Els mètodes de punt interior per a programació lineal proporcionen algorismes de complexitat polinòmica, que els fa ser molt eficients en l’optimització a gran escala. Aquests algorismes utilitzen el mètode de Newton per a convertir les equacions d’òptim del problema, que són no lineals, en un sistema d’equacions lineals, que solen resoldre’s aplicant factorizacions de matrius esparses. En aquells casos particulars en els quals el problema té una estructura especial, com ara en els problemes d’optimització en xarxes multiarticle, es pot aprofitar per millorar l’eficiència de l’algorisme. Aquests problemes de xarxes pertanyen a la família més general de problemes primals bloc-angulars. El punt de partida d’aquesta tesi va ser un fet empíric: l’observació del millor comportament computacional d’un algorisme especialitzat de punt inferior per a problemes bloc-angulars quan en la funció objectiu figurem termes quadràtics. Aquest algorisme utilitza factoritzacions de matrius per resoldre la part de les equacions associades a la zarza i el mètode del gradient conjugat precondicional per resoldre les equacions asociadse a les restriccions d’acoblament. Llavors l’objectiu original va ser buscar alguna forma d’aproximar un problema lineal per un quadràtic de manera que s’explotés el fet experimental observat sense perjudicar la convergència del problema. Posteriorment el plantejament inicial es va amplificar amb el nou objectiu de demostrar la convergència del mètode, entre altres resultats teòrics. El marc teòric usat per poder formular matemàticament aquesta idea ha estat la regularització de la funció de barrera logarítmica associada al problema d’optimització, entenent com a tal la transformació de la funció de barrera original per una altra que inclou un terme quadràtic variable de pertorbació, que disminueix progressivament conforme l’algorisme s’atansa a l’òptim. Aqueste terme quadràtic converteix el problema lineal original en un de quadràtic, de forma que en les primeres iteracions aprofitem el comportament empíric abans esmentat i, a mesura que progressa l’algorisme, el terme quadràtic esdevé negligible, i el problema amb regularització quadràtica s’atansa al problema lineal original. La barrera regularitzada resulta ser auto-concordant, assegurant així la convergència del mètode de punt interior.

La necesidad de resolver ecuaciones y sistemas de ecuaciones no lineales surge de manera natural en discretizar las ecuaciones integro-diferenciales que modelan los problemas de los que se encargan las diferentes ramas de las ciencias y la ingeniería. Actualmente, se puede hacer uso de los ordenadores como herramientas para facilitar todas las tareas en torno a su resolución. Con la mejora de los dispositivos, el desarrollo de las técnicas de computación y la aritmética de precisión variable, se ha generalizado la demanda de métodos iterativos que resuelvan de forma rápida y eficiente las ecuaciones y sistemas de ecuaciones. El Análisis Numérico es la rama de las matemáticas que responde a estos requerimientos. En este trabajo trataremos algunos aspectos de interés de esta área. En concreto, mostraremos una aproximación de la derivada que nos permita modificar un resultado para obtener métodos de orden p+2 a partir de otras de orden p, de modo que se mantengan las propiedades de convergencia y estudiaremos la mejora de la eficiencia de esta técnica, debido al menor número de evaluaciones funcionales, aplicada a métodos de diferente orden. Otro resultado se ha alcanzado generalizando el método de Sharma, y generando así familias de métodos de orden 4 óptimos y de orden 6; con el estudio del número de operaciones obtendremos los dos métodos más eficientes de la familia de los que estudiaremos su dinámica. Otra línea de investigación consiste en el estudio de las diversas estrategias para aproximar el cálculo de las jacobiana, así los operadores de diferencias divididas han contribuido a estos objetivos. Nosotros hemos desarrollado un operador de diferencias divididas que, a pesar de ser más sencillo que otros ya conocidos, conserva las propiedades de convergencia de los métodos con derivadas. Posteriormente hemos adaptado las familias de métodos de orden 4 y 6 para ecuaciones con raíces múltiples obteniendo también métodos libres de derivadas aplicando el operador en diferencias divididas anteriores. A continuación hemos considerado hemos realizado el estudio del comportamiento dinámico de ciertos métodos aplicados sobre el problema de los N cuerpos. Finalmente hemos obtenido ciertos resultados referentes a la convergencia semilocal. Los resultados teóricos se han contrastado con diversas experiencias numéricas. / The need to solve equations and systems of nonlinear equations arises naturally in discretizing the integro-differential equations that model the problems that are responsible for the different branches of science and engineering. Currently, computers can be used as tools to facilitate all tasks related to their resolution. With the improvement of the devices, the development of computing techniques and variable accuracy arithmetic, the demand for iterative methods has been generalized to solve the equations and equation systems quickly and efficiently. Numerical Analysis is the branch of mathematics that meets these requirements. In this paper we will discuss some aspects of interest in this area. In particular, we will show an approximation of the derivative that allows us to modify a result to obtain methods of order p+2 from others of order p, so that the convergence properties are maintained and we will study the improvement of the efficiency of this technique, due to the smallest number of functional evaluations, applied to methods of different order. Another result has been achieved by generalizing the Sharma method, and thus constructing families of order 4 optimal and order methods 6; With the study of the number of operations, we will obtain the two most efficient methods of the family from which we will study its dynamics. Another line of research consists in the study of the various strategies to approximate the calculation of the Jacobins, thus the operators of divided differences have contributed to these objectives. We have developed a divided difference operator that, while being simpler than other ones already known, maintains the convergence properties of methods with derivatives. Later we have adapted families of order methods 4 and 6 for equations with multiple roots, also obtaining derivative free methods by applying the operator in previous divided differences. Below we have considered that we have done the study of the dynamic behavior of certain methods applied to the problem of the N-bodies. Finally we have obtained certain results referring to semilocal convergence. The theoretical results have been contrasted with several numerical experiences. / La necessitat de resoldre equacions i sistemes d'equacions no lineals sorgeix de manera natural en discretitzar les equacions integrodiferencials que modelen els problemes dels quals s'encarreguen les diferents branques de les ciències i l'enginyeria. Actualment, es pot fer ús dels ordinadors com a eines per facilitar totes les tasques entorn a la seua resolució. Amb la millora dels dispositius, el desenvolupament de les tècniques de computació i l'aritmètica de precisió variable, s'ha generalitzat la demanda de mètodes iteratius que resolguen de forma ràpida i eficient les equacions i sistemes d'equacions. L'Anàlisi Numèrica és la branca de les matemàtiques que respon a aquestos requeriments. En aquest treball tractarem alguns aspectes d'interés d'aquesta àrea. En concret, mostrarem una aproximació de la derivada que ens permeta modificar un resultat per obtenir mètodes d'ordre p+2 a partir d'altres d'ordre p, de manera que es mantinguen les propietats de convergència i estudiarem la millora de l'eficiència d'aquesta tècnica, degut al menor nombre d'avaluacions funcionals, aplicada a mètodes de diferent ordre. Un altre resultat s'ha assolit generalitzant el mètode de Sharma, i construint així famílies de mètodes d'ordre 4 òptims i d'ordre 6; amb l'estudi del nombre d'operacions obtindrem els dos mètodes més eficients de la família dels quals estudiarem la seua dinàmica. Una altra línia d'investigació consisteix en l'estudi de les diverses estratègies per aproximar el càlcul de les jacobianes, així els operadors de diferències dividides han contribuït a aquests objectius. Nosaltres hem desenvolupat un operador de diferències dividides que, tot i ser més senzill que d'altres ja coneguts, manté les propietats de convergència dels mètodes amb derivades . Posteriorment hem adaptat les famílies de mètodes d'ordre 4 i 6 per a equacions amb arrels múltiples obtenint també mètodes lliures de derivades aplicant l'operador en diferències dividides anteriors. A continuació hem considerat hem realitzat l'estudi del comportament dinàmic de certs mètodes aplicats sobre el problema dels N cossos. Finalment hem obtingut certs resultats referents a la convergència semilocal. Els resultats teòrics s'han contrastat amb diverses experiències numèriques. / Teruel Ferragud, C. (2018). Desenvolupament de nous mètodes per a la resolució d'equacions i sistemes d'equacions no lineals i Aplicacions [Tesis doctoral]. Universitat Politècnica de València. https://doi.org/10.4995/Thesis/10251/107325

Es desenvolupa una metodologia que combina algoritmes exploratoris i iteratius que pren com a base el concepte de concordança del coeficient de correlació W de Kendall. A partir de conjunts complexos d'ítems i les seves puntuacions (activitats d'avaluació, problemes, pràctiques, indicadors de rendiment, mesuraments i, en general, qualsevol variable quantitativa) s'aconsegueixen identificar conjunts concordants, és a dir, estructures explicatives de la dificultat del conjunt de ítems. La lectura d'aquests conjunts es pot fer de dues maneres gràcies a la informació que proporcionen els algoritmes creats: a) Transversal, de manera que els conjunts concordants formen el "esquelet de dificultat" del problema i són, per tant, referències per estudiar la resta de puntuacions en altres ítems. b) Longitudinal, mitjançant l'estudi del que anomenem Mapes de Concordança, els quals mostren l'evolució dels conjunts concordants en anar incorporant elements en cada iteració, i detectant per tant els ítems discordants respecte a conjunts estables donats. L'aplicació d'aquesta metodologia és molt àmplia, i és susceptible de ser posada en pràctica en qualsevol camp de les ciències on es realitzin mesures i es vulgui observar les variacions creuades entre individus. En aquesta investigació s'aplica a l'assignatura de Laboratori de mesures electròniques. Els resultats aporten llum a la manera de millorar les pràctiques existents i de construir-ne de noves en el futur. / Se desarrolla una metodología que combina algoritmos exploratorios e iterativos que toma como base el concepto de concordancia del coeficiente de correlación W de Kendall. A partir de conjuntos complejos de ítems y sus puntuaciones (actividades de evaluación, problemas, prácticas, indicadores de rendimiento, mediciones y, en general, cualquier variable cuantitativa) se consiguen identificar conjuntos concordantes, es decir, estructuras explicativas de la dificultad del conjunto de ítems. La lectura de estos conjuntos puede hacerse de dos maneras gracias a la información que proporcionan los algoritmos creados: a) Transversal, de manera que los conjuntos concordantes forman el “esqueleto de dificultad” del problema y son, por tanto, referencias para estudiar el resto de puntuaciones en otros ítems. b) Longitudinal, mediante el estudio de lo que denominamos Mapas de Concordancia, los cuales muestran la evolución de los conjuntos concordantes al ir incorporando ítems en cada iteración, y detectando por tanto los ítems discordantes respecto a conjuntos estables dados. La aplicación de dicha metodología es muy amplia, siendo susceptible de ser puesta en práctica en cualquier campo de las ciencias donde se realicen mediciones y se quiera observar las variaciones cruzadas entre individuos. En la presente investigación se aplica a la asignatura de Laboratorio de medidas electrónicas. Los resultados arrojan luz sobre la manera de mejorar las prácticas existentes y de construir otras nuevas en el futuro. / We have developed a new methodology that combines both exploratory and iterative algorithms which is based on the concept of concordance of the correlation coefficient W of Kendall. Starting from complex sets of items and their scores (assessment activities, problems, practices, performance indicators, measurements and, in general, any quantitative variable) it is possible to identify consistent sets, i.e., structures that explain the difficulty of the set of items. Reading these sets can be done in two different ways thanks to the information provided by the algorithms created: a) Transversal, so that the concordant sets form the "backbone difficulty" of the problem and, therefore, they become references to study the remaining scores on other items. b) Longitudinal, by studying what we call concordance maps, which show the evolution of the consistent sets when new items are incorporated after each iteration and thus detecting the discordant items with regard to given stable sets. The application of this methodology is very broad, being useful in any field of science where measurements are carried out and you may want to see cross-variations among individuals. In this research it has been applied to the subject Electronic Measurements Laboratory. The results point to different ways to improve the existing practices and create new ones in the future.