Neste trabalho apresentamos a classificação algébrica e geométrica das álgebras de Jordan de dimensões pequenas sobre um corpo $k$ algebricamente fechado de $char k eq 2$ e sobre o corpo dos números reais. A classificação algébrica foi realizada de duas maneiras: a menos de isomorfismos e a menos de isotopias. Enquanto que a classificação geométrica foi feita estudando as variedades de álgebras de Jordan $Jor_$ para $n \\leq 4$ e $JorR_$ para $n\\leq 3$. Provamos que $Jor_$ tem 73 órbitas sob a ação de $GL(V)$ e que é a união dos fechos de Zariski das órbitas de 10 álgebras rígidas, cada um dos quais corresponde a uma componente irredutível. Analogamente, mostramos que $JorR_$ tem 26 órbitas e é a união dos fechos de Zariski das órbitas de 8 álgebras rígidas. Também obtivemos que o número de componentes irredutíveis em $Jor_$ é $\\geq 26$. Construímos ainda três famílias de álgebras rígidas não associativas, não semisimples e indecomponíveis as quais correspondem a componentes irredutíveis de $Jor_$ e $JorR_$ para todo $n\\geq 5$. / In this work we present the algebraic and geometric classification of Jordan algebras of small dimensions over an algebraically closed field $k$ of $char k eq 2$ and over the field of real numbers. The algebraic classification was accomplished in two ways: up to isomorphism and up to isotopy. On the other hand, the geometric classification was obtained studying the varieties of Jordan algebras $Jor_$ for $n\\leq4$ and $JorR_$ for $n\\leq3$. We prove that $Jor_$ has 73 orbits under the action of $GL(V)$ and it is the union of Zariski closures of the orbits of 10 rigid algebras, each of which corresponds to one irreducible component. Analogously, we show that $JorR_$ has 26 orbits and is the union of Zariski closures of the orbits of 8 rigid algebras. Also we obtain that the number of irreducible components in $Jor_$ is $\\geq26$. We construct three families of indecomposable non-semisimple, non-associative rigid algebras which for any $n\\geq5$, correspond to irreducible components of $Jor_$ and $JorR_$.

Em Artin (1925), Artin introduziu o estudo do grupo de tranças, o qual está intimamente relacionado ao estudo de nós e enlaçamentos. Em seu outro artigo Theory of Braids Artin (1947), ele questionou se as noções de isotopia e homotopia de tranças são as mesmas ou diferentes. Tal questão foi respondida muito mais tarde em Goldsmith (1974), onde a autora apresenta um exemplo de trança que é homotópica à trança trivial mas não é equivalente à trança trivial, caracterizando, além disso, o grupo de classes de homotopia de tranças puras no disco como um certo quociente do grupo de tranças puras original. Uma área de pesquisa mais recente nesta teoria é o estudo da ordenação destes grupos de tranças. Em Habegger e Lin (1990) os autores mostram que o grupo de classes de homotopia de tranças puras no disco é nilpotente e livre de torção. Resulta que ele é bi-ordenado. Em Yurasovskaya (2008) a autora fornece uma ordem explícita e calculável para este grupo. Neste trabalho discutiremos e apresentaremos os principais resultados neste contexto. / In Artin (1925), Artin introduced the study of braid groups, which is closely related to the study of knots and links. In his other paper Theory of Braids Artin (1947), he asked if the notions of isotopy and homotopy of braids are different or the same. Such question was answered much later in Goldsmith (1974), where the author presents an example of braid that is homotopic to the trivial braid, but it is not equivalent to the trivial braid, characterizing, beyond that, the group of homotopy classes of braids as an certain quotient of the original braid group. One more recent research area on this theory is the study of ordenation of braid groups. In Habegger e Lin (1990) the authors show that the homotopy group classes of pure braids is nilpotent and torsion free. It follows that it is bi-orderable. In Yurasovskaya (2008) the author provides one explicit and evaluable order for this group. In this work, we will discuss and present the main results involved on this context.

Neste trabalho apresentamos a classificação algébrica e geométrica das álgebras de Jordan de dimensões pequenas sobre um corpo $k$ algebricamente fechado de $char k eq 2$ e sobre o corpo dos números reais. A classificação algébrica foi realizada de duas maneiras: a menos de isomorfismos e a menos de isotopias. Enquanto que a classificação geométrica foi feita estudando as variedades de álgebras de Jordan $Jor_$ para $n \\leq 4$ e $JorR_$ para $n\\leq 3$. Provamos que $Jor_$ tem 73 órbitas sob a ação de $GL(V)$ e que é a união dos fechos de Zariski das órbitas de 10 álgebras rígidas, cada um dos quais corresponde a uma componente irredutível. Analogamente, mostramos que $JorR_$ tem 26 órbitas e é a união dos fechos de Zariski das órbitas de 8 álgebras rígidas. Também obtivemos que o número de componentes irredutíveis em $Jor_$ é $\\geq 26$. Construímos ainda três famílias de álgebras rígidas não associativas, não semisimples e indecomponíveis as quais correspondem a componentes irredutíveis de $Jor_$ e $JorR_$ para todo $n\\geq 5$. / In this work we present the algebraic and geometric classification of Jordan algebras of small dimensions over an algebraically closed field $k$ of $char k eq 2$ and over the field of real numbers. The algebraic classification was accomplished in two ways: up to isomorphism and up to isotopy. On the other hand, the geometric classification was obtained studying the varieties of Jordan algebras $Jor_$ for $n\\leq4$ and $JorR_$ for $n\\leq3$. We prove that $Jor_$ has 73 orbits under the action of $GL(V)$ and it is the union of Zariski closures of the orbits of 10 rigid algebras, each of which corresponds to one irreducible component. Analogously, we show that $JorR_$ has 26 orbits and is the union of Zariski closures of the orbits of 8 rigid algebras. Also we obtain that the number of irreducible components in $Jor_$ is $\\geq26$. We construct three families of indecomposable non-semisimple, non-associative rigid algebras which for any $n\\geq5$, correspond to irreducible components of $Jor_$ and $JorR_$.

Estudamos inicialmente resultados de classificação de difeomorfismos de produtos de esferas de mesma dimensão. Tratado isto, estudamos os mergulhos suaves de produtos de três esferas, sendo a primeira de dimensão um e as demais de dimensão maior ou igual a um, com a dimensão da última maior ou igual a da segunda, em uma esfera em codimensão um, e buscamos a total caracterização do fecho das duas componentes conexas do complementar de tais mergulhos. Tratamos com enfoque especial os mergulhos do produto de três esferas de dimensão um na esfera de dimensão quatro, e, finalmente, estudamos problemas de classificação de mergulhos PL localmente não-enodados de somas conexas de toros em codimensão um. / We study initially results of classification of difeomorfisms of Cartesian products of spheres of same dimension. Treated this, we study the smooth embeddings of cartesian products of three spheres, being the first one of dimension one and excessively of bigger or equal dimension to one, with the dimension of the last equal greater or of second, in a sphere in codimension one, and search the total characterization of the latch of the two connected components of complementing of such embeddings. We deal with special approach the embeddings of the product to three spheres to dimension one in the sphere dimension four, and, finally, we study problems of classification of PL locally unknotted embeddings of connected sums of torus on codimension one.

Estudamos inicialmente resultados de classificação de difeomorfismos de produtos de esferas de mesma dimensão. Tratado isto, estudamos os mergulhos suaves de produtos de três esferas, sendo a primeira de dimensão um e as demais de dimensão maior ou igual a um, com a dimensão da última maior ou igual a da segunda, em uma esfera em codimensão um, e buscamos a total caracterização do fecho das duas componentes conexas do complementar de tais mergulhos. Tratamos com enfoque especial os mergulhos do produto de três esferas de dimensão um na esfera de dimensão quatro, e, finalmente, estudamos problemas de classificação de mergulhos PL localmente não-enodados de somas conexas de toros em codimensão um. / We study initially results of classification of difeomorfisms of Cartesian products of spheres of same dimension. Treated this, we study the smooth embeddings of cartesian products of three spheres, being the first one of dimension one and excessively of bigger or equal dimension to one, with the dimension of the last equal greater or of second, in a sphere in codimension one, and search the total characterization of the latch of the two connected components of complementing of such embeddings. We deal with special approach the embeddings of the product to three spheres to dimension one in the sphere dimension four, and, finally, we study problems of classification of PL locally unknotted embeddings of connected sums of torus on codimension one.

O Complexo Rio Capivari (CRC) é constituído por ortognaisses migmatíticos de composições graníticas a tonalíticas e anfibolitos subordinados (magmas toleíticos) em lascas tectônicas no Terreno Embu. As composições dos gnaisses do CRC são predominantemente cálcio-alcalinas a álcali-cálcicas. Idades U-Pb em núcleos de zircão com zoneamento oscilatório indicam cristalização magmática dos protólitos em três períodos principais 2.4, 2.2-2.1 e 2.0 Ga. Idades metamórficas foram reconhecidas em bordas de zircão totalmente escuras nas imagens de catodoluminescência e variam entre 620-590 Ma. A suíte sideriana (2.4 Ga) apresenta caráter juvenil, como evidenciado pelos valores positivos de \'\'épsilon\'\'IND.Nd\' (+3.8) e \'\'épsilon\'\'IND.Hf\' (+0.3 a +4.8) e pela ausência de núcleos de zircão herdado, comumente encontrados em rochas que sofreram retrabalhamento crustal. A suíte de idades riacianas (2.2-2.1 Ga) apresenta idades modelos TDM arqueanas (2.6-3.3 Ga), valores negativos de \'\'épsilon\'\'IND.Nd\' (-12.0 a -4.0) e negativos a levemente positivos de \'\'épsilon\'\'IND.Hf\' (-7.8 a +0.5). Portanto, tais rochas derivam de retrabalhamento de reservatórios crustais antigos. A suíte de idade orosiriana (2.0 Ga) apresenta fontes mais antigas e retrabalhadas com valores altamente negativos de \'\'épsilon\'\'IND.Nd\' (-10.4) e \'\'épsilon\'\'IND.Hf\' (-1.2 a -13.6), sugerindo prolongada residência crustal com idades modelo \'T IND.DM\' e \'T IND.Hf\' >3.3 Ga. As assinaturas de elementos traços em rocha total e a química de zircão sugerem fontes máficas para o gnaisse sideriano. Reservatórios de crosta média, mas de profundidades variáveis, parecem ser a principal fonte dos gnaisses riacianos e orosirianos. Análises em diagramas tectônicos discriminantes baseados em elementos traços de rocha total com elevadas razões \'La/Yb IND.(N)\' (>10), Nb/Yb (>2) e Th/Yb (>1), somados aos valores de \'Y IND.2\'\'O IND.3\' (<3000 ppm), U/Yb (>0.5) e Nb/Yb (0.01-0.10) da química de zircão, sugerem que ambas as suítes de idades foram geradas em ambientes de arco magmático continental, mas com um gap de 200-300 Ma entre o gnaisse sideriano e os gnaisses riacianos sem dados ou informações geológicas. Perfis multielementos (elementos traços) comparativos entre representação de amostras típicas de arco continental associado à subducção de crosta oceânica (margem andina) e amostras de arcos de ilha (Ilhas Mariana) confirmam afinidade com ambiente de arco continental para o CRC, associado à subducção de placa oceânica, principalmente para o gnaisse sideriano. Apesar de pouco representativo, devido ao número de amostras (n=1), uma acresção juvenil em 2.4 Ga colabora para uma dinâmica contínua da evolução da crosta continental. O papel desempenhado pelo CRC na evolução geral do Terreno Embu permanece enigmático. Os dados isotópicos de \'\'épsilon\'\'IND.Nd(590)\' e \'ANTPOT.87 Sr\'/\'ANTPOT.88 Sr IND.(i)\' do CRC (-27.3 a -19.7 e 0.704 a 0.722, respectivamente) indicam evolução temporal não compatível com o requerido para as fontes dos granitos ediacaranos do Terreno Embu, que exigem a participação de reservatórios mais primitivos (\'\'épsilon\'\'IND.Nd(590)\' -13 a -7) e empobrecidos em Rb (\'ANTPOT.87 Sr\'/\'ANTPOT.88 Sr IND.(i)\' \'\'QUASE IGUAL A\' 0,710). / The Rio Capivari Complex (RCC) comprises migmatitic orthogneisses with granitic to tonalitic compositions and subordinate amphibolites (tholeiitic magmas), that occur in tectonics contacts within the Embu Terrane. The RCC orthogneisses are predominantly calc-alkaline to alkali-calcic. U-Pb zircon ages obtained on oscillatory zoned zircon cores indicate protolith magmatic crystallization into three main periods 2.4, 2.2-2.1 and 2.0 Ga. CL-dark zircon rims yield dates between 620-590 Ma, interpreted as metamorphic overprinting. The Siderian suite (2.4 Ga) show juvenile character, as evidenced by positive \'\'épsilon\'\'IND.Nd(t)\' (+3.8) and \'\'épsilon\'\'IND.Hf(t)\' (+0.3 to +4.8) values and absence of inherited zircon grains, commonly found in reworking crustal rocks. The Rhyacian suite (2.2-2.1 Ga) has Archean model ages (\'T IND.DM\' = 2.6-3.3 Ga), negative values of \'\'épsilon\'\'IND.Nd(t)\' (-12.0 to -4.0) and negative to slightly positive \'\'épsilon\'\'IND.Hf(t)\' values (-7.8 to +0.5). Therefore, such rocks most likely derived from reworking of older crustal reservoirs. The Orosirian suite (2.0 Ga) has even older sources with strongly negative \'\'épsilon\'\'IND.Nd(t)\' (-10.4) and \'\'épsilon\'\'IND.Hf(t)\' (-1.2 to -13.6) suggesting prolonged crustal residence time with \'T IND.DM\' and \'T IND.HF\' > 3.3 Ga. Whole-rock trace element and zircon chemistry indicate mafic sources for the Siderian suite. Middle crust reservoirs, at varying depths, appear to be the main source of the Rhyacian and Orosirian suites. According to analysis in discriminating tectonic diagrams the whole rock trace elements with high ratios \'La/Yb IND.(N)\' (> 10), Nb/Yb (> 2) and Th/Yb (> 1), added to the amounts of \'Y IND.2\'\'O IND.3\' (<3,000 ppm), U/Yb (> 0.5) and Nb/Yb (0.01 to 0.10) from zircon chemistry, suggest that all three suites were generated on continental magmatic arc environments, but with a gap of 200-300 Ma between the Siderian suite and the Rhyacian and Orosirian suites without data or geological information. Comparative multi-elements profiles (trace elements) between representation of typical continental arc samples associated with the oceanic crust subduction (Andean margin) and samples of island arcs (Mariana Islands) confirm affinity with continental arc environment for the RCC, associated with subduction oceanic plate, mainly for the Siderian suite. In spite of the small dataset, the results of this study indicate a juvenile accretion at 2.4 Ga, what suggests a continuous dynamic of continental crust evolution. The RCC role on the tectonic evolution of the Embu terrane remains enigmatic. The isotopic data \'\'épsilon\'\'IND.Nd(590)\' and \'ANTPOT.87 Sr\'/\'ANTPOT.88 Sr(i)\' of the RCC (-27.3 to -19.7 and 0.704-0.722, respectively) indicate an evolution not compatible with the sources for the Ediacaran granites of the Embu Terrane, requiring the participation of more primitive reservoirs (\'\'épsilon\'\'IND.Nd(590)\' -13 to -7) (ANTPOT.87 Sr\'/\'ANTPOT.88 Sr(i)\'\'QUASE IGUAL A\' 0.710).

O Complexo Rio Capivari (CRC) é constituído por ortognaisses migmatíticos de composições graníticas a tonalíticas e anfibolitos subordinados (magmas toleíticos) em lascas tectônicas no Terreno Embu. As composições dos gnaisses do CRC são predominantemente cálcio-alcalinas a álcali-cálcicas. Idades U-Pb em núcleos de zircão com zoneamento oscilatório indicam cristalização magmática dos protólitos em três períodos principais 2.4, 2.2-2.1 e 2.0 Ga. Idades metamórficas foram reconhecidas em bordas de zircão totalmente escuras nas imagens de catodoluminescência e variam entre 620-590 Ma. A suíte sideriana (2.4 Ga) apresenta caráter juvenil, como evidenciado pelos valores positivos de \'\'épsilon\'\'IND.Nd\' (+3.8) e \'\'épsilon\'\'IND.Hf\' (+0.3 a +4.8) e pela ausência de núcleos de zircão herdado, comumente encontrados em rochas que sofreram retrabalhamento crustal. A suíte de idades riacianas (2.2-2.1 Ga) apresenta idades modelos TDM arqueanas (2.6-3.3 Ga), valores negativos de \'\'épsilon\'\'IND.Nd\' (-12.0 a -4.0) e negativos a levemente positivos de \'\'épsilon\'\'IND.Hf\' (-7.8 a +0.5). Portanto, tais rochas derivam de retrabalhamento de reservatórios crustais antigos. A suíte de idade orosiriana (2.0 Ga) apresenta fontes mais antigas e retrabalhadas com valores altamente negativos de \'\'épsilon\'\'IND.Nd\' (-10.4) e \'\'épsilon\'\'IND.Hf\' (-1.2 a -13.6), sugerindo prolongada residência crustal com idades modelo \'T IND.DM\' e \'T IND.Hf\' >3.3 Ga. As assinaturas de elementos traços em rocha total e a química de zircão sugerem fontes máficas para o gnaisse sideriano. Reservatórios de crosta média, mas de profundidades variáveis, parecem ser a principal fonte dos gnaisses riacianos e orosirianos. Análises em diagramas tectônicos discriminantes baseados em elementos traços de rocha total com elevadas razões \'La/Yb IND.(N)\' (>10), Nb/Yb (>2) e Th/Yb (>1), somados aos valores de \'Y IND.2\'\'O IND.3\' (<3000 ppm), U/Yb (>0.5) e Nb/Yb (0.01-0.10) da química de zircão, sugerem que ambas as suítes de idades foram geradas em ambientes de arco magmático continental, mas com um gap de 200-300 Ma entre o gnaisse sideriano e os gnaisses riacianos sem dados ou informações geológicas. Perfis multielementos (elementos traços) comparativos entre representação de amostras típicas de arco continental associado à subducção de crosta oceânica (margem andina) e amostras de arcos de ilha (Ilhas Mariana) confirmam afinidade com ambiente de arco continental para o CRC, associado à subducção de placa oceânica, principalmente para o gnaisse sideriano. Apesar de pouco representativo, devido ao número de amostras (n=1), uma acresção juvenil em 2.4 Ga colabora para uma dinâmica contínua da evolução da crosta continental. O papel desempenhado pelo CRC na evolução geral do Terreno Embu permanece enigmático. Os dados isotópicos de \'\'épsilon\'\'IND.Nd(590)\' e \'ANTPOT.87 Sr\'/\'ANTPOT.88 Sr IND.(i)\' do CRC (-27.3 a -19.7 e 0.704 a 0.722, respectivamente) indicam evolução temporal não compatível com o requerido para as fontes dos granitos ediacaranos do Terreno Embu, que exigem a participação de reservatórios mais primitivos (\'\'épsilon\'\'IND.Nd(590)\' -13 a -7) e empobrecidos em Rb (\'ANTPOT.87 Sr\'/\'ANTPOT.88 Sr IND.(i)\' \'\'QUASE IGUAL A\' 0,710). / The Rio Capivari Complex (RCC) comprises migmatitic orthogneisses with granitic to tonalitic compositions and subordinate amphibolites (tholeiitic magmas), that occur in tectonics contacts within the Embu Terrane. The RCC orthogneisses are predominantly calc-alkaline to alkali-calcic. U-Pb zircon ages obtained on oscillatory zoned zircon cores indicate protolith magmatic crystallization into three main periods 2.4, 2.2-2.1 and 2.0 Ga. CL-dark zircon rims yield dates between 620-590 Ma, interpreted as metamorphic overprinting. The Siderian suite (2.4 Ga) show juvenile character, as evidenced by positive \'\'épsilon\'\'IND.Nd(t)\' (+3.8) and \'\'épsilon\'\'IND.Hf(t)\' (+0.3 to +4.8) values and absence of inherited zircon grains, commonly found in reworking crustal rocks. The Rhyacian suite (2.2-2.1 Ga) has Archean model ages (\'T IND.DM\' = 2.6-3.3 Ga), negative values of \'\'épsilon\'\'IND.Nd(t)\' (-12.0 to -4.0) and negative to slightly positive \'\'épsilon\'\'IND.Hf(t)\' values (-7.8 to +0.5). Therefore, such rocks most likely derived from reworking of older crustal reservoirs. The Orosirian suite (2.0 Ga) has even older sources with strongly negative \'\'épsilon\'\'IND.Nd(t)\' (-10.4) and \'\'épsilon\'\'IND.Hf(t)\' (-1.2 to -13.6) suggesting prolonged crustal residence time with \'T IND.DM\' and \'T IND.HF\' > 3.3 Ga. Whole-rock trace element and zircon chemistry indicate mafic sources for the Siderian suite. Middle crust reservoirs, at varying depths, appear to be the main source of the Rhyacian and Orosirian suites. According to analysis in discriminating tectonic diagrams the whole rock trace elements with high ratios \'La/Yb IND.(N)\' (> 10), Nb/Yb (> 2) and Th/Yb (> 1), added to the amounts of \'Y IND.2\'\'O IND.3\' (<3,000 ppm), U/Yb (> 0.5) and Nb/Yb (0.01 to 0.10) from zircon chemistry, suggest that all three suites were generated on continental magmatic arc environments, but with a gap of 200-300 Ma between the Siderian suite and the Rhyacian and Orosirian suites without data or geological information. Comparative multi-elements profiles (trace elements) between representation of typical continental arc samples associated with the oceanic crust subduction (Andean margin) and samples of island arcs (Mariana Islands) confirm affinity with continental arc environment for the RCC, associated with subduction oceanic plate, mainly for the Siderian suite. In spite of the small dataset, the results of this study indicate a juvenile accretion at 2.4 Ga, what suggests a continuous dynamic of continental crust evolution. The RCC role on the tectonic evolution of the Embu terrane remains enigmatic. The isotopic data \'\'épsilon\'\'IND.Nd(590)\' and \'ANTPOT.87 Sr\'/\'ANTPOT.88 Sr(i)\' of the RCC (-27.3 to -19.7 and 0.704-0.722, respectively) indicate an evolution not compatible with the sources for the Ediacaran granites of the Embu Terrane, requiring the participation of more primitive reservoirs (\'\'épsilon\'\'IND.Nd(590)\' -13 to -7) (ANTPOT.87 Sr\'/\'ANTPOT.88 Sr(i)\'\'QUASE IGUAL A\' 0.710).