Large sparse matrices arise in many applications, especially in the major problems of Cryptography of factoring integers and computing discrete logarithms. We focus attention on such matrices called sieve matrices generated after the sieving stage of the algorithms for integer factoring. We need to solve large sparse system of equations Bx = 0, with sieve matrices B arising in this context. The traditional Gaussian elimination, with a cubic run time, is not efficient for handling such matrices. Better algorithms for such input matrices are the quadratic runtime algorithms based on Block Lanczos(BL) or Wiedemann techniques. Of these two, BL is even better for large integer factoring algorithms. We carry out an efficient implementation of the Block Lanczos algorithm for finding the vectors in the null space of the the sieve matrix. We report our test results using our implementation for matrices of sizes up to 106. We plan to use this implementation in our ongoing projects on factoring the large RSA challenge integers of sizes 640 bits(called RSA-640) and beyond. So it is useful to exploit possible parallelism. We propose a scheme for parallelizing certain steps of the Block Lanczos method, taking advantage of structural properties of the sieve matrix. The sizes of matrices arising in integer factoring context are quite large. Hence we also discuss some techniques that are used to reduce the size of the sieve matrix. We also consider the last stage of the NFS Algorithm for finding square roots of large algebraic numbers and outline a sketch of our algorithm.

Πολλά κρυπτογραφικά σχήματα δημόσιου κλειδιού βασίζονται στο γεγονός ότι είναι υπολογιστικά δύσκολο να παραγοντοποιήσουμε μεγάλους ακέραιους αριθμούς. Ο ταχύτερος, και ταυτόχρονα πολυπλοκότερος, κλασσικός αλγόριθμος που είναι γνωστός μέχρι σήμερα για την παραγοντοποίηση ακεραίων μήκους άνω των 110 δεκαδικών ψηφίων είναι ο General Number Field Sieve (GNFS). Ο αλγόριθμος αυτός είναι ο καρπός πολλών ετών έρευνας, κατά τη διάρκεια της οποίας παράγονταν ολοένα και ταχύτεροι αλγόριθμοι για να καταλήξουμε μέχρι στιγμής στον αλγόριθμο GNFS. Πρωταρχικός σκοπός της παρούσης μεταπτυχιακής εργασίας είναι η παρουσίαση του θεωρητικού μαθηματικού υπόβαθρου πάνω στο οποίο βασίζεται ο GNFS καθώς και η ακολουθιακή υλοποίηση της βασικής εκδοχής του αλγορίθμου. Ως γλώσσα υλοποίησης επιλέχθηκε η C++. Η υλοποίηση έγινε σε συνεργασία με τον συμφοιτητή μου και αγαπητό φίλο Χρήστο Μπακογιάννη, όπου στα πλαίσια της μεταπτυχιακής του εργασίας πραγματοποιήθηκε η μεταφορά της ακολουθιακής υλοποίησης του αλγορίθμου σε παράλληλο κατανεμημένο περιβάλλον χρησιμοποιώντας το Message Passing Interface (MPI). Ο πηγαίος κώδικας της υλοποίησης καθώς και σχετικές πληροφορίες υπάρχουν online στη σελίδα http://kmgnfs.cti.gr. Σημειώνεται πως για την ευκολότερη και απρόσκοπτη ανάγνωση της εργασίας αυτής, ο αναγνώστης θα πρέπει να έχει ένα βαθμό εξοικείωσης με βασικές έννοιες της θεωρίας αριθμών, της αλγεβρικής θεωρίας αριθμών και της γραμμικής άλγεβρας. / Many public-key cryptosystems build their security on our inability to factor very large integers. The General Number Field Sieve (GNFS) is the most efficient, and at the same time most complex, classical known algorithm for factoring integers larger than 110 digits. This algorithm is the result of many years of research, during which, faster and faster algorithms were developed finally winding up to the development of the GNFS. The main purpose of this master thesis is the presentation of the mathematical ideas, on which the GNFS was developed, as well as a sequential implementation of the basic version of the algorithm. C++ was the language of choice. The implementation took place in collaboration with my colleague and dear friend Christos Bakogiannis, where as part of his master thesis, a distributed implementation of the algorithm using Message Passing Interface (MPI) was also developed. The source code of the implementations is publicly available and can be found online at http://kmgnfs.cti.gr. It is presumed that the reader is familiar with basic concepts of number theory, algebraic number theory and linear algebra.