The Cauchy–Riemann equations admit a bilinear multiplication of solutions, since the product of two holomorphic functions is again holomorphic. This multiplication plays the role of a nonlinear superposition principle for solutions, allowing for construction of new solutions from already known ones, and it leads to the exceptional property of the Cauchy–Riemann equations that all solutions can locally be built from power series of a single solution z = x + iy ∈ C. In this thesis we have found a differential algebraic characterization of linear first order systems of partial differential equations admitting a bilinear ∗-multiplication of solutions, and we have determined large new classes of systems having this property. Among them are the already known quasi-Cauchy–Riemann equations, characterizing integrable Newton equations, and the gradient equations ∇f = M∇g with constant matrices M. A systematic description of linear systems of PDEs with variable coefficients have been given for systems with few independent and few dependent variables. An important property of the ∗-multiplication is that infinite families of solutions can be constructed algebraically as power series of known solutions. For the equation ∇f = M∇g it has been proved that the general solution, found by Jodeit and Olver, can be locally represented as convergent power series of a single simple solution similarly as for solutions of the Cauchy–Riemann equations.

Thesis (Ph. D.)--University of Washington, 1999. / Vita. Includes bibliographical references (leaves 42-43).

Orientador: Jorge Tulio Mujica Ascui / Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matematica, Estatistica e Computação Cientifica / Made available in DSpace on 2018-08-08T04:55:28Z (GMT). No. of bitstreams: 1 BerriosYana_SoniaSarita_D.pdf: 951582 bytes, checksum: eb4f2207b2bb049f8b5c1e264d96ec85 (MD5) Previous issue date: 2007 / Resumo: Sejam E e F espaços de Banach complexos, e seja U um aberto em E. Neste trabalho estudamos os subespaços Hwu(U; F), Hw(U; F), Hwsc(U; F) e HwC(U; F) de H(U; F). Mais especificamente, se U é aberto equilibrado caracterizamos funções destes subespaços em termos de condições de equicontinuidade dos polinômios da série de Taylor. Estudamos sob que condições estes subespaços coincidem, estendendo assim os resultados dados em Aron, Herves e Valdivia [2] ao caso de abertos equilibrados. Se E tem uma base contrátil e incondicional, e U é uma bola aberta em E mostramos que cada função holomorfa f : U 'seta' F que é limitada nos conjuntos fracamente compactos U-limitados é limitada nos conjuntos U-limitados. Consequentemente, Hw(U; F) = Hwu(U; F) / Abstract: Let E and F be complex Banach spaces, and let U be an open set in E. In this work we study the subspaces Hwu(U; F), Hw(U; F), Hwsc(U; F) and HwC(U; F) of H(U; F). More specifically, if U is a balanced open set we characterize functions of these subespaces in terms of equicontinuity conditions of the polynomials in the Taylor series. We study under which conditions these subspaces coincide, and then we extend the results given in Aron, Herves and Valdivia [2] to the case of balanced open sets. If E has a shrinking and unconditional basis, and U is an open ball in E we show that each holomorphic function f : U 'seta' F that is bounded on weakly compact U-bounded sets is bounded on U-bounded sets. Consequently, Hw(U; F) = Hwu(U; F) / Doutorado / Doutor em Matemática

Orientador: Jorge Tulio Mujica Ascui / Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática Estatística e Computação Científica / Made available in DSpace on 2018-08-26T17:26:19Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Alves_ThiagoRodrigo_D.pdf: 734025 bytes, checksum: 298106a4813934e730d61824cffa0a7b (MD5) Previous issue date: 2015 / Resumo: Seja U um domínio de existência de um espaço localmente convexo. O principal objetivo da tese é estudar o conjunto E(U) constituído pelas funções holomorfas f : U --> C tais que U é o domínio de existência de f. Mais especificamente, é verificado que sob certas condições o conjunto E(U) contém variadas estruturas algébricas. Ressalta-se que a meta não é apenas demonstrar a existência de diferentes estruturas lineares/algébricas inseridas em E(U), mas também constatar que essas estruturas são em certo sentido "grandes''. Num primeiro momento o estudo é centrado nas funções holomorfas definidas em abertos de um espaço de Banach separável. Posteriormente, sairemos do contexto de espaços de Banach para iniciarmos o estudo das funções holomorfas definidas em abertos de espaços DFC, os quais se restringirão àqueles espaços da forma E = F'_c com F espaço de Fréchet separável / Abstract: Let U be a domain of existence of a locally convex space. In this thesis we study the set E(U) of all holomorphic functions f : U --> C such that U is the domain of existence of f. More specifically, we will see that under some hypotheses there are several algebraic structures inside the set E(U). Our goal is not only to prove the existence of distinct linear/algebraic structures in E(U), but also to show that these structures are in some way "large''. First we study the algebra of the holomorphic functions whose domains are open subsets of separable Banach spaces. Next we investigate the algebra of the holomorphic functions whose domains are open subsets of DFC spaces, which are in turn restricted to spaces of the form E = F'_c with F a separable Fréchet space / Doutorado / Matematica / Doutor em Matemática

Este trabalho tem como principal objetivo estudar extensões de aplicações multilineares, de polinômios homogêneos e de funções analíticas entre espaços de Banach. Desta maneira, nos baseamos em importantes trabalhos sobre o assunto. Inicialmente apresentamos o produto de Arens para álgebras de Banach, extensões de Aron-Berner e de Davie-Gamelin para aplicações multilineares e provamos que todas estas extensões coincidem. A partir destes resultados, apresentamos a extensão de polinômios homogêneos e o Teorema de Davie-Gamelin que afirma que, assim como no caso de aplicações multilineares, as extensões de polinômios preservam a norma e, como consequência deste teorema, apresentamos uma generalização do Teorema de Goldstine. Em seguida estudamos espaços de Banach regulares e simetricamente regulares, que são propriedades relacionadas com a unicidade de extensão e são definidas a partir do ideal de operadores lineares fracamente compactos K^w(E, F) . Finalmente apresentamos a extensão de uma função de H_b(E) para H_b(E\'\') e o resultado, de Ignacio Zalduendo, que caracteriza esta extensão em termos da continuidade fraca-estrela do operador diferencial de primeira ordem. / The main purpose of this work is to study extensions of multilinear mappings, homogeneous polynomials and analytic functions between Banach Spaces. In this way, we rely on important works on the subject. Firstly we present the Arens-product for Banach algebras, the Aron-Berner and Davie-Gamelin extensions for multilinear mappings and we prove that all these extensions are the same. From these results, we present an extension for homogeneous polynomials and the Davie-Gamelin theorem which asserts that, as in the case of multilinear mappings, the polynomial extension is norm-preserving and, as a consequence of this theorem, we present a generalization of the Goldstine theorem. After that we study regular and symmetrically regular Banach spaces which are properties related to the uniqueness of the extension and are defined in the setting of weakly compact linear operators K^w(E, F) . Lastly, we present the extension of a function of H_b(E) to one in H_b(E\'\') and the result, according to Ignacio Zalduendo, which characterizes this extension in terms of weak-star continuity of the first order differential operator.

Orientador: Alice Kimie Miwa Libardi / Banca: João Peres Vieira / Banca: Gerson Petronilho / Resumo: O objetivo desta dissertação é apresentar uma abordagem cohomológica do Teorema de Cauchy e alguns resultados equivalentes a que um subconjunto aberto e conexo de C seja simplesmente conexo. Ressaltamos que um dos objetivos desta dissertação, inserida no Mestrado Profissional, Matemática Universitária, é estabelecer uma conexão entre as diversas áreas da Matemática, dando uma visão global da mesma, necessária ao professor universitário. Desta forma, o tema escolhido "Teorema de Cauchy"é um assunto visto na graduação, porém a abordagem usando grupos de cohomologia, números de voltas, espaços de recobrimento, feixes de germes de funções holomorfas, contribuem para o enriquecimento da formação da mestranda / Abstract: In this work we present a cohomological approach of the Cauchy's Theorem and also present several characterizations of simply connected domains of C / Mestre

Este trabalho tem como principal objetivo estudar extensões de aplicações multilineares, de polinômios homogêneos e de funções analíticas entre espaços de Banach. Desta maneira, nos baseamos em importantes trabalhos sobre o assunto. Inicialmente apresentamos o produto de Arens para álgebras de Banach, extensões de Aron-Berner e de Davie-Gamelin para aplicações multilineares e provamos que todas estas extensões coincidem. A partir destes resultados, apresentamos a extensão de polinômios homogêneos e o Teorema de Davie-Gamelin que afirma que, assim como no caso de aplicações multilineares, as extensões de polinômios preservam a norma e, como consequência deste teorema, apresentamos uma generalização do Teorema de Goldstine. Em seguida estudamos espaços de Banach regulares e simetricamente regulares, que são propriedades relacionadas com a unicidade de extensão e são definidas a partir do ideal de operadores lineares fracamente compactos K^w(E, F) . Finalmente apresentamos a extensão de uma função de H_b(E) para H_b(E\'\') e o resultado, de Ignacio Zalduendo, que caracteriza esta extensão em termos da continuidade fraca-estrela do operador diferencial de primeira ordem. / The main purpose of this work is to study extensions of multilinear mappings, homogeneous polynomials and analytic functions between Banach Spaces. In this way, we rely on important works on the subject. Firstly we present the Arens-product for Banach algebras, the Aron-Berner and Davie-Gamelin extensions for multilinear mappings and we prove that all these extensions are the same. From these results, we present an extension for homogeneous polynomials and the Davie-Gamelin theorem which asserts that, as in the case of multilinear mappings, the polynomial extension is norm-preserving and, as a consequence of this theorem, we present a generalization of the Goldstine theorem. After that we study regular and symmetrically regular Banach spaces which are properties related to the uniqueness of the extension and are defined in the setting of weakly compact linear operators K^w(E, F) . Lastly, we present the extension of a function of H_b(E) to one in H_b(E\'\') and the result, according to Ignacio Zalduendo, which characterizes this extension in terms of weak-star continuity of the first order differential operator.

University of Macau / Faculty of Science and Technology / Department of Mathematics

Made available in DSpace on 2014-06-11T19:24:55Z (GMT). No. of bitstreams: 0 Previous issue date: 2010-05-04Bitstream added on 2014-06-13T18:06:54Z : No. of bitstreams: 1 silva_l_me_rcla.pdf: 767647 bytes, checksum: 77c93a6aec1e31ebbe544fac7c6cb314 (MD5) / O objetivo desta dissertação é apresentar uma abordagem cohomológica do Teorema de Cauchy e alguns resultados equivalentes a que um subconjunto aberto e conexo de C seja simplesmente conexo. Ressaltamos que um dos objetivos desta dissertação, inserida no Mestrado Profissional, Matemática Universitária, é estabelecer uma conexão entre as diversas áreas da Matemática, dando uma visão global da mesma, necessária ao professor universitário. Desta forma, o tema escolhido Teorema de Cauchyé um assunto visto na graduação, porém a abordagem usando grupos de cohomologia, números de voltas, espaços de recobrimento, feixes de germes de funções holomorfas, contribuem para o enriquecimento da formação da mestranda / In this work we present a cohomological approach of the Cauchy’s Theorem and also present several characterizations of simply connected domains of C

Orientador: Mario Carvalho de Matos / Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matematica, Estatistica e Computação Cientifica / Made available in DSpace on 2018-08-10T04:31:29Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Favaro_ViniciusVieira_D.pdf: 758368 bytes, checksum: 1618ae17ed57109a9f307089c59fdbb6 (MD5) Previous issue date: 2007 / Resumo: Neste trabalho introduzimos os espaços de funções (s , m (r , q))-somantes de um dado tipo e uma dada ordem, definidas em E, e os espaços de funções (s; (r; q))-quase-nucleares de um dado tipo e uma dada ordem, definidas em E, e provamos que a transformada de Fourier-Borel identica o dual do espaço de funções (s ; (r' , q'))-quase-nucleares de um dado tipo e uma dada ordem, definidas em E, com o espaço de funções (s';m (r' , q'))-somantes de um correspondente tipo e uma correspondente ordem, definidas em E'. Provamos também teoremas de divisão para funções (s ; m (r , q))-somantes de um dado tipo e uma dada ordem e teoremas de divisão envolvendo a transformada de Fourier-Borel. Como consequencia, provamos resultados de existência e aproximação de soluções de equações de convulção nos espaços de funções (s; (r , q))-quase-nucleares de um dado tipo e uma dada ordem / Abstract: In this work we introduce the spaces of (s; m (r , q))-summing functions of a given type and order defined in E, and the spaces of (s; (r, q))-quasi-nuclear functions of a given type and order defined in E, and we prove that the Fourier-Borel transform identify the dual of the space of (s; (r; q))-quasi-nuclear functions of a given type and order defined in E, with the space of (s' ; m (r'; q'))-summing functions of a corresponding type and order defined in E'. We also prove division theorems for (s; m (r; q))-summing functions of a given type and order and division theorems involving the Fourier-Borel transform. As a consequence we prove the existence and approximation results for convolution equations on the spaces of (s; (r; q))-quasi-nuclear functions of a given type and order / Doutorado / Analise Funcional / Doutor em Matemática