substack{\mu(\epsilon-\Phi(\overline{x})+\lambda)\to \delta \\ \mu\geq 0}}\mu\partial_\epsilon\Phi(\overline{x}), \label{sis} \tag{$\star$} \end{equation} sin necesidad de condiciones de calificación. En espacios de Banach, se recupera una fórmula para el cono normal que involucran el subdiferencial de Fenchel exacto, pero en puntos cercanos a $\overline{x}$. En el caso que el punto $\overline{x}$ satisfaga la condición de calificación de Slater, se extiende la validez de fórmulas conocidas en espacios de Banach a los evtlc. Se analiza el caso del cono normal a una intersección finita de conjuntos de subnivel. Se estudia qué es el lado derecho de \eqref{sis} en el caso que $\overline{x}\notin S_\lambda$ y $S_\lambda\neq\phi$, y el caso $S_\lambda=\phi$, para $\delta=0$. Por polaridad se muestra una caracterización del cono tangente a $S_\lambda$, cuando $\lambda=\Phi(\overline{x})$. Se ve una condición necesaria y suficiente de optimalidad para un problema de optimización convexa. Por último, por medio de \eqref{sis}, se muestra la semicontinuidad exterior de un operador, y se utiliza este hecho para probar una propiedad asintótica de un sistema dinámico de segundo orden que involucra al operador.

Esta Tesis se centra en el estudio de la diferenciabilidad de Funciones definidas sobre subconjuntos de espacios de Banach, en especial se estudian las funciones convexas y continuas y más concretamente la norma. Se demuestra la íntima relación entre los diferentes tipos de diferenciabilidad (Fréchet, Gâteaux, fuertemente subdiferenciable, bastante suave, ...) y la estructura topológica de los Espacioes de Banach donde están definidas las funciones (espacios de Asplund, separabilidad, el espacio dual no tiene subespacioes propios normantes, normas ásperas...) Se concluye la Tesis con el estudio de la relación entre las propiedades topológicas anteriormetne dichas y la inmersión de subconjuntos débil-* homeomorfos al conjunto ternario de Cantor en la esfera unidad del dual. / Benítez López, J. (2000). Diferenciabilidad en espacios de Banach [Tesis doctoral]. Universitat Politècnica de València. https://doi.org/10.4995/Thesis/10251/5422

El objetivo principal de la presente tesis es presentar una aplicación de los teoremas de Montel sobre familia normales en los sistemas dinámicos, para así poder caracterizar los conjuntos de Julia, denotados por JR, definidos a través de una aplicación R meromorfa sobre C. Primero haremos un estudio de las propiedades de las funciones meromorfas sobre el plano complejo C y el plano complejo extendido C, además estableceremos algunas métricas para poder estudiar la convergencia de las aplicaciones meromorfas. Lo anterior nos permite introducirnos a las familias normales para funciones holomorfas y para funciones meromorfas la cual posee muchas propiedades que son usadas en la caracterización del conjunto de Julia. Para facilitar algunos resultados es preciso usar la conjugada de funciones meromorfas sobre C a través de las transformaciones de Möbius definidas en el plano complejo extendido. También es necesario el estudio de los puntos periódicos de las funciones meromorfas sobre C obteniéndose una serie de propiedades que serán importantes en el estudio del conjunto Julia. Finalmente es vital el estudio del conjunto de puntos excepcionales la cual nos dan una serie de propiedades, para así poder dar una caracterización al conjunto de Julia. Dichas caracterizaciones son tales como, la invariancia del conjunto de Julia, JR, por la aplicación R y por su respectiva inversa; que el conjunto JR es igual a su conjunto de puntos de acumulación; que el conjunto JR coincide con C, siempre que JR posea algún punto interior; que JR coincide con la frontera de la cuenca atractora generada por un punto atractor α ; y el más importante que el conjunto de julia JR, coincide con el cierre de los puntos repulsores fijos de todos los órdenes . / Tesis

Rolf Nevanlinna, matemático finlandés (1895-1980), fue reconocido por sus trabajos en el campo de las funciones de variable compleja. Su trabajo más significativo estuvo relacionado con la teoría de la distribución de los valores de las funciones meromorfas, donde probó los dos teoremas que llevan su nombre, con importantes consecuencias en dicha teoría. Es conocido que la resolución de ciertos problemas teóricos y prácticos dependen a veces del comportamiento de las raíces de la ecuación f(z) = a; donde f(z) es una función entera o meromorfa y a es un valor complejo. Por ende es de vital importancia investigar el número n(r; f = a) de las raíces de la ecuación anterior y su distribución en el disco DR, cada raíz será contada de acuerdo a su multiplicidad. En el último siglo, el famoso matemático E. Picard obtuvo un resultado importante: toda función entera no constante f(z) toma cada valor complejo infinitas veces, con la posible excepción de un valor. Después, E. Borel introdujo el concepto de orden de una función entera y otros matemáticos profundizaron el teorema de Picard, como el teorema grande de Picard y el teorema de Picard-Borel. Estos resultados tenían limitaciones importantes, por ejemplo trataban solamente el caso de funciones enteras, es decir no consideraban funciones meromorfas y por otro lado se imponía la restricción de que fueran funciones de orden finito. La teoría de distribución de valores tiene significativas aplicaciones, por ejemplo a las ecuaciones diferenciales complejas. Finalmente indicamos que a lo largo del tiempo se han desarrollado métodos diferentes para demostrar los resultados de Nevanlinna, pero en este trabajo se ha seguido los resultados originales en muchos casos de esta teoría. / Tesis