Programmering som verktyg för lärande i matematik- En empirisk studie av elevers resonemangsförmåga i två olika undervisningsmiljöer För att förbereda grundskoleelever för denna allt mer digitaliserade värld, infördes programmering i kursplanen för matematik den första juli 2018. Syftet med den här studien var att undersöka om arbete i en programmeringsmiljö kan erbjuda nya möjligheter för lärande i matematik jämfört med en ouppkopplad lärmiljö. Detta undersöktes med hjälp av två för ändamålet särskilt designade lektioner, en där arbetet skedde ouppkopplat och en där arbetet skedde i en programmeringsmiljö. De deltagande eleverna arbetade parvis, och deras arbete observerades med hjälp av både fältanteckningar och ljudinspelningar. Elevernas lärande undersöktes genom att analysera deras matematiska resonemang vid de båda lektionstillfällena. Analysen skedde med hjälp av fyra analysfrågor, och resultatet visar tendenser till en skillnad i elevernas matematiska resonemang vid arbete i de två olika lärmiljöerna. På individnivå pekar resultatet på en variation i vilken av lärmiljöerna som var mest fördelaktig. På gruppnivå var det däremot fler elever som i större utsträckning följde varandras resonemang när de arbetade i programmeringsmiljön. Dessutom visade majoriteten av eleverna på en större uthållighet i att lösa uppgifterna när de arbetade med programmering. Vad dessa skillnader kan bero på diskuteras såväl i samband med studiens resultat som tidigare forskning. Slutsatsen lyder att programmering kan erbjuda elever nya sätt att lära matematik och därför bör användas som ett av flera verktyg i undervisningen. / Programming as a learning tool in mathematics - An empirical study of pupils’ mathematical reasoning in two different educational environments In order to prepare pupils for a more and more digitalised world, programming has been included in the Swedish curriculum for mathematics since July 1, 2018. The purpose of this study was to examine if working in a programming environment, in comparison to an unplugged environment, would offer pupils new opportunities for learning mathematics. This was examined by analysing the mathematical reasoning of the pupils during two different lessons; one where they worked without computers and one where they used computers and worked with block programming. The participating pupils worked in pairs, and the work and process of the pupils was observed and recorded by field notes and audio recordings. The learning opportunities was examined and the pupils' mathematical reasoning during both lessons was analysed. Four questions served as basis for the analysis, and the results showed a difference in the pupils’ mathematical reasoning in the two different learning environments. At an individual level, the results varied as regards which working environment was the most beneficial. At a group level, on the other hand, more of the pupils were able to follow each other’s mathematical reasoning when working in the programming environment. Furthermore, most of the pupils were more perseverant in solving the tasks when working in the programming environment. The possible cause of these differences is discussed in connection to the results of this study as well as to previous research. The conclusion is, a programming environment can offer the pupils new opportunities to learn and should be used as one of many ways to teach mathematics.

Många elever kämpar med matematikämnet i skolan. Dessa elever får inte alltid rätt stöttning vid rätt tid vilket kan resultera i att eleverna inte klarar grundskolan. Skolan har ett kompensatoriskt uppdrag och har en skyldighet att snabbt identifiera eleven i behov och sätta in rätt stödinsatser. Det finns olika former av stödinsatser där en kallas för extra anpassning. Det är en förhållandevis ny reform och lärare känner sig osäkra kring vad den egentligen innebär. Syftet med arbetet är således att bidra med kunskap om skolors kvalitetsarbete med extra anpassningar i matematik. Insamlingsmetoden som använts för att uppfylla syftet är dokumentinsamling samt intervjuer med verksamma lärare. Specialpedagogiska perspektiv har använts för att analysera resultatet. Slutsatserna av studien antyder att skolornas kvalitetsarbete med extra anpassningar i matematik skiljer sig åt beroende på vilka svårigheter eleverna anses ha. / Many students battle with math in school. These students don’t always get the right aid in time which can result in them not graduating from elementary school. The school has a compensatory commitment and an obligation to identify the student in needs quickly and introduce the required aid. There are various forms of support, one is called additional adjustments. It is a comparatively new reform and teachers feel uncertain about what the aid should actually entail. The purpose of this study is therefore to contribute with knowledge about schools quality work with additional adjustments in mathematics. Documents have been collected and interviews with active teachers have been performed to fulfil the purpose. Perspectives on special pedagogy have been used to analyze the result. Conclusions of the study suggest that the schools quality work with additional adjustments in mathematics differ depending on which difficulties the students are believed to have.

ICT, i.e. information and communication technology, is today an important part of the society. ICT tools are used in many different aspects in the everyday life, for example to perform transactions in the bank or to stay in touch with relatives and friends. Not long ago, ICT also became important in the world of school. Many schools have been equipped with ICT tools, like for example a virtual learning environment, laptops for teachers and pupils or smartboards, and many other schools are planning to. Meanwhile, the teachers are trying to catch up with the development and integrate the newly introduced technology in their work. Development in this area is requested in order to not let the teachers’ ICT literacy fall behind. Therefore, the teachers’ ICT literacy in relation to the use of ICT has been studied within the frame of this thesis. The aim of this study is to increase the understanding of what significance teachers’ ICT literacy may have for the organization of teaching in mathematics at three senior high schools in Stockholm during the academic year 2013/2014. The study was carried out by setting up interviews with mathematics teachers, attending one of their mathematics lessons for observation and handing out a questionnaire to the pupils at the lesson. The results obtained were analyzed and interpreted based on previous research in the area of ICT and learning and pedagogy. With the results obtained it appears that ICT tools may work as a support for pupils learning if the teachers know how and when to use the tools in their teaching. It is not enough that the teachers only work with ICT tools, but the use of ICT tools must be adapted to the pupils and with focus on their learning. In addition to that, the teachers’ ICT literacy differs in some extent. Some teachers mastered the use of ICT tools generally, for example by using computer programs, while other teachers also had knowledge of a computers’ functions and they could create programs. The teachers’ also used ICT tools in different extents. Meanwhile, it is clearly shown that their use of ICT tools is similar in the sense that the tools are used as substitutions for other existing tools, but with possible functional improvement. Since the teachers’ ICT literacy did differ while their use of ICT tools were the same, the fact that a teachers’ ICT literacy does not necessarily have significance for the organization of the mathematics teaching has been drawn as a conclusion, even though Skolverket have concluded something else in their evaluation. / IKT, dvs. informations- och kommunikationsteknik, är en viktig del i vårt samhälle idag. IKT-redskap används i många olika avseenden i vardagslivet, t.ex. till att genomföra transaktioner på banken eller hålla kontakten med släkt och vänner. För inte särskilt länge sedan blev IKT en viktig del även i skolans värld. Många skolor har utrustats med IKT-redskap, som t.ex. en lärplattform, bärbara datorer till lärare och elever eller smartboards, och många andra är på väg att göra det. Samtidigt försöker lärarna hänga med i utvecklingen och integrera den nyinförda tekniken i sitt arbete. Kompetensutveckling inom området efterfrågas för att lärarnas IKT-kompetens inte ska halka efter. Inom ramen för detta examensarbete har därför lärarnas IKT-kompetens i relation till användningen av IKT studerats. Syftet med studien är att öka förståelsen för vad lärares IKT-kompetens kan ha för betydelse för organiserandet av undervisningen i matematik i tre gymnasieskolor i Stockholm under läsåret 2013/2014. Undersökningen genomfördes med hjälp av intervjuer med matematiklärare, observationer som utfördes på en av deras matematiklektioner och enkät som besvarades av eleverna på den lektionen. De resultat som erhölls analyserades och tolkades utifrån tidigare forskning inom ämnet IKT och lärande samt pedagogiska teorier. Med de erhållna resultaten visar det sig att IKT-redskap kan fungera som stöd för elevers lärande om lärarna vet hur och när de ska använda redskapen i sin undervisning. Det räcker inte med att lärarna kan arbeta med IKT-redskapen, utan användningen av IKT-redskap måste anpassas efter eleverna och med deras lärande i fokus. Dessutom visar det sig i resultaten att lärarnas IKT-kompetens skiljer sig i någon grad från varandra. En del lärare visade endast på generell behärskning av IKT-användning, som att t.ex. arbeta med datorprogram, medan andra lärare även hade kunskaper om datorers funktioner och kunde programmera. Lärarna använde även IKT i olika stor utsträckning i sin undervisning. Samtidigt framgår det i studien att deras användning av IKT-redskap är likartad i den bemärkelsen att redskapen används som ersättare till andra redan befintliga redskap, fast med eventuell funktionell förbättring. Då lärarnas IKT-kompetens skiljde sig, samtidigt som användningen av IKT var likartad, så har slutsatsen dragits att en lärares IKT-kompetens inte nödvändigtvis har betydelse för organiserandet av matematikundervisningen. Detta trots att Skolverket har i sin utvärdering konstaterat annat.

Den empiriska studien syftar till att bidra till en ökad förståelse för hur uppgiftskontext påverkar flerspråkiga elever i problemlösningsprocessen vid arbete med textbaserade problemlösningsuppgifter. För att finna hur de flerspråkiga eleverna påverkas av uppgiftskontexten, samt vilka strategier eleverna tilltar om de upplever svårigheter i tolkningsfasen har observationer och intervjuer använts som datainsamlingsmetoder. Studien bygger på observationer och intervjuer av åtta flerspråkiga elever som genomförde fyra textbaserade problemlösningsuppgifter. Den insamlade empirin analyserades med hjälp av Pólyas olika problemlösningsfaser samt en tematisk analys. Studiens resultat visar att flerspråkiga elevers tolkning av ett matematiskt problem påverkas av uppgiftskontexten. Uppgiftskontexten påverkar vidare eleverna genom problemlösningsprocessen. Resultatet visar även att det finns flera strategier som flerspråkiga elever använder när de har svårigheter i tolkningsfasen bland annat; chansning, be om hjälp och omläsning.

Syftet med den här undersökningen har varit att undersöka hur lärare i förskoleklass beskriver att de använder sig av lek i matematikundervisningen i förhållande till lärare i årskurs 1. Vidare har undersökningen syftat till att undersöka lärares beskrivningar av den kollegiala samverkan för lek och matematik mellan de olika verksamheterna. För att få svar på lärares beskrivningar av lek, dess organisering i matematiken och deras kollegiala samarbete användes semistrukturerade intervjuer, som grundar sig i en kvalitativ metod.  Resultaten visade att majoriteten av samtliga lärare i matematikundervisningen använde sig av styrda och strukturerade lekar. I förskoleklass visade resultatet att lärarna främst använde sig av organiserade lekar, medan lärarna i årskurs 1 använde sig mer av spel. Vidare visade resultaten en avsaknad och önskan till ett större samarbete mellan de olika verksamheterna. Utifrån resultatet går det däremot att se en enighet av lärares beskrivningar av lek och lekens betydelse för elevernas lärarande. Det här visar en god grund att stå på i ett samarbete till att utveckla lekens möjligheter i matematikundervisningen.

Ambitionen med utvecklingsarbetet är att planera och genomföra schackundervisning i en förskola samt analysera aktiviteterna utifrån ett didaktiskt perspektiv, i syfte att utveckla och vidga mitt, som blivande förskollärare, arbetssätt att uppnå läroplanens mål i matematik. Huvudsakliga teorier innehåller didaktik och matematikdidaktik. Arbetet utgår ifrån en hermeneutisk ansats och experimentell observation har varit arbetets främsta metod.Resultaten visar att barnen under schackaktiviteter har utövat följande matematiska mål i läroplanen (2016): rumsuppfattning; grundläggande egenskaper hos mängder och antal; mätning; reflektion omkring olika strategier och problemlösningar; urskiljande; förklaring. Under aktiviteterna har barnen visat följande svårigheter för undervisningens innehåll: förstår inte hur man flyttar pjäsen springare; har svårt att kombinera varierade sätt att flytta damen för att undersöka det optimala sättet att uppnå målen; visar inte tillräcklig förståelse att behandla flera problem synkroniserat. Monologen är det dominerande kommunikationsmönstret under aktiviteterna, vilket innehåller en liknade modell. Jag styr monologen och erbjuder barnen ungefär lika många chanser att utrycka sig och delta i aktiviteterna. Dialogen sker mellan mig och barnen, samt mellan barnen. Initiativ till dialog tas i regel av barnen och påverkas endast minimalt av mig. Antalet dialoger skiljer sig dramatiskt åt bland barnen. Metakognitiv dialog uppstår endast under den sista aktiviteten. Jag utgör en viktig roll i metakognitiv dialog för att handleda barnen kring att vara medvetna om sin egen lärandeprocess.Schackaktiviteterna erbjuder en rik möjlighet för barnen att upptäcka och undersöka matematik med ett kritiskt tänkande samt erfara sina brister i schack. Det finns många meningsfulla moment där barnen tar initiativ till att bidra till att utveckla och fördjupa undervisningsinnehåll. En del av barnens funderingar och undersökningar är inspirerande för mitt framtida arbete.

Under året 2017 infördes programmering i matematikundervisningen på gymnasiet, men fortfarande har flera matematiklärare bristande didaktiska kompetenser inom programmering. Syftet med det här examensarbetet är att öka förståelsen för programmeringens påverkan på elevers attityder och relationella förståelse i matematiken för att därmed bidra med didaktiska kunskaper. Tidigare forskning visar att det finns flera studier som pekar på en positiv påverkan på elevers förståelse och attityder gentemot matematik kopplat till programmering. Däremot råder det en brist på studier som undersöker fördjupat hur elever påverkas, samt det finns inte många sådana studier i Sverige som lyfter fram elevperspektivet på området. Denna fallstudie undersöker hur elever påverkas av en programmeringsworkshop i sin matematikundervisning. Den insamlade datan består av för- och efterenkäter, elevobservationer under workshopen, samt en lärarintervju. Resultatet pekar på att det finns en flersidig och komplex bild av påverkan, men att elevers relationella förståelse och särskilt attityder påverkas främst positivt av programmering. Resultatet bidrar även med kunskaper om hur elever påverkas av lärarens val av hur programmering används i matematikundervisningen.

Att lösa matematiska uppgifter med hjälp av färdiga lösningsförslag kan ses som ett sätt för elever att anstränga sig mindre och därför lära sig mindre. Det finns dock forskning som har visat att undervisning där eleverna huvudsakligen studerar lösningsförslag har en stor effekt på elevernas förmåga att lösa uppgifter. Den här undervisningsmetoden kallas "the worked example effect" och har fått ett genomslag i den svenska skolan den senaste tiden. Metoden grundas på Swellers teori om kognitiv belastning. Enligt hans och andras forskning kan arbetsminnet delas upp i tre olika typer. Dessa tre, intrinsic cognitive load, germane cognitive load samt extraneous cognitive load, är additiva och stödjer lärande olika mycket. Lösningsförslag har visats minska mängden extraneous cognitive load och öka mängden germane cognitive load. Germane cognitive load har i sin tur visats korrelera med hur väl elever lyckas svara på matematiska uppgifter. Den här studien syftar till att undersöka lösningsförslagens effekt på elevers lärande i den svenska gymnasieskolan. I studien deltog tre skolor, varav en enbart i förstudien, i olika omfattning med totalt 93 elever på natur- och teknikprogrammen i andra årskursen på gymnasiet (17-18-åringar). Elevernas resultat på nationella proven i samtliga obligatoriska matematikkurser användes i undersökningen. Även en enkät genomfördes för att samla in mer information om eleverna och hur de studerade. Studien visar på ett tvetydigt resultat. Över 75% av eleverna anser sig ha ändrat sitt sätt att studera på grund av lösningsförslagen, men om och hur deras lärande har förbättrats, mätt i betyg, är oklart. För en av kurserna i matematik visade studien på ett negativt resultat, men för en annan kurs – positivt. Dessa olika resultat uppkom dessutom på olika skolor. En tolkning av detta resultat kan vara att lösningsförslagens effektivitet är beroende på vilken typ av matematik som ingår i kursen där de används. Det spelar även stor roll hur lösningsförslagen använts av eleverna, något som studien inte undersökt. / To solve mathematical tasks with the help of example solutions can be seen as a way for learners to apply less effort and therefore learn less or perhaps learn in undesirable ways. However, existing international research has indicated that classrooms where pupils mainly study worked examples has had a significant effect on their ability to solve tasks. This method is called "the worked example effect" and has gained increasing support over time. It is based on Sweller’s cognitive load theory. According to his and others’ research the working memory can be divided into three different types. These three, intrinsic cognitive load, germane cognitive load and extraneous cognitive load, are additive and support learning differently. Using worked examples has been shown to reduce the amount of extraneous cognitive load and instead increase the amount of germane cognitive load. Germane cognitive load has in turn been shown to correlate to how well pupils are able to solve mathematical tasks. This thesis aims to study the worked example effect in relation to learning outcome in Swedish secondary school. Three schools took part in the study, of which one only participated in a pilot study. A total of 93 pupils participated, all of them in the science program. Results of the national test for the four latest courses were used in this thesis. The pupils were also asked to fill out a survey with the aim to gather information as to how they used the worked examples when studying. The results of the study are ambiguous. More than 75% of the pupils claim to have changed how they study, but whether their learning has improved, measured in grades, is unclear. The study showed a negative result for one course but a positive for another. These different results originated from different schools. The results of the study may indicate that the worked example effect differs depending on which type of math is being taught. Another important factor is how the worked examples are used by the pupils, something this study has not examined.

Previous research has shown that substantial learning gains are possible when formative assessment and support for students’ development of self-regulated learning skills are implemented in classroom practice. Such implementation is not straightforward and there is a need for both further understanding of the knowledge and skills teachers require to practice formative assessment, and further insights into how different characteristics of ordinary teaching practices support students’ in becoming proficient self-regulated learners. This doctoral thesis includes a licentiate thesis and two articles. In the licentiate thesis, classroom observations are used to investigate the knowledge and skills used by a teacher engaged in a comprehensive formative classroom practice. The results show that the teacher's practice is complex and requires advanced knowledge and skills that are often used simultaneously and under time pressure. For example, the teacher, sometimes in a matter of seconds, handles new (to her) mathematics, makes inferences from students’ responses to their understanding, and based on these inferences makes decisions about her teaching. The first article is a literature review focusing on the effects of formative assessment on student achievement in mathematics since there is a lack of knowledge of the effects of formative assessment on student achievement, in particular for subject areas such as mathematics. In the review, a systematic literature search is made for articles studying the effects of both teacher-centered approaches and approaches emphasizing student involvement in the formative assessment processes. The latter type of approaches includes teacher practices that support students’ development of aspects of self-regulated learning competence. The results show that all approaches included in the review have significant positive effects on student achievement in mathematics. The second article examines in what ways learning situations in authentic classroom practices provide opportunities for the students to develop self-regulated learning skills, and how students experience these opportunities. The analysis is based on data from classroom observations of three teachers’ mathematics lessons, and on interviews with their students. The results show that instruction in self-regulated learning skills mostly occurred implicitly, and the opportunities to develop the skills were mainly provided and experienced at the observational level.

In the last decade, Professional Learning Communities (PLCs) are increasingly used as models for teachers’ joint efforts in developing their teaching. The overall aim of this licentiate thesis is to expand the knowledge of PLCs in mathematics, by deepening the understanding of aspects that influence the establishment, organization, and implementation of PLCs in mathematics. Specifically, the aim is to contribute with an overview of how PLCs in mathematics are organized and framed, and also to explain what may enable and hinder PLCs in mathematics. To fulfill the purpose, two studies are conducted where Cultural Historical Activity Theory (CHAT) is used as a conceptual and analytical framework. In the first study, previous research of PLCs in mathematics are synthesized through a configurative literature review, resulting in a description of how PLCs in mathematics are organized and framed. In the study, similarities, and differences between different models of PLCs in mathematics are examined regarding subjects, objects, mediating artifacts, rules, community, division of labor and outcomes. The result shows three different activity systems, with different objects or motives for implementing the PLCs. The activity systems vary concerning the use of mediating artifacts, and what norms regulate the activity system, but are similar regarding participants, context, and division of labor. In the second study, contradictions, and their manifestations in PLCs in mathematics are analyzed. Contradictions may enable or hinder the work of PLCs depending on whether they are identified or not. Contradictions, and their manifestations, are in the study examined through interviews with teacher leader coaches with experience in coaching teacher leaders of PLCs in mathematics. In the study, four contradictions, in and between activity systems, are identified. These four contradictions are manifested through 26 conflicts and dilemmas. The identified contradictions are connected to the norms and traditions that are part of mathematics as a discipline as well as the teacher profession. Taken together, the result of the two studies can be useful in establishing, organizing, and implementing future PLC endeavors. / Kollegialt lärande har det senaste decenniet blivit väletablerat i skolans värld som modell för lärargemensam undervisningsutveckling. Det övergripande syftet med den här licentiatavhandlingen är öka kunskapen om kollegialt lärande i matematik genom att fördjupa förståelsen för aspekter som kan påverka etablering, organisering och genomförande av kollegialtl ärande i matematik. Mer specifikt är syftet att bidra med en kunskapsöversikt över hur kollegialt lärande i matematik kan organiseras och inramas, samt att hitta möjliga förklaringar till vad som möjliggör och vad som hindrar kollegialt lärande i matematik. Detta görs genom två studier där verksamhetsteori använts för att konceptualisera och analysera kollegialtl ärande. I den första studien sammanställs tidigare publicerade studier om kollegialt lärande i matematik i en konfigurativ litteraturstudie, vilket resulterar i en kunskapsöversikt över hur kollegialt lärande i matematik kan organiseras och inramas. I studien analyseras likheter och skillnader mellan olika metoder för kollegialt lärande i matematik med avseende på de verksamhetsteoretiska begreppen subjekt, objekt, medierande artefakter, regler, gemenskap, arbetsdelning och utfall. Tre olika objekt, det vill säga motiv för att genomföra kollegialt lärande, identifieras som konstituerar tre olika verksamhetssystem, där objekt, normer och medierande artefakter skiljer sig åt. Subjekt, arbetsdelning och gemenskap är lika mellan de tre verksamhetssystemen. I den andra studien analyseras vilka motsättningar, det vill säga oförenligheter, som manifesteras i kollegiala lärgrupper i matematik. Motsättningar kan hindra eller möjliggöra kollegialt lärande beroende på om de identifieras eller inte. Motsättningar och deras manifesteringar har studerats genom att lärledarcoacher, som coachat lärledare för kollegialt lärande i matematik, intervjuas. I studien identifieras fyra motsättningar inom och mellan verksamhetssystem, manifesterade genom 26 konflikter och dilemman. De identifierade motsättningarna är sprungna ur matematikämnets och läraryrkets traditioner och normer. De två studiernas resultat sammantaget kan vara användbart vid organisering och genomförande av framtida kollegiala lärprojekt.