Le retard est un phénomène naturel présent dans la majorité des systèmes physiques et dans les applications d’ingénierie, ainsi, les systèmes à retard ont été un domaine de recherche très actif en automatique durant les 60 dernières années. La conception d’observateur est un des sujets les plus importants qui a été étudié, ceci est dû à l’importance des observateurs en automatique et dans les systèmes de commande en absence de capteur pour mesurer une variable. Dans ce travail, l’objectif principal est de concevoir des observateurs pour différentes classes de systèmes à retard avec un retard arbitrairement large, et ce en utilisant différentes approches. Dans la première partie de cette thèse, la conception d’un observateur a été réalisée pour une classe de systèmes non linéaires triangulaires avec une sortie échantillonnée et un retard arbitraire. Une l’autre difficulté majeure avec cette classe de systèmes est le fait que la matrice d’état dépend du signal de sortie non-retardé qui est immesurable. Un nouvel observateur en chaine, composé de sous-observateurs en série est conçu pour compenser les retards arbitrairement larges. Dans la seconde partie de ce travail, un nouvel observateur a été conçu pour un autre type de systèmes non linéaires triangulaires, où le retard a été considéré, cette fois-ci, comme une équation aux dérivées partielles de type hyperbolique du premier ordre. La transformation inverse en backstepping et le concept de l’observateur en chaine ont été utilisés lors de la conception de cet observateur afin d’assurer son efficacité en cas de grands retards. Dans la dernière partie de cette thèse, la conception d’un nouvel observateur a été réalisée pour un type de système modélisé par des équations paraboliques non linéaires où les mesures sont issues d’un nombre fini de points du domaine spatial. Cet observateur est constitué d’une série de sous-observateurs en chaine. Chaque sous-observateur compense une fraction du retard global. L'analyse de la stabilité des systèmes d’erreur a été fondée sur différentes fonctionnelles Lyapunov-Krasovskii. Par ailleurs, différents instruments mathématiques ont été employés au cours des différentes preuves présentées. Les résultats de simulation ont été présentés dans le but de confirmer l'exactitude des résultats théoriques / Time-delay is a natural phenomenon that is present in most physical systems and engineering applications, thus, delay systems have been an active area of research in control engineering for more than 60 years. Observer design is one of the most important subject that has been dealt with, this is due to the importance of observers in control engineering systems not only when sensing is not sufficient but also when a sensing reliability is needed. In this work, the main goal was to design observers for different classes of nonlinear delayed systems with an arbitrary large delay, using different approaches. In the first part, the problem of observer design is addressed for a class of triangular nonlinear systems with not necessarily small delay and sampled output measurements. Another major difficulty with this class of systems is the fact that the state matrix is dependent on the un-delayed output signal which is not accessible to measurement. A new chain observer, composed of sub-observers in series, is designed to compensate for output sampling and arbitrary large delays.In the second part of this work, another kind of triangular nonlinear delayed systems was considered, where this time the delay was considered as a first order hyperbolic partial differential equation. The inverse backstepping transformation was invoked and a chain observer was developed to ensure its effectiveness in case of large delays. Finally, a new observer was designed for a class of nonlinear parabolic partial differential equations under point measurements, in the case of large delays. The observer was composed of several chained sub-observers. Each sub-observer compensates a fraction of the global delay. The stability analyses of the error systems were based on different Lyapunov-Krasovskii functionals. Also different mathematical tools have been used in order to prove the results. Simulation results were presented to confirm the accuracy of the theoretical results

Les principales contributions de cette thèse concernent le développement de méthodes pour la synthèse de contrôleurs et pour l'analyse de la stabilité des systèmes linéaires, soit variant ou invariant dans le temps. Concernant les systèmes invariant dans le temps, le but est la synthèse de contrôleurs robustes d'ordre réduit pour les systèmes en temps continu qui présentent des paramètres incertains. La méthode présentée pour la synthèse est basée sur une technique en deux étapes, où un gain de retour d'état est construit dans la première étape, et appliqué à la deuxième, fournissant le contrôleur robuste souhaité. Chaque étape consiste à la résolution de conditions sous la forme d'inégalités matricielles linéaires.Dans le cas des systèmes variant dans le temps, en général, en fonction des informations disponibles, deux modèles mathématiques peuvent être utilisés. D'un côté, pour des systèmes dont les éléments variant dans le temps sont bornés mais pas complètement connus, on peut utiliser des modèles dépendant de paramètres variants, ce qui donne une représentation polytopique. Dans ce cas là, la technique de stabilisation proposée est basée sur la méthode en deux étapes, pour générer des contrôleurs dépendants des paramètres. On suppose que les paramètres sont mesurables en ligne, et les contrôleurs sont synthétisés pour qu'ils soient robustes à des bruits de mesures. De l'autre côté, si les dynamiques variantes dans le temps sont connues, on peut traiter directement le système sans utiliser aucune paramétrisation. Deux techniques de synthèse sont proposées pour ce cas: la construction des gains stabilisants en utilisant directement la matrice de transition d'état, et une technique de synthèse conçue à partir d'un nouveau critère de vérification de la stabilité du système. La validité des méthodes proposées est illustrée par plusieurs exemples numériques, qui montrent la qualité des résultats qui peuvent être obtenus / The main contributions of this thesis concern the development of methods for the stability analysis and the synthesis of controllers for linear systems, either time-varying or time-invariant. Concerning time-invariant systems, the objective is the synthesis of reduced-order robust controllers for continuous-time systems presenting uncertain parameters. The method presented for the synthesis is based on a two-stages technique, in which a stabilizing state-feedback gain is constructed in the first stage and then applied on the second stage to search for the desired controller. Each stage consists in the resolution of conditions based on linear matrix inequalities. In the case of time-varying systems, depending on the amount of available information, twomathematical models may be used. On one hand, if the time-varying elements of the system are not entirely known, one can model the system as function of time-varying parameters, resulting on a polytopic representation. In this case, the stabilization method proposed is based on the two-stages technique, which yields parameter-dependent controllers. The parameters are supposed to be real-time measurable, and the controllers are robust with respect to noises and uncertainties on the measures. On the other hand, if the time-varying dynamics are known, the system may be directly handled without using any parameterization. Two synthesis techniques are proposed in this case: the construction of stabilizing gains by using the state transition matrix, and a synthesis technique derived from a new stability criterion for time-varying systems. The validity of the proposed methods is illustrated through numerical examples, that show the efficiency of the results that can be obtained

Dans cette thèse, nous nous intéressons à l'étude des structures déterminantielles apparaissent dans l'optimisation semi-définie (SDP), le prolongement naturel de la programmation linéaire au cône des matrices symétrique semi-définie positives. Si l'approximation d'une solution d'un programme semi-défini peut être calculé efficacement à l'aide des algorithmes de points intérieurs, ni des algorithmes exacts efficaces pour la SDP sont disponibles, ni une compréhension complète de sa complexité théorique a été atteinte. Afin de contribuer à cette question centrale en optimisation convexe, nous concevons un algorithme exact pour décider la faisabilité d'une inégalité matricielle linéaire (LMI) $A(x)\succeq 0$. Quand le spectraèdre associé (le lieu $\spec$ des $x \in \RR^n$ ou $A(x)\succeq 0$) n'est pas vide, la sortie de cet algorithme est une représentation algébrique d'un ensemble fini qui contient au moins un point $x \in \spec$: dans ce cas, le point $x$ minimise le rang de $A(x)$ sur $\spec$. La complexité est essentiellement quadratique en le degré de la représentation en sortie, qui coïncide, expérimentalement, avec le degré algébrique de l'optimisation semi-définie. C'est un garantie d'optimalité de cette approche dans le contexte des algorithmes exacts pour les LMI et la SDP. Remarquablement, l'algorithme ne suppose pas la présence d'un point intérieur dans $\spec$, et il profite de l'existence de solutions de rang faible de l'LMI $A(x)\succeq 0$. Afin d'atteindre cet objectif principal, nous développons une approche systématique pour les variétés déterminantielles associées aux matrices linéaires. Nous prouvons que décider la faisabilité d'une LMI $A(x)\succeq 0$ se réduit à calculer des points témoins dans les variétés déterminantielles définies sur $A(x)$. Nous résolvons ce problème en concevant un algorithme exact pour calculer au moins un point dans chaque composante connexe réelle du lieu des chutes de rang de $A(x)$. Cet algorithme prend aussi avantage des structures supplémentaires, et sa complexité améliore l'état de l'art en géométrie algébrique réelle. Enfin, les algorithmes développés dans cette thèse sont implantés dans une nouvelle bibliothèque Maple appelé Spectra, et les résultats des expériences mettant en évidence la meilleure complexité sont fournis. / In this thesis we focus on the study of determinantal structures arising in semidefinite programming (SDP), the natural extension of linear programming to the cone of symetric positive semidefinite matrices. While the approximation of a solution of a semidefinite program can be computed efficiently by interior-point algorithms, neither efficient exact algorithms for SDP are available, nor a complete understanding of its theoretical complexity has been achieved. In order to contribute to this central question in convex optimization, we design an exact algorithm for deciding the feasibility of a linear matrix inequality (LMI) $A(x) \succeq 0$. When the spectrahedron $\spec = \{x \in \RR^n \mymid A(x) \succeq 0\}$ is not empty, the output of this algorithm is an algebraic representation of a finite set meeting $\spec$ in at least one point $x^*$: in this case, the point $x^*$ minimizes the rank of the pencil on the spectrahedron. The complexity is essentially quadratic in the degree of the output representation, which meets, experimentally, the algebraic degree of semidefinite programs associated to $A(x)$. This is a guarantee of optimality of this approach in the context of exact algorithms for LMI and SDP. Remarkably, the algorithm does not assume the presence of an interior point in the spectrahedron, and it takes advantage of the existence of low rank solutions of the LMI. In order to reach this main goal, we develop a systematic approach to determinantal varieties associated to linear matrices. Indeed, we prove that deciding the feasibility of a LMI can be performed by computing a sample set of real solutions of determinantal polynomial systems. We solve this problem by designing an exact algorithm for computing at least one point in each real connected component of the locus of rank defects of a pencil $A(x)$. This algorithm admits as input generic linear matrices but takes also advantage of additional structures, and its complexity improves the state of the art in computational real algebraic geometry. Finally, the algorithms developed in this thesis are implemented in a new Maple library called {Spectra}, and results of experiments highlighting the complexity gain are provided.

Les études menées permettent d’étendre la méthodologie de commande H∞ aux modèles décrits par des équations différentielles faisant intervenir des ordres de dérivation non entiers. Deux approches sont proposées. La première consiste à réécrire le modèle non entier comme un modèle entier incertain afin de pouvoir utiliser les méthodes de commande H∞ développées pour les modèles entiers. La seconde approche consiste à développer des conditions LMI spécifiques aux modèles non entiers à partir de leur pseudo représentation d’état. Ces deux approches sont appliquées à l’isolation vibratoire d’un pont. / The general theme of the work enables to extend H∞ control methodology to fractional order models. Two approaches are proposed. The first one consists in rewriting the fractional order model as an uncertain integer order model in order to use existing H∞ control methods for integer order models. The second approach consists in developing specific LMI conditions for fractional order models based on their pseudo state space representation. These two approaches are applied to the vibratory isolation of a bridge.

Cette thèse est dédiée à l’analyse de stabilité des systèmes non linéaires sous échantillonnage variant avec le temps. Lors de l’implémentation numérique d’un contrôleur qui est calculé en temps-continu (approche par émulation), il est d'un grand intérêt de fournir des critères de stabilité et d’estimer la borne supérieure de l’intervalle d’échantillonnage qui garantit la stabilité du système en temps discret. Plusieurs travaux récents ont abordé ces questions dans le cas de modèles linéaires, mais la question a rarement été abordée dans une étude quantitative et formelle pour les systèmes non linéaires.Tout d'abord, le mémoire présente un aperçu sur les systèmes échantillonnés. Les défis et les principales méthodes pour l'analyse de stabilité sont présentés pour le cas des systèmes linéaires invariants dans le temps et celui des systèmes non linéaires. Ensuite, l’analyse de la stabilité locale des systèmes bilinéaires échantillonnés contrôlés par un retour d'état linéaire est considérée. Deux approches sont utilisées, la première basée sur la théorie des systèmes hybrides, la seconde basée sur l’analyse des ensembles invariants contractants. Cette dernière approche est inspirée par la théorie de la dissipativité. L’ensemble de ces résultats conduisent à des conditions suffisantes de stabilité exprimées sous forme LMI.Enfin, les conditions de stabilité basées sur la dissipativité sont étendues au cas des systèmes non linéaires affines en l'entrée. Les résultats sont ensuite repris dans le cas spécifique des systèmes non linéaires polynomiaux où les conditions de stabilité sont vérifiées numériquement en utilisant la décomposition en somme des carrés (SOS). / This PhD thesis is dedicated to the stability analyzis of nonlinear systems under sampled-data control, with arbitrarily time-varying sampling intervals. When a controller is designed in continuous-time, and then implemented digitally (emulation approach), it is of great interest to provide stability criteria, and to estimate the bound on the sampling intervals which guarantees the stability of the sampled-data system. Whereas several works deal with linear models, the issue has been rarely addressed in a formal quantitative study in the nonlinear case.First, an overview on sampled-data control is presented. Challenges and main methodologies for stability analysis are presented for both the linear time-invariant and the nonlinear cases.Then, local stability of bilinear sampled-data systems controlled by a linear state feedback is considered by using two approaches: the first one is based on hybrid systems theory; the second one is based on the analyzis of contractive invariant sets and is inspired by the dissipativity theory. Both approaches provide sufficient stability conditions in the form of LMI.Finally, the dissipativity–based stability conditions are extended for the more general case of nonlinear systems which are affine in the input, including the case of polynomial systems which leads to conditions in the form of sum of squares (SOS).

Le réseau mobile d’Orange France comprend plus de 100 000 antennes 2G, 3G et 4G sur plusieurs bandes de fréquences sans compter les nombreuses femto-cells fournies aux clients pour résoudre les problèmes de couverture. Ces chiffres ne feront que s’accroître pour répondre à la demande sans cesse croissante des clients pour les données mobiles. Cela illustre le défi énorme que rencontrent les opérateurs de téléphonie mobile en général à savoir gérer un réseau aussi complexe tout en limitant les coûts d’opération pour rester compétitifs. Cette thèse s’attache à utiliser le concept SON (réseaux auto-organisants) pour réduire cette complexité en automatisant les tâches répétitives ou complexes. Plus spécifiquement, nous proposons des algorithmes d’optimisation automatique pour des scénarios liés à la densification par les small cells ou les antennes actives. Nous abordons les problèmes classiques d’équilibrage de charge mais avec un lien backhaul à capacité limitée et de coordination d’interférence que ce soit dans le domaine temporel (notamment avec le eICIC) ou le domaine fréquentiel. Nous proposons aussi des algorithmes d’activation optimale de certaines fonctionnalités lorsque cette activation n’est pas toujours bénéfique. Pour la formulation mathématique et la résolution de tous ces algorithmes, nous nous appuyons sur les résultats de l’approximation stochastique et de l’optimisation convexe. Nous proposons aussi une méthodologie systématique pour la coordination de multiples fonctionnalités SON qui seraient exécutées en parallèle. Cette méthodologie est basée sur les jeux concaves et l’optimisation convexe avec comme contraintes des inégalités matricielles linéaires. / The mobile network of Orange in France comprises more than 100 000 2G, 3G and 4G antennas with severalfrequency bands, not to mention many femto-cells for deep-indoor coverage. These numbers will continue toincrease in order to address the customers’ exponentially increasing need for mobile data. This is an illustrationof the challenge faced by the mobile operators for operating such a complex network with low OperationalExpenditures (OPEX) in order to stay competitive. This thesis is about leveraging the Self-Organizing Network(SON) concept to reduce this complexity by automating repetitive or complex tasks. We specifically proposeautomatic optimization algorithms for scenarios related to network densification using either small cells orActive Antenna Systems (AASs) used for Vertical Sectorization (VeSn), Virtual Sectorization (ViSn) and multilevelbeamforming. Problems such as load balancing with limited-capacity backhaul and interference coordination eitherin time-domain (eICIC) or in frequency-domain are tackled. We also propose optimal activation algorithms forVeSn and ViSn when their activation is not always beneficial. We make use of results from stochastic approximationand convex optimization for the mathematical formulation of the problems and their solutions. We also proposea generic methodology for the coordination of multiple SON algorithms running in parallel using results fromconcave game theory and Linear Matrix Inequality (LMI)-constrained optimization.