Neste trabalho apresenta-se uma solu c~ao para um problema abstrato de Cauchy. Basicamente, d a-se uma formula c~ao abstrata para certos tipos de equa c~oes diferenciais parciais n~ao lineares de evolu c~ao em espa cos de Nikol'skii, tais espa cos possuem boas propriedades de regularidade e resultados de imers~ao compacta, num certo sentido s~ao intermedi arios entre os espa cos de Holder e os espa cos de Sobolev. Aplicando o m etodo de Galerkin, prova-se resultados de exist^encia global de solu c~oes fracas, como tamb em a exist^encia de solu c~oes fracas com a propriedade de reprodu c~ao. E impondo mais hip oteses sobre os operadores envolvidos demonstra-se unicidade de solu c~oes fracas.

Consideramos o problema de Stokes em regiões com cilindros semi-infinitos conectados por um domínio limitado qualquer. Além das condições iniciais e de contorno, é imposto uma condição sobre o comportamento da pressão quando |x| → +∞. Apresentamos um problema proposto por D. Koch envolvendo tais situações e formulamos o problema em regiões mais gerais. Técnicas usadas na resolução do conhecido problema de Leray permitem a demonstração da existência de soluções para o problema variacional. / We consider the Stokes’ problem in regions with cylindrical outlets to infinity connected by an arbitrary bounded domain. We impose an additional condition about the pressure behavior as |x| → +∞, in addition to the usual initial and boundary conditions over the velocity field. We present a problem proposed by D. Koch concerning such regions and conditions, and we formulate it in terms of more general ones. The techniques used in the well-known Leray’s problem allow the demonstration of the existence of solutions to the variational problem.

Este trabalho faz uma pesquisa das vibrações de uma viga elástica não linear de Timoshenko sobre a influência de força axial e com uso do método espectral de Galerkin. O modelo não-linear de Timoshenko é obtido através do principio estendido de Hamilton. A função de energia é derivada de maneira geral, incluindo o caso linear, e com identificação das condições de contorno de natureza conservativa. A determinação das autofunções do sistema linear é realizada através de um problema de autovalor descrito por uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes matriciais que dependem não - linearmente no autovalor. A ortogonalidade das autofunções é obtida para as condições de contorno clássicas. As correspondentes autofunções são obtidas na base de Euler e na base gerada pela função matricial de Green de valor inicial. O método de Galerkin foi formulado matricialmente e a existência e unicidade foi obtida para uma viga bi-apoiada com o uso da função da energia e dados regulares. / This work investigates the vibrations of a nonlinear elastic Timoshenko beam, subject to an axial force, using the spectral method of Galerkin. The nonlinear model of Timoshenko is obtained through extended Hamilton s principle. The energy function is derived in a general form, including the linear case, and with identi cation of the boundary conditions of conservative nature. The determination of the eigenfunctions of the linear system is done through an eigenvalue problem described by a second-order di erential equation with matrix coe cients that depend non-linearly upon the eigenvalue. The orthogonality of the eigenfunctions is obtained for classical boundary conditions. The corresponding eigenfunctions are determined in the Euler s base and with the base generated by the initial value matrix Green function. The method of Galerkin was formulated in matrix terms and the existence and uniqueness of solutions was obtained for the bi-supported beam with use of the function of the energy and smooth data.

Neste trabalho, consideramos um problema de valor inicial e de fronteira, semelhante ao sistema de equações de Navier-Stokes, que descreve o movimento de um meio granular com densidade constante. Utilizando o método de Galerkin: provamos a existência de soluções fracas em espaços de Sobolev. / In this work, we consider an initial-boundary value problem similar to the Navier-Stokes system of equations describing the motion of a granulated medium with constant density. We prove, using Galerkin method, the existence of weak solutions in Sobolev spaces.

Este trabalho faz uma pesquisa das vibrações de uma viga elástica não linear de Timoshenko sobre a influência de força axial e com uso do método espectral de Galerkin. O modelo não-linear de Timoshenko é obtido através do principio estendido de Hamilton. A função de energia é derivada de maneira geral, incluindo o caso linear, e com identificação das condições de contorno de natureza conservativa. A determinação das autofunções do sistema linear é realizada através de um problema de autovalor descrito por uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes matriciais que dependem não - linearmente no autovalor. A ortogonalidade das autofunções é obtida para as condições de contorno clássicas. As correspondentes autofunções são obtidas na base de Euler e na base gerada pela função matricial de Green de valor inicial. O método de Galerkin foi formulado matricialmente e a existência e unicidade foi obtida para uma viga bi-apoiada com o uso da função da energia e dados regulares. / This work investigates the vibrations of a nonlinear elastic Timoshenko beam, subject to an axial force, using the spectral method of Galerkin. The nonlinear model of Timoshenko is obtained through extended Hamilton s principle. The energy function is derived in a general form, including the linear case, and with identi cation of the boundary conditions of conservative nature. The determination of the eigenfunctions of the linear system is done through an eigenvalue problem described by a second-order di erential equation with matrix coe cients that depend non-linearly upon the eigenvalue. The orthogonality of the eigenfunctions is obtained for classical boundary conditions. The corresponding eigenfunctions are determined in the Euler s base and with the base generated by the initial value matrix Green function. The method of Galerkin was formulated in matrix terms and the existence and uniqueness of solutions was obtained for the bi-supported beam with use of the function of the energy and smooth data.

Neste trabalho apresenta-se uma solu c~ao para um problema abstrato de Cauchy. Basicamente, d a-se uma formula c~ao abstrata para certos tipos de equa c~oes diferenciais parciais n~ao lineares de evolu c~ao em espa cos de Nikol'skii, tais espa cos possuem boas propriedades de regularidade e resultados de imers~ao compacta, num certo sentido s~ao intermedi arios entre os espa cos de Holder e os espa cos de Sobolev. Aplicando o m etodo de Galerkin, prova-se resultados de exist^encia global de solu c~oes fracas, como tamb em a exist^encia de solu c~oes fracas com a propriedade de reprodu c~ao. E impondo mais hip oteses sobre os operadores envolvidos demonstra-se unicidade de solu c~oes fracas.

Neste trabalho, consideramos um problema de valor inicial e de fronteira, semelhante ao sistema de equações de Navier-Stokes, que descreve o movimento de um meio granular com densidade constante. Utilizando o método de Galerkin: provamos a existência de soluções fracas em espaços de Sobolev. / In this work, we consider an initial-boundary value problem similar to the Navier-Stokes system of equations describing the motion of a granulated medium with constant density. We prove, using Galerkin method, the existence of weak solutions in Sobolev spaces.

Consideramos o problema de Stokes em regiões com cilindros semi-infinitos conectados por um domínio limitado qualquer. Além das condições iniciais e de contorno, é imposto uma condição sobre o comportamento da pressão quando |x| → +∞. Apresentamos um problema proposto por D. Koch envolvendo tais situações e formulamos o problema em regiões mais gerais. Técnicas usadas na resolução do conhecido problema de Leray permitem a demonstração da existência de soluções para o problema variacional. / We consider the Stokes’ problem in regions with cylindrical outlets to infinity connected by an arbitrary bounded domain. We impose an additional condition about the pressure behavior as |x| → +∞, in addition to the usual initial and boundary conditions over the velocity field. We present a problem proposed by D. Koch concerning such regions and conditions, and we formulate it in terms of more general ones. The techniques used in the well-known Leray’s problem allow the demonstration of the existence of solutions to the variational problem.

Consideramos o problema de Stokes em regiões com cilindros semi-infinitos conectados por um domínio limitado qualquer. Além das condições iniciais e de contorno, é imposto uma condição sobre o comportamento da pressão quando |x| → +∞. Apresentamos um problema proposto por D. Koch envolvendo tais situações e formulamos o problema em regiões mais gerais. Técnicas usadas na resolução do conhecido problema de Leray permitem a demonstração da existência de soluções para o problema variacional. / We consider the Stokes’ problem in regions with cylindrical outlets to infinity connected by an arbitrary bounded domain. We impose an additional condition about the pressure behavior as |x| → +∞, in addition to the usual initial and boundary conditions over the velocity field. We present a problem proposed by D. Koch concerning such regions and conditions, and we formulate it in terms of more general ones. The techniques used in the well-known Leray’s problem allow the demonstration of the existence of solutions to the variational problem.

Neste trabalho apresenta-se uma solu c~ao para um problema abstrato de Cauchy. Basicamente, d a-se uma formula c~ao abstrata para certos tipos de equa c~oes diferenciais parciais n~ao lineares de evolu c~ao em espa cos de Nikol'skii, tais espa cos possuem boas propriedades de regularidade e resultados de imers~ao compacta, num certo sentido s~ao intermedi arios entre os espa cos de Holder e os espa cos de Sobolev. Aplicando o m etodo de Galerkin, prova-se resultados de exist^encia global de solu c~oes fracas, como tamb em a exist^encia de solu c~oes fracas com a propriedade de reprodu c~ao. E impondo mais hip oteses sobre os operadores envolvidos demonstra-se unicidade de solu c~oes fracas.