A periodic structure consists of spatially repeating unit cells. From man-made multi-span bridges to naturally occurring atomic lattices, periodic structures are ubiquitous. The periodicity can be exploited to generate frequency bands within which elastic wave propagation is impeded. A limitation to the linear periodic structure is that the filtering properties depend only on the structural design and periodicity which implies that the dispersion characteristics are fixed unless the overall structure or the periodicity is altered. The current research focuses on wave propagation in nonlinear periodic structures to explore tunability in filtering properties such as bandgaps, cut-off frequencies and response directionality. The first part of the research documents amplitude-dependent dispersion properties of weakly nonlinear periodic media through a general perturbation approach. The perturbation approach allows closed-form estimation of the effects of weak nonlinearities on wave propagation. Variation in bandstructure and bandgaps lead to tunable filtering and directional behavior. The latter is due to anisotropy in nonlinear interaction that generates low response regions, or "dead zones," within the structure.The general perturbation approach developed has also been applied to evaluate dispersion in a complex nonlinear periodic structure which is discretized using Finite Elements. The second part of the research focuses on wave dispersion in strongly nonlinear periodic structures which includes pre-compressed granular media as an example. Plane wave dispersion is studied through the harmonic balance method and it is shown that the cut-off frequencies and bandgaps vary significantly with wave amplitude. Acoustic wave beaming phenomenon is also observed in pre-compressed two-dimensional hexagonally packed granular media. Numerical simulations of wave propagation in finite lattices also demonstrated amplitude-dependent bandstructures and directional behavior so far observed.

La modélisation multi-échelle multi-physique de la solidification d'alliages métalliques demande de combiner des phénomènes à l'échelle macroscopique du produit et microscopiques à l'échelle des structures de solidification. Dans cette thèse, l'empilement aléatoire des grains équiaxes avec des morphologies typiques de solidification est étudié. Nous mettons tout d'abord en évidence les paramètres hydrodynamiques adimensionnels qui régissent l'empilement de grains équiaxes : le nombre de Stokes, St, le nombre d'Archimède, Ar, et le rapport entre le temps caractéristique de la croissance et le temps caractéristique du mouvement, Γ. Un dispositif expérimental a été conçu par similitude hydrodynamique avec le phénomène réel de l'empilement de la solidification afin d'étudier l'influence de la géométrie des grains équiaxes et l'influence des conditions hydrodynamiques sur la fraction d'empilement. En outre, un outil numérique basé sur le méthode des éléments discrets a été développé pour compléter le travail expérimental de détermination de : la fraction d'empilement locale, le nombre de particules voisines en contact et l'orientation des particules. Des fractions d'empilement entre environ 0,53 et 0,67 ont été mesurées et calculées pour les grains sphériques non-cohésifs, alors que des valeurs allant jusqu'à environ 0,30 sont trouvées pour les grains dendritiques non-cohésifs. Enfin, nous étudions la dynamique de l'empilement, qui est la transition d'un régime de sédimentation à l'équilibre mécanique. L'évolution des variables comme la fraction locale de solide, le nombre de particules voisines en contact et l'orientation du grain en fonction du temps est présentée / Solidification multiphase multiscale modeling of metal alloys is based on the combination of the phenomena at the macroscopic scale of the product and at the microscopic scale of the solidification structures. In this thesis, the random packing of the typical equiaxed grain morphologies in metal alloy solidification is investigated. Firstly, we highlight the hydrodynamic dimensionless parameters governing the grain packing in the melt: the Stokes number, St, the Archimedes number, Ar, and the growth-to-motion ratio, Γ. Subsequently, an experimental setup is designed by hydrodynamic similarity with the actual solidification packing phenomenon in order to investigate the influence of the equiaxed grain geometry and the hydrodynamic conditions on the average solid packing fraction. Additionally, a numerical Discrete Element Method tool is developed to complement the experimental work by accessing to those granular variables which result difficult to be experimentally obtained such as the local packing fraction, the contacting neighbors and the particle orientation. Packing fractions between approximately 0.53 and 0.67 are measured and computed for the spherical noncohesive grains, for different hydrodynamic, frictional and polydispersity conditions, whereas values down to approximately 0.30 are found for noncohesive dendrite envelopes. Finally, we investigate the packing dynamics, which is the transition from a sedimentation regime to the mechanical equilibrium (packing). The evolution of the local solid fraction, contacting neighbors, mechanical contacts and grain orientation are given

Avec en perspective l’application à la robotique ou à l’étude des milieux granulaires, nous discutons la formulation des problèmes de contacts avec frottement en dynamique et pour les systèmes constitués de solides rigides. L’approche usuelle est event driven et ne permet pas d’écrire de manière systématique un problème d’évolution. Ceci a motivé l’émergence d’une nouvelle approche dans le cas sans frottement que nous généralisons au cas avec frottement. Suivant le point de vue de Lagrange sur l’équation de la dynamique, nous mettons en exergue l’usage systématique des puissances virtuelles et de la dualité. Ce parti-pris suggère de mettre l’accent sur l’effort généralisé de réaction dans la formulation et non sur les forces de réactions locales dans le monde réel, comme il est usuel. Ce point de vue permet d’échapper à des pathologies connues sous le nom de paradoxe de Painlevé. / In the view of robotics or granular media mechanics, we question the statement of the dynamical evolution problem for multibody systems with contacts and friction. The usual approach is event driven and does not allow to state an evolution problem in a systematic way. This matter of fact gave rise to a new approach in the frictionless case we generalize to the case with friction. Sticking to the point of view of Lagrange on the equation of the dynamics, we emphasize the systematic use of virtual powers and duality. This bias suggests to put emphasis on generalized reaction forces in the statement of the evolution problem and not on local reaction forces of the real world, as it is usual in practice. This point of view allows to escape from pathologies known as Painlevé paradox.

<p align="justify">Ce travail consiste à étudier des systèmes constitués par un grand nombre de grains, auxquels de l’énergie cinétique est fournie, et à étudier leurs similarités et leurs différences avec des fluides traditionnels. Je me concentre principalement sur la nature de non-équilibre de ces fluides granulaires, en montrant que, même si les méthodes de méchanique statistique y sont applicables, leurs propriétés sont très différentes de celles de systèmes à l’équilibre ou proches de l’équilibre :</p><p><p><ul><li>Les fluides granulaires présentent des phénomènes de transport qui n’ont pas d’équivalent dans des fluides moléculaires, tels qu’un couplage spécifique entre flux de chaleur et gradient de densité.<p><li>Leur distribution de vitesse est en général différente de la distribution de Maxwell-Boltzmann, et présente une surpopulation pour les grandes vitesses. <p><li>Dans le cas de mélanges, différentes espèces de grains sont en général caractérisées par des énergies cinétiques différentes, i.e. ces systèmes sont sujet à une non-equipartition de leur énergie.<p><li>Ces fluides ont tendance à former des inhomogénéités spatiales spontanément. Cette propriété est illustrée en étudiant l’expérience du Demon de Maxwell appliquée aux systèmes granulaires.</ul><p><p align="justify">Chacune de ces particularités est discutée en détail dans des chapitres distincts, où l’on applique différentes méthodes de méchanique statistique (équation de Boltzmann, transition de phase, mean field models…) et où l’on vérifie les prédictions théoriques par simulations numériques (MD, Monte Carlo…).</p> / Doctorat en sciences, Spécialisation physique / info:eu-repo/semantics/nonPublished

Dans la pratique actuelle du génie géotechnique, les essais de pénétration tels que les CPT, SPT, Panda sont largement utilisés pour caractériser mécaniquement les sols, au travers notamment d’une caractéristique de rupture appelée résistance de pointe. Par ailleurs, les dernières évolutions technologiques apportées aux essais de pénétration dynamique (Panda 3) permettent d’obtenir pendant chaque impact une courbe charge–enfoncement donnant la charge en pointe en fonction de l’enfoncement à partir de la mesure et du découplage des ondes générées durant l’essai. L’exploitation de cette nouvelle courbe fournit des informations non seulement sur la résistance de pointe dynamique mais également sur des paramètres mécaniques complémentaires mis en jeu pendant l’enfoncement de la pointe. L’objectif de cette thèse est de développer un modèle numérique en 2D capable de reproduire les signaux pénétrométriques obtenus expérimentalement par essais de type statique ou dynamique. Ce modèle est basé sur la méthode des éléments discrets avec une loi de contact linéaire simple. Une fois le modèle validé, une étude paramétrique a été réalisée en jouant essentiellement sur les modes d’application de la sollicitation (vitesse d’impact ou de pénétration), la granulométrie du matériau ainsi que l’arrangement granulaire (variation de la densité). Outre l’influence de ces paramètres sur les signaux pénétrométriques et la résistance de pointe mesurée, une attention particulière est portée sur l’analyse micromécanique : dissipation d’énergie dans le milieu, évolution des chaines de force, orientations des contacts. Cette analyse nécessite de développer des outils numériques spécifiques afin de mieux comprendre le mécanisme de l’enfoncement et tenter d’expliquer la réponse mécanique macroscopique obtenue. L’effet de la vitesse n’influence significativement que sur les essais de pénétration statiques et dynamiques en régime d’écoulement dense. A vitesse d’enfoncement comparable, il n’y a aucune différence significative au niveau microscopique entre les deux modes de sollicitation statique et dynamique. En ce qui concerne l’influence des caractéristiques du matériau, les résultats obtenus par le modèle numérique conforment aux celui réel lors que le frottement entre particules ou la compacité du milieu varie. Concernant la granulométrie, la variation de la courbe charge-enfoncement et la force de pointe dynamique augmente lorsque le diamètre moyen augmente. / In the field of in situ mechanical characterization of soils, penetration tests are commonly used. Penetration tests measure the properties of soils in the domain of large deformations. The tip resistances, deduced from pile driving theory, can be measured either in dynamic conditions (q d ) either in static conditions (q c ). Recently, the measurement technique in dynamic conditions has been improved and it is now possible to record the whole response of the soil during one impact in terms of tip force and penetration distance. The exploitation of this new curve provides information not only on dynamic tip resistance but also on additional mechanical parameters involved during the driving of the tip. The objective of this work is to develop a numerical model in 2D able to reproduce the penetrometric record obtained experimentally by static or dynamic penetration tests. This model is based on the discrete element method with a simple linear contact model. After the validation of the model, a parametric study was performed essentially on the loading type (static or dynamic), the penetration rate, the particle size of the granular material and the arrangement (density variation). Besides the influence of these parameters on the penetrometer signals and the tip resistance, a particular attention was focused on micromechanical analysis: energy dissipation in the medium, force chain evolution, contact orientation. This analysis requires the development of specific numerical tools to better understand the penetration mechanism and try to explain the macroscopic mechanical response obtained. The penetration rate influences significantly only in the dense flow regime on the static and dynamic penetration tests. There is no significant microscopic difference between static and dynamic penetration tests with similar penetration rates. Regarding the influence of the characteristics of the material, the numerical results obtained conform to the real results when the particle friction or the compactness of the medium varies. Concerning the particle size, the dynamic signal variation and the dynamic tip force increases when the average particle diameter increases.

Lorsqu'une onde acoustique se propage dans un milieu granulaire, elle est susceptible de provoquer la mobilité des grains, aussi infime soit-elle. Inversement, la mobilité d'un grain dans une matrice fluide peut induire un champ acoustique et dans les deux cas, l'énergie acoustique peut être transférée à la fois au travers des pores et des contacts entre grains. Nous avons mis au point un modèle original permettant de considérer ces deux modes de transfert d'énergie pour simuler la propagation d'ondes acoustiques dans les milieux granulaires immergés. Dans le cas des milieux granulaires secs, l'inertie du fluide est telle que l'énergie transférée dans l'air peut être négligée et le milieu modélisé avec des algorithmes de type "dynamique moléculaire". Au contraire, dans le cas de milieux immergés, l'énergie portée par le fluide ne peut pas être négligée et nous montrons que la méthode des domaines fictifs basée sur les multiplicateurs de Lagrange distribués permet de coupler les équations de la dynamique et l'équation d'onde. Nous utilisons la méthode des éléments finis pour propager l'onde dans le fluide, les grains étant modélisés en 2D par des sphères rigides et incompressibles afin de satisfaire les hypothèses de l'algorithme de dynamique moléculaire. Les résultats du modèle sur des expériences numériques simples mais pour lesquelles existent des solutions analytiques de l'acoustique mettent en évidence la validité du nouveau modèle. Nous en donnons une illustration pour l'étude des interactions subies par un empilement réaliste de multiples grains mobiles soumis à un signal acoustique. / When an acoustic wave propagates through a granular medium, it causes the grains to move, usually very slightly. In the same way, the movement of a grain embedded in a fluid matrix generates an acoustic wave. In both cases, acoustic energy is transmitted by the fluid and by the inter-granular contacts. We have developed a new numerical model for simulating wave propagation in submerged granular media that takes into account these two modes of energy transport. For the case of dry granular media, the grains are embedded in air whose inertia is so low that the energy it carries can be neglected. These media can be modeled with "Molecular Dynamics" or related methods. On the contrary, when granular media are submerged in water, the energy carried by the fluid cannot be neglected, rendering their modelization much more difficult. We use the fictitious domain method with distributed Lagrange multipliers to couple the equation of motion of the grains to the wave equation of the fluid. We use finite elements to propagate the wave in the fluid, and the grains are modeled in 2D by rigid, incompressible spheres compatible with the hypotheses of Molecular Dynamics. To validate the model, we perform series of numerical experiments whose results are compared to analytic solutions from acoustics. We also perform a simulation with hundreds of grains under an incident wave to demonstrate the possibilities of the model.

Ce travail de thèse a pour objet l’étude numérique et expérimentale de la déstabilisation de milieux granulaires immergés par fluidisation. Cette instabilité hydromécanique est un mécanisme précurseur de l’érosion régressive, processus de dégradation au coeur de la problématique de l’érosion interne des ouvrages hydrauliques en terre. La compréhension de ces mécanismes d’érosion nécessite une description rigoureuse du couplage et de l’interaction entre le fluide et les particules de sol. A cette fin, un modèle 2D a été utilisé en couplant deux méthodes particulaires, la méthode des éléments discrets (DEM) pour modéliser le comportement mécanique de la phase solide et la méthode Lattice Boltzmann (LBM) pour la phase fluide. Des expériences servant de validation à cette simulation numérique 2D ont également été réalisées en s’appuyant sur une technique de visualisation interne d’un empilement granulaire combinant l’ajustement d’indice de réfraction des deux phases et la fluorescence induite par plan laser. / The subject of this thesis is the numerical analysis and experimental investigation of the destabilization of submerged granular media caused by fluidization. This hydromechanical instability is one of the mechanisms that may trigger the regressive erosion, which is one of the main degradation phenomena driving the internal erosion of earthen hydraulic constructions. Such erosion mechanisms can only be understood through a rigorous description of the coupling and interaction between the eroding fluid and the soil particles. For this purpose, a 2D model has been used coupling two different numerical techniques, namely the discrete element method (DEM) for modelling the mechanical behaviour of the solid phase and the Lattice Boltzmann method (LBM) for the fluid phase. The experimental validation of this numerical 2D simulation has been carried out using two optical techniques for the internal visualization of a granular sample, namely the adjustment of the refraction index of the two phases and the laser-induced fluorescence.

Les structures en enrochements sont parmi les ouvrages les plus usuels de génie civil (barrages, murs de soutènement,. . . ). Des tassements importants peuvent apparaître tout au long de leur durée de vie et sont principalement dus à la rupture des blocs rocheux. Cette thèse propose un modèle numérique permettant de simuler le comportement de matériaux granulaires présentant des ruptures de grains. Afin de prendre en compte la nature discontinue de ces milieux, la méthode des éléments discrets est utilisée. La modélisation adoptée est de type "Non-Smooth Contact Dynamics", où les grains et particules sont supposés rigides. Afin de générer des blocs ayant des formes complexes, un modèle de grain 3D est proposé. Ce modèle de grain est ensuite discrétisé en sous-éléments de forme tétraédrique liés par des liaisons cohésives afin de pouvoir représenter la rupture. Un critère de rupture de Mohr-Coulomb est utilisé. Le modèle est implémenté sur la plateforme logicielle LMGC90. Le modèle est d’abord éprouvé lors de simulations d’écrasement de blocs cassables entre deux plaques. Plusieurs paramètres contrôlant la résistance du grain sont étudiés : cohésion intergranulaire, taille, discrétisation, forme et orientation du grain. L’effet d’échelle observé sur ce type de matériau est vérifié. Le modèle est ensuite testé lors de simulations numériques de compression œdométrique d’enrochements. L’effet des paramètres du modèle et de l’assemblage du milieu granulaire est également étudié. Les simulations œdométriques sont confrontées à des résultats expérimentaux et présentent une bonne concordance. Enfin, des expérimentations numériques sont menées afin d’étudier les énergies mises en jeu dans ces essais. L’énergie de création de surface est estimée pour ce type de matériau. Les résultats sont proches des données de la littérature. / Rockfill structures are very popular among civil engineering structures (dams, retaining walls, . . . ). Important settlements can take place during the lifetime of these structures, settlements mainly caused by the breakage of rockfill grains. This thesis proposes a numerical model that allows the simulation of the behavior of granular materials exhibiting grain breakage. To take into account the discrete nature of these media, the discrete element method is chosen. The adopted strategy is the Non-Smooth Contact Dynamics method, where grains are considered to be rigid. To generate blocks having complex shapes, a 3D grain model is suggested. This grain model is then discretized into tetrahedral subgrains, joined together using cohesive bonds so that breakage can be simulated. A Mohr-Coulomb failure criterion is used for the cohesive bonds. The model is implemented into the LMGC90 software platform. At first, the model is tested in single grain crushing simulations between two plates. Multiple parameters controling the strength of the grain are studied : the intra-granular cohesion, the size, the discretization and the orientation of the grain. The scale effect that characterizes this type of material is verified. Then the model is tested in numerical simulations of œdometric compression of rockfill. The influence of the parameters of the model and of those of the granular medium are studied. The results of œdometric simulations are compared to experimental results, and present a good agreement. Lastly, numerical experimentations are conducted in order to study the energies that are brought into play in the simulations. The surface creation energy is estimated for this type of material. Results are close to the data provided in the literature.

Cette thèse s'inscrit dans le domaine des probabilités et des statistiques, et plus précisément des matrices aléatoires. Dans la première partie, on étudie les grandes déviations de la mesure spectrale de matrices de covariance $XX^*$, où $X$ est une matrice aléatoire rectangulaire à coefficients i.i.d. ayant une queue de probabilité en $exp(-at^{alpha})$, $alpha in ]0,2[$. On établit un principe de grandes déviations analogue à celui de Bordenave et Caputo, de vitesse $n^{1+alpha/2}$ et de fonction de taux explicite faisant intervenir la convolution libre rectangulaire. La démonstration repose sur un résultat de quantification de la liberté asymptotique dans le modèle information-plus-bruit. La seconde partie de cette thèse est consacrée à l'étude du comportement en temps long de la solution de l'équation de Fokker-Planck libre en présence du potentiel quartique $V(x) = frac14 x^4 + frac{c}{2} x^2$ avec $c ge -2$. On montre que quand $t to +infty$, la solution $mu_t$ de cette équation aux dérivées partielles converge en distance de Wasserstein vers la mesure d'équilibre associée au potentiel $V$. Ce résultat fournit un premier exemple de convergence en temps long de la solution de l'équation des milieux granulaires en présence d'un potentiel non convexe et d'une interaction logarithmique. Sa démonstration utilise notamment des techniques de probabilités libres. / This thesis lies within the field of probability and statistics, and more precisely of random matrix theory. In the first part, we study the large deviations of the spectral measure of covariance matrices XX*, where X is a rectangular random matrix with i.i.d. coefficients having a probability tail like $exp(-at^{alpha})$, $alpha in (0,2)$. We establish a large deviation principle similar to Bordenave and Caputo's one, with speed $n^{1+alpha/2}$ and explicit rate function involving rectangular free convolution. The proof relies on a quantification result of asymptotic freeness in the information-plus-noise model. The second part of this thesis is devoted to the study of the long-time behaviour of the solution to free Fokker-Planck equation in the setting of the quartic potential $V(x) = frac14 x^4 + frac{c}{2} x^2$ with $c ge -2$. We prove that when $t to +infty$, the solution $mu_t$ to this partial differential equation converge in Wasserstein distance towards the equilibrium measure associated to the potential $V$. This result provides a first example of long-time convergence for the solution of granular media equation with a non-convex potential and a logarithmic interaction. Its proof involves in particular free probability techniques.

Ce mémoire de thèse est consacré à l’équation de Fokker-Planckpartial_ f=∆f+div(Ef).Il est subdivisé en deux parties :une partie linéaire et une partie non linéaire. Dans la partie linéaire on considère un champ de vecteur E(x) dépendant seulement de x. Cette partie est constituée des chapitres 3, 4 et 5. Dans le chapitre 3 on montre que l’opérateur linéaire Lf :=∆ f + div(E f ) est le générateur d’un semi-groupe fortement continu (SL(t))_{t≥0} dans tous les espaces L^p. On y établit également que le semi-groupe (SL(t))_{t≥0} est positif et ultracontractif. Dans le chapitre 4 nous montrons comment est qu’une décomposition adéquate de l’opérateur L permet d’établir certaines propriétés du semi-groupe (SL(t))_{t≥0} notamment sa bornitude. Le chapitre 5 est consacré à l’existence d’un état d’équilibre. De plus on y montre que cet état d’équi- libre est asymptotiquement stable. Dans la partie non linéaire on considère un champ de vecteur de la forme E(x,f) := x+nabla (a*f) ou a et f sont des fonctions assez régulières et * est l’opérateur de convolution. Cette parties est contituée des chapitre 6 et 7. Dans le chapitre 6 nous établissons que poura appartenant à W^{2,infini}_locl’équation de Fokker-Planck non linéaire admet une unique solution locale dans l’espace L^2_{K_alpha} (R^d). Dans le dernier chapitre nous montrons que le problème non linéaire admet une solution globale. De plus cette solution dépend continument des données. / This thesis is devoted to the Fokker-Planck équation partial_t f =∆f + div(E f).It is divided into two parts. The rst part deals with the linear problem. In this part we consider a vector E(x) depending only on x. It is composed of chapters 3, 4 and 5. In chapter 3 we prove that the linear operator Lf :=∆f + div(Ef ) is an in nitesimal generator of a strong continuous semigroup (SL(t))_{t≥0}. We establish also that (SL(t))_{t≥0} is positive and ultracontractive. In chapter 4 we show how an adequate decomposition of the linear operator L allows us to deduce interesting properties for the semigroup (SL(t))_{t≥0}. Indeed using this decomposition we prove that (SL(t))_{t≥0} is a bounded semigroup. In the last chapter of this part we establish that the linear Fokker-Planck admits a unique steady state. Moreover this stationary solution is asymptotically stable.In the nonlinear part we consider a vector eld of the form E(x, f ) := x +nabla (a *f ), where a and f are regular functions. It is composed of two chapters. In chapter 6 we establish that fora in W^{2,infini}_locthe nonlinear problem has a unique local solution in L^2_{K_alpha}(R^d); . To end this part we prove in chapter 7 that the nonlinear problem has a unique global solution in L^2_k(R^d). This solution depends continuously on the data.