Le sujet principal de cette thèse est l'étude de l'équation de Klein-Gordon couplée avec un terme d'interaction et sa quantification du point de vue multisymplectique. <br /><br />Nous nous interessons tout d'abord à l'équation linéaire et nous proposons une description multisymplectique de la quantification canonique par le biais d'une representation des symétries, de la quantification par deformation et enfin nous introduisons la notion de quatification par déformation multisymplectique. <br /><br />Ensuite nous traitons le champ en interaction. Nous construisons dans un premier temps des observables sous la forme de séries sur les arbres plans puis nous montrons comment elles peuvent être reliées aux séries de Butcher. Enfin nous voyons comment appliquer nos résultats à la théorie du contrôle.

On présente dans cette thèse quelques résultats nouveaux concernant l'optique non-linéaire diffractive. Tout d'abord, des solutions oscillantes régulières de systèmes hyperboliques sont analysées grâce à des développements asymptotiques (BKW) 3 échelles multiphases, à phases courbes : l'échelle la plus rapide est celle des oscillations, l'échelle intermédiaire décrit des phénomènes transverses à la propagation, cette dernière suivant les rayons de l'optique géométrique, à l'échelle la plus lente. L'utilisation des phases non planes permet de traiter le cas des systèmes à coefficients variables, et nécessite des hypothèses de cohérence et de petits diviseurs, dont on montre la généricité. On donne des exemples d'interactions d'ondes diffractées, en particulier en acoustique non linéaire. De plus, la diffraction transverse est considérée dans des cadres fonctionnels différents : périodique, faiblement décroissant, et pour des profils de chocs. Ces comportements sont appliqués à l'étude de la perturbation des phases oscillantes, ainsi qu'au problème des frontières ombre/lumière. On analyse dans chaque cas l'influence des effets de rectification (interaction entre moyenne et oscillations). Enfin, on décrit les oscillations se réfléchissant près d'un point diffractif (où la réflexion est tangentielle), pour une équation de Klein-Gordon semi-linéaire dissipative : une asymptotique $H^1$ met en évidence les interactions et la formation d'une \begin{guillemets}zone d'ombre\end{guillemets}.

Cette thèse porte sur l'étude des ondes stationnaires d'équations dispersives non linéaires, en particulier l'équation de Schrödinger, mais aussi celle de Klein-Gordon. Les travaux présentés s'articulent autour de deux questions principales : l'existence et la stabilité orbitale de ces ondes stationnaires. <br /><br />L'existence est étudiée par des méthodes essentiellement variationnelles. En plus de la simple existence, on met en évidence différentes caractérisations variationnelles des ondes stationnaires, par exemple en tant que points critiques d'une certaine fonctionnelle au niveau du col ou au niveau de moindre énergie, ou encore en tant que minimiseurs d'une fonctionnelle sur différentes contraintes.<br /><br />Selon la puissance de la non-linéarité et la forme de la dépendance en espace, on démontre que les ondes stationnaires sont stables ou instables. Lorsqu'elles sont instables, on met en évidence que dans certaines situations l'instabilité se manifeste par explosion, tandis que dans d'autres les solutions sont globalement bien posées. En plus des différentes caractérisations variationnelles des <br />ondes stationnaires, les preuves des résultats de stabilité et d'instabilité nécessitent de dériver des informations de nature spectrale. En particulier, dans la première partie de cette thèse, on prouve un résultat de non-dégénérescence du linéarisé pour un problème limite. Dans la deuxième partie, on localise la deuxième valeur propre du linéarisé par la combinaison d'une méthode perturbative et d'arguments de continuation.

Pour simuler la propagation laser, nous utilisons l'approximation paraxiale de l'équation de Klein-Gordon.<br />Dans une première partie, nous menons une analyse asymptotique de l'équation de Klein-Gordon. Nous obtenons dans divers cas des problèmes approchés de type Schrödinger ou advection-Schrödinger. Nous montrons que ces problèmes sont bien posés et estimons la différence entre problème exact et problème approché.<br />Dans une deuxième partie, nous étudions le problème d'advection-Schrödinger sur un domaine borné et non plus sur tout l'espace, et montrons quelle condition au bord il faut imposer pour que la solution de notre problème sur le domaine soit la restriction de la solution sur l'espace entier.<br />Dans une troisième partie, nous utilisons les résultats précédents pour construire une méthode de résolution numérique, et présentons les simulations obtenues.

<p>We consider existence and stability of breather solutions to discrete nonlinear Schrodinger (dNLS) and discrete Klein-Gordon (dKG) equations near the anti-continuum limit, the limit of the zero coupling constant. For sufficiently small coupling, discrete breathers can be uniquely extended from the anti-continuum limit where they consist of periodic oscillations on excited sites separated by "holes" (sites at rest).</p> <p>In the anti-continuum limit, the dNLS equation linearized about its discrete breather has a spectrum consisting of the zero eigenvalue of finite multiplicity and purely imaginary eigenvalues of infinite multiplicities. Splitting of the zero eigenvalue into stable and unstable eigenvalues near the anti-continuum limit was examined in the literature earlier. The eigenvalues of infinite multiplicity split into bands of continuous spectrum, which, as observed in numerical experiments, may in turn produce internal modes, additional eigenvalues on the imaginary axis. Using resolvent analysis and perturbation methods, we prove that no internal modes bifurcate from the continuous spectrum of the dNLS equation with small coupling.</p> <p>Linear stability of small-amplitude discrete breathers in the weakly-coupled KG lattice was considered in a number of papers. Most of these papers, however, do not consider stability of discrete breathers which have "holes" in the anti-continuum limit. We use perturbation methods for Floquet multipliers and analysis of tail-to-tail interactions between excited sites to develop a general criterion on linear stability of multi-site breathers in the KG lattice near the anti-continuum limit. Our criterion is not restricted to small-amplitude oscillations and it allows discrete breathers to have "holes" in the anti-continuum limit.</p> / Doctor of Philosophy (PhD)

Hawking radiation is a phenomenon where the combination of geometry of spacetime around a black hole and quantum effects near its event horizon causes particle emission. Stephen Hawking was one of the first to make computations and conclude that this is valid for every black hole in general. Therefore, the goal of the project was to understand how the presence of a black hole changes geometry of spacetime, explore some of its peculiar properties and, finally, connect it to Hawking radiation. It turns out that one way to describe geometry around a black hole is to use the Schwarzchild metric which fully describes surroundings of a non-rotating and uncharged black hole. Using the so called Klein-Gordon equation and some additional computations one then sees that there’s indeed a particle emission. However, the radiation appears to be observer dependent which is due to curvature near event horizon. Hawking radiation has temperature which happens to be extremely small to detect, but this result reveals the fact that black holes radiate faster as they shrink. However, the time it takes for an arbitrary black hole to evaporate is much longer than the age of the Universe. Encountering those and some other challenges Hawking radiation remains hypothetical. / Hawkingstrålning är ett fenomen där kombinationen av geometri av rumtid runt ett svart hål och kvantmekaniska effekter nära dess händelsehorisont leder till partikel emission. Stephen Hawking var bland de första att göra beräkningar och dra slutsatsen att detta är giltigt för alla svarta hål. Syftet med projektet var därför att förstå hur närvaron av ett svart hål ändrar geometri av rumtid, undersöka dess vissa speciella egenskaper samt anknyta det till Hawkingstrålning. Det visar sig att ett sätt att beskriva geometri kring ett svart hål är att använda Schwarzchild metriken som helt beskriver omgivningen av ett icke roterande och oladdat svart hål .Använder man sig av så kallade Klein-Gordon ekvationen och några ytterligare beräkningar så kommer man till slutsaten att det verkligen finns enemission av partiklar. Emissionen verkar dock vara observatörsberoende på grund av krökning nära händelsehorisont. Hawkingstrålning har temperatur som visar sig vara extremt liten för att upptäcka, men resultaten avslöjar faktumet att svarta hål strålar ut snabbare då de krymper. Tiden det tar för ett godtyckligt svart hål att koka bort är dock mycket längre än åldern of Universum. På grund av dessa och några andra utmanningar återstår Hawkingstrålning hypotetiskt.

<p>In this dissertation stochastic processes are regarded in the framework of Colombeau-type algebras of generalized functions. Such processes are called Colombeau stochastic processes.The notion of point values of Colombeau stochastic processes in compactly supported generalized points is established. The Colombeau algebra of compactly supported generalized constants is endowed with the topology generated by sharp open balls. The measurability of the corresponding random variables with values in the Colombeau algebra of compactly supported generalized constants is shown.<br />The generalized correlation function and the generalized characteristic function of Colombeau stochastic processes are introduced and their properties are investigated. It is shown that the characteristic function of classical stochastic processes can be embedded into the space of generalized characteristic functions. Examples of generalized characteristic function related to gaussian Colombeau stochastic<br />processes are given. The structural representation of the generalized correlation function which is supported on the diagonal is given. Colombeau stochastic processes with independent values are introduced. Strictly stationary and weakly stationary Colombeau stochastic processes are studied. Colombeau stochastic processes with stationary increments are characterized via their stationarity of the gradient of the process.Gaussian stationary solutions are analyzed for linear stochastic partial differential equations with generalized constant coefficients in the framework of Colombeau stochastic processes.</p> / <p>U disertaciji se stohastički procesi posmatraju u okviru Kolomboove algebre uop&scaron;tenih funkcija. Takve procese nazivamo Kolomboovi stohastički procesi. Pojam vrednosti Kolomboovog stohastičkog procesa u tačkama sa kompaktnim nosačem je uveden. Dokazana je merljivost odgovarajuće slučajne promenljive sa vrednostima u Kolomboovoj algebri uop&scaron;tenih konstanti sa kompaktnim nosačem,&nbsp; snabdevenom topologijom generisanom o&scaron;trim otvorenim loptama. Uop&scaron;tena korelacijska funkcija i uop&scaron;tena karakteristična funkcija Kolomboovog stohastičkog procesa su definisane i njihove osobine su izučavane. Pokazano je da&nbsp; se karakteristična funkcija klasičnog stohastičkog procesa može potopiti u prostor uop&scaron;tenih karakterističnih funkcija. Dati su primeri uop&scaron;tenih karakterističnih funkcija&nbsp; gausovskih Kolomboovih stohastičkih procesa. Data je strukturna reprezentacija uop&scaron;tene korelacijske funkcije sa nosačem na dijagonali. Kolomboovi stohastički procesi sa nezavisnim vrednostima su predstavljeni. Izučavani su strogo stacionarni i&nbsp; slabo stacionarni Kolomboovi stohastički procesi. Kolomboovi stohastički procesi sa stacionarnim prira&scaron;tajima su okarakterisani preko stacionarnosti gradijenta procesa. Gausovska stacionarna re&scaron;enja za linearnu stohastičku parcijalnu diferencijalnu jednačinu sa uop&scaron;tenim konstantnim koeficijentima su analizirana u okvirima Kolomboovih stohastičkih procesa.</p>