Dans cet article, nous présentons une approche générale pour construire des catégories de motifs et établissons une partie du formalisme des six foncteurs pour ces catégories. Dans le cas de la cohomologie MW-motivique, nous prouvons le th'eorème des fibrés quaternioniques et construisons un triangle de Gysin. Ceci nous permet de définir des classes de Pontryagin sur les anneaux de Chow-Witt pour des fibrés symplectiques. Appliquant ces outils, nous calculons le groupe des morphismes entre schémas lisses et propres dans la catégorie des MW-motifs (effectifs). / In this thesis, we present a general framework to construct categories of motives and build part of the six operations formalism for these categories. In the case of MW-motivic cohomology, we prove the quaternionic projective bundle theorem and construct a Gysin triangle, which enable us to define Pontryagin classes on Chow-Witt rings for symplectic bundles. Applying these tools together, we compute the group of morphisms between smooth proper schemes in the category of (effective) MW-motives.