Les matériaux composites sont des matériaux nouveaux qui possèdent une grande déformabilité et une grande raideur. Les structures de bâtiment qui requièrent ces deux propriétés sont peu nombreuses et les gridshells en sont un bon exemple. En effet, ces structures à double courbure sont obtenues par déformation élastique puis rigidification d'une grille plane sans raideur en cisaillement. Les grands déplacements et les grandes rotations qui surviennent durant la phase de montage de ces structures élancées précontraintes nécessitent la prise en compte de non-linéarités géométriques importantes. Un outil numérique spécifique reposant sur la méthode de la relaxation dynamique est donc développé et validé. Il permet une nouvelle approche de la forme des gridshells et la mise au point d'une méthode de recherche de forme originale. Il est également utilisé pour l'étude géométrique et l'analyse structurelle de prototypes de gridshells en matériaux composites construits sur le site de l'École Nationale des Ponts et Chaussées.

On présente une nouvelle méthode de relaxation pour résoudre les équations de Navier-Stokes compressibles munies d'une loi de pression générale. La méthode s'inspire de la décomposition de l'énergie interne introduite par Coquel et Perthame (SIAM J. Numer. Anal., 35 (6), 2223-2249, 1998) pour les équations d'Euler. Elle conserve, en particulier, les mêmes conditions "sous-caractéristiques" pour l'exposant adiabatique du gaz fictif intervenant dans la relaxation. Dans cette thèse, on introduit une décomposition des flux diffusifs (tenseur des contraintes visqueuses et flux de chaleur) qui assure la stabilité du processus de relaxation via la positivité de la production d'entropie. Une analyse asymptotique au premier ordre autour de l'état d'équilibre permet également de montrer la stabilité du système relaxé, mais avec une décomposition différente du flux de chaleur. On présente ensuite une implémentation numérique de la méthode de relaxation. Celle-ci est mise en oeuvre en considérant une méthode mixte volume finis/éléments finis applicable à des maillages triangulaires non structurés avec un schéma d'ordre 3 en espace (méthode MUSCL et B-schéma) en temps basé sur une méthode de Runge-Kutta à 4 pas. Enfin, on valide la nouvelle méthode de relaxation sur 3 cas tests : advection d'un réseau périodique de vortex, interaction entre un spot de température et un choc et interaction entre un choc et un couche limite.

Ce travail de thèse porte sur le développement et la mise en oeuvre des méthodes de décomposition de domaines (DD) pour les équations de Schrödinger linéaires ou non-linéaires en une ou deux dimensions d'espace. Dans la première partie, nous considérons la méthode de relaxation d'ondes de Schwarz (SWR) pour l'équation de Schrödinger en une dimension. Dans le cas où le potentiel est linéaire et indépendant du temps, nous proposons un nouvel algorithme qui est scalable et permet une forte réduction du temps de calcul comparativement à l'algorithme classique. Pour un potentiel général, nous utilisons un opérateur linéaire préalablement défini comme un préconditionneur. Cela permet d'assurer une forte scalabilité. Nous généralisons également les travaux de Halpern et Szeftel sur la condition de transmission en utilisant des conditions absorbantes construites récemment par Antoine, Besse et Klein. Par ailleurs, nous portons les codes développés sur Cpu sur des accélérateurs Gpu. La deuxième partie concerne les méthodes DD pour l'équation de Schrödinger en deux dimensions. Nous généralisons le nouvel algorithme et l'algorithme avec préconditionneur proposés au cas de la dimension deux. Dans le chapitre 6, nous généralisons les travaux de Loisel sur la méthode de Schwarz optimisée avec points de croisement pour l'équation de Laplace, qui conduit à la méthode SWR avec points de croisement. Dans la dernière partie, nous appliquons les méthodes DD que nous avons étudiées à la simulation de condensat de Bose-Einstein qui permettent de diminuer le temps de calcul, mais aussi de réaliser des simulations plus grosses. / This thesis focuses on the development and implementation of domain decomposition methods (DD) for the linear or non-linear Schrödinger equations in one or two dimensions. In the first part, we focus on the Schwarz waveform relaxation method (SWR) for the one dimensional Schrödinger equation. In the case the potential is linear and time-independent, we propose a new algorithm that is scalable and allows a significant reduction of computation time compared with the classical algorithm. For a general potential, we use a linear operator previously defined as a preconditioner. This ensures high scalability. We also generalize the work of Halpern and Szeftel on transmission condition. We use the absorbing boundary conditions recently constructed by Antoine, Besse and Klein as the transmission condition. We also adapt the codes developed originally on Cpus to the Gpu. The second part concerns with the methods DD for the Schrödinger equation in two dimensions. We generalize the new algorithm and the preconditioned algorithm proposed in the first part to the case of two dimensions. Furthermore, in Chapter 6, we generalize the work of Loisel on the optimized Schwarz method with cross points for the Laplace equation, which leads to the SWR method with cross points. In the last part, we apply the domain decomposition methods we studied to the simulation of Bose-Einstein condensate that could not only reduce the total computation time, but also realise the larger simulations.

Cette thèse est consacrée à l'étude du problème de la séparation aveugle d'un mélange instantané de sources gaussiennes autorégressives, sans bruit additif, par la méthode du maximum de vraisemblance exact. La maximisation de la vraisemblance est décomposée, par relaxation, en deux sous-problèmes d'optimisation, également traités par des techniques de relaxation. Le premier consiste en l'estimation de la matrice de séparation à structure autorègressive des sources fixée. Le second est d'estimer cette structure lorsque la matrice de séparation est fixée. Le premier problème est équivalent à la maximisation du déterminant de la matrice de séparation sous contraintes non linéaires. Nous donnons un algorithme de calcul de la solution de ce problème pour lequel nous précisons les conditions de convergence. Nous montrons l'existence de l'estimateur du maximum de vraisemblance dont nous prouvons la consistance. Nous déterminons également la matrice d'information de Fisher relative au paramètre global et nous proposons un indice pour mesurer les performances des méthodes de séparation. Puis nous analysons, par simulation, les performances de l'estimateur ainsi défini et nous montrons l'amélioration qu'il apporte à la procédure de quasi-maximum de vraisemblance ainsi qu'aux autres méthodes du second ordre.

L'objectif de ce travail est de développer des algorithmes de décomposition de domaine pour des équations de l'océanographie. Les méthodes de décomposition de domaine consistent à décomposer un domaine de calcul de grand taille en plusieurs sous-domaines plus petits. Elles s'appliquaient jusqu'à présent à des problèmes stationnaires, nous généralisons ici ce type de méthodes aux problèmes en temps ('Schwarz Waveform Relaxation Methods'). Le principal but de cette nouvelle approche est de simuler des problèmes multiphysiques pour lesquels il est intéressant d'avoir une discrétisation temporelle différente dans chaque sous-domaine. Nous généralisons aux équations d'évolution une méthode récente qui consiste à écrire les conditions transparentes (Conditions aux Limites Absorbantes) puis les approche par des opérateurs différentiels d'ordre 1 dans la direction normale à l'interface et d'ordre 0 ou 1 dans la direction tangentielle. Nous développons cette méthode premièrement pour l'équation de convection diffusion qui traduit notamment l'advection des traceurs (température, salinité, traceurs passifs) dans l'océan. Nous approchons les opérateurs exacts par développement de Taylor, ou par optimisation du taux de convergence. Nous démontrons que les problèmes aux limites introduits sont bien posés. Puis nous montrons la convergence des algorithmes correspondants. Des résultats numériques sont implémentés dans le cas avec ou sans recouvrement et mettent en évidence la réelle efficacité des méthodes optimisées. Nous faisons ensuite un premier pas vers le couplage d'équations en implémentant un algorithme de couplage de l'équation de convection avec l'équation de convection diffusion. Ensuite nous traitons les équations de Saint Venant, moyennes verticales des équations de Navier-Stokes en milieu tournant. Nous introduisons pour ce système un algorithme de décomposition de domaine avec des conditions d'interface qui s'obtiennent par des considérations physiques. Nous montrons que cet algorithme est bien posé puis nous en démontrons la convergence. Des résultats numériques concluants sont également exposés.

Les équations de Kadomtsev-Petviashvili (KP) décrivent les ondes de faible amplitude et de grande longueur se déplaçant à la surface de l'eau, principalement dans la direction (Ox). Quant à l'équation de Benjamin-Ono (BO), elle décrit de telles ondes se déplaçant à l'intérieur de l'eau. On s'intéresse à ces équations vue en tant qu'équations de type Benjamin-Bona-Mahony (BBM).<br />Notre travail se divise alors en trois parties. Dans la première partie, on rappelle la modélisation des différentes équations. On montre plus particulièrement que les modèles BBM s'obtiennent à partir du principe fondamental de la dynamique via une analyse asymptotique. On compare alors les solutions des équations de KP, respectivement de BO, avec les solutions des équations de type BBM.<br />Dans la seconde partie, on s'intéresse à certaines propriétés qualitatives des équations généralisées de type BBM. Des résultats de prolongement en temps des bornes sur les normes de Sobolev, de décroissance en temps et de prolongement unique des solutions sont établis.<br />Enfin, on termine avec une étude numérique des solutions des équations KP généralisées en dimension 3 d'espace. Dans cette dernière partie, en collaboration avec F. Hamidouche et S. Mefire, on inspecte numériquement les phénomènes de dispersion, d'explosion en temps fini, de comportement solitonique et d'instabilité transversale.

La résolution numérique de l'équation de Schrödinger en domaine extérieur nécessite l'utilisation de conditions aux limites appropriées sur la frontière du domaine de calcul. Les conditions aux limites à utiliser sont directement reliées à la fonction de potentiel intervenant dans l'équation. Pour l'équation à potentiel nul, la condition aux limites exacte est connue, ainsi que des méthodes efficaces de discrétisation et d'implémentation numérique. L'objectif de cette thèse est d'étendre les méthodes mises en jeu à potentiel nul dans le cas d'un potentiel aussi général que possible, à l'image des situations physiques variées faisant intervenir un potentiel, linéaire ou non linéaire. Nous prenons le parti de renoncer à établir des conditions aux limites exactes, au profit d'une plus grande généralité de la méthode et d'une bonne adaptation à une implémentation numérique. En se basant sur le calcul pseudodifférentiel, on propose alors une recherche détaillée de méthodes permettant de prendre en compte le potentiel dans une condition aux limites artificielle (CLA). Cette thèse traite le cas de l'équation en dimension un ou deux avec potentiel linéaire ou non linéaire, ainsi que de l'équation stationnaire en dimension un. La construction de ces CLA repose sur l'analyse microlocale et le calcul symbolique associé aux opérateurs pseudodifférentiels fractionnaires. La discrétisation en temps est effectuée à l'aide de convolutions discrètes ou d'approximants de Padé, et la discrétisation en espace repose sur des éléments finis linéaires. On utilise la méthode de relaxation de Besse pour résoudre l'équation non linéaire. L'analyse mathématique des conditions construites dans cette thèse permet de démontrer dans certains cas des estimations a priori, sur le plan continu et sur le plan semi-discret. De nombreuses simulations numériques permettent de tester l'efficacité des conditions aux limites proposées et de les comparer entre elles.

L’objectif principal de cette thèse concerne l’étude, la conception et la mise en œuvre numérique de schémas volumes finis associés aux solveurs de type Godunov. On s’intéresse à des systèmes hyperboliques de lois de conservation non linéaires, avec une attention particulière sur les équations d’Euler et les équations MHD idéale. Tout d’abord, nous dérivons un solveur de Riemann simple et véritablement multidimensionnelle, pouvant s’appliquer à tout système de lois de conservation. Ce solveur peut être considéré comme une généralisation 2D de l’approche HLL. Les ingrédients de base de la dérivation sont : la consistance avec la formulation intégrale et une utilisation adéquate des relations de Rankine-Hugoniot. Au final nous obtenons des expressions assez simples et applicables dans les contextes des maillages structurés et non structurés. Dans un second temps, nous nous intéressons à la préservation, au niveau discret, de la contrainte de divergence nulle du champ magnétique pour les équations de la MHD idéale. Deux stratégies sont évaluées et nous montrons comment le solveur de Riemann multidimensionnelle peut être utilisé pour obtenir des simulations robustes à divergence numérique nulle. Deux autres points sont abordés dans cette thèse : la méthode de relaxation pour un système Euler-Poisson pour des écoulements gravitationnels en astrophysique, la formulation volumes finis en coordonnées curvilignes. Tout au long de la thèse, les choix numériques sont validés à travers de nombreux résultats numériques. / The main objective of this thesis concerns the study, design and numerical implementation of finite volume schemes based on the so-Called Godunov-Type solvers for hyperbolic systems of nonlinear conservation laws, with special attention given to the Euler equations and ideal MHD equations. First, we derive a simple and genuinely two-Dimensional Riemann solver for general conservation laws that can be regarded as an actual 2D generalization of the HLL approach, relying heavily on the consistency with the integral formulation and on the proper use of Rankine-Hugoniot relations to yield expressions that are simple enough to be applied in the structured and unstructured contexts. Then, a comparison between two methods aiming to numerically maintain the divergence constraint of the magnetic field for the ideal MHD equations is performed and we show how the 2D Riemann solver can be employed to obtain robust divergence-Free simulations. Next, we derive a relaxation scheme that incorporates gravity source terms derived from a potential into the hydrodynamic equations, an important problem in astrophysics, and finally, we review the design of finite volume approximations in curvilinear coordinates, providing a fresher view on an alternative discretization approach. Throughout this thesis, numerous numerical results are shown.

Le but de cette thèse est de calculer l'optimum d'un polynôme sur un ensemble semi-algébrique et les points où cet optimum est atteint. Pour atteindre cet objectif, nous combinons des méthodes de base de bord avec la hiérarchie de relaxation convexe de Lasserre afin de réduire la taille des matrices de moments dans les problèmes de programmation semi-définie positive (SDP). Afin de vérifier si le minimum est atteint, nous apportons un nouveau critère pour vérifier l'extension plate de Curto Fialkow utilisant des bases orthogonales. En combinant ces nouveaux résultats, nous fournissons un nouvel algorithme qui calcule l'optimum et les points minimiseurs. Nous décrivons plusieurs expérimentations et des applications dans différents domaines qui prouvent la performance de l'algorithme. Au niveau théorique nous prouvons aussi la convergence finie d'une hiérarchie SDP construite à partir d'un idéal de Karush-Kuhn-Tucker et ses conséquences dans des cas particuliers. Nous étudions aussi le cas particulier où les minimiseurs ne sont pas des points de KKT en utilisant la variété de Fritz-John. / The objective of this thesis is to compute the optimum of a polynomial on a closed basic semialgebraic set and the points where this optimum is reached. To achieve this goal we combine border basis method with Lasserre's hierarchy in order to reduce the size of the moment matrices in the SemiDefinite Programming (SDP) problems. In order to verify if the minimum is reached we describe a new criterion to verify the flat extension condition using border basis. Combining these new results we provide a new algorithm which computes the optimum and the minimizers points. We show several experimentations and some applications in different domains which prove the perfomance of the algorithm. Theorethically we also prove the finite convergence of a SDP hierarchie contructed from a Karush-Kuhn-Tucker ideal and its consequences in particular cases. We also solve the particular case where the minimizers are not KKT points using Fritz-John Variety.

Ces travaux portent sur la modélisation et la simulation numérique des effets du déplacement d'un corps indéformable dans un écoulement multiphasique compressible. Ils se placent dans le cas où plusieurs objets sont en mouvement ou dans le cas où un objet est en mouvement dans un milieu aux géométries complexes. L'étude ne peut alors pas être placée dans le référentiel lié à l'objet en mouvement. Le modèle est basé sur une méthode multiphasique à interfaces diffuses où les différentes phases sont en équilibre mécanique. Le système régissant l'écoulement fluide est augmenté d'une équation d'advection. Cette dernière s'applique sur une fonction Level Set dont le niveau zéro permet de localiser le mobile dans l'espace. Des termes de couplage sont ajoutés au membre de droite des équations d'évolution de la quantité de mouvement et de l'énergie totale. Ces termes sont composés d'un facteur du type pénalisation et d'un facteur du type relaxation de vitesses. Cette nouvelle méthode permet de simuler des cas complexes où peuvent interagir des mobiles à hautes vitesses, des ondes de choc et des interfaces liquide/gaz. / This work deals with modelling and the numerical simulation of the effects of a moving rigid body on a multiphase flow. Here more than one object is moving, or an object is moving in a complex geometry domain. So the reference frame linked to the moving body can't be used. The model is build on a multiphase diffuse interface method with mechanical equilibrium. An advection equation is added. It applies on a Level Set function used to track the moving body. Coupling terms are added to the momentum equation and to the total energy equation. These terms are made of a penalization factor and a velocity relaxation factor. This new method allows to simulate complex cases where can interact high velocity objects, shock waves and liquid / gas interfaces.