Dans cette thèse nous appliquons le calcul de Malliavin à l'estimation statistique de paramètres de certains processus stochastiques et à l'obtention de théorèmes de la limite centrale pour les variations quadratiques à poids de processus fractionnaires et/ou à deux paramètres ainsi qu'à l'approximation gaussienne de mesures de probabilités multidimensionnelles. Dans le Chapitre 1 nous construisons des estimateurs de type Stein pour la dérive de processus gaussiens et pour l'intensité de processus de Poisson. Dans le Chapitre 2 nous calculons l'estimateur bayésien du signal d'entrée d'un canal de Poisson et nous étendons notre résultat aux canaux dont le bruit est une martingale normale possédant la propriété de représentation chaotique. Dans le Chapitre 3 nous établissons des théorèmes de la limite centrale pour les variations quadratiques à poids du drap brownien standard (nous permettant de donner un estimateur asymptotiquement normal de la variation quadratique de certains processus de diffusion à deux paramètres) puis pour celles de certains draps browniens fractionnaires. Dans ce même chapitre nous établissons un théorème de la limite centrale pour les variations quadratiques à poids du mouvement brownien fractionnaire d'indice $H=1/4$ nous permettant de donner le comportement asymptotique des sommes de Riemann à signe alterné associées au mouvement brownien fractionnaire d'indice $H=1/4$. Enfin dans le Chapitre 4 nous appliquons la méthode de Stein et du calcul de Malliavin afin d'obtenir des bornes explicites pour l'approximation gaussienne multidimensionnelle de fonctionnelles de champs gaussiens. Nous appliquons en particulier nos résultats aux théorème de la limite centrale de Breuer et Major pour des champs associés à un mouvement brownien fractionnaire.

On étudie des modèles de champs aléatoires binaires, respectant une propriété de renouvellement spatial, en vue de la modélisation de phénomènes épidémiologiques

Nous étudions des champs aléatoires sur le réseau Z^d. Ils sont supposés stationnaires, du second ordre et à longue mémoire, propriété due à la non sommabilité de leur fonction de covariance. Contrairement aux travaux antérieurs, leur longue mémoire peut être non isotrope. Lorsque ces champs sont linéaires, nous obtenons la convergence fonctionnelle de leurs sommes partielles. A partir de ce résultat, nous proposons une procédure pour tester la faible dépendance contre la forte dépendance d'un champ. Nous montrons par ailleurs la dégénérescence asymptotique du processus empirique de champs à longue mémoire ; les applications concernent notamment la convergence des U-statistiques. Nous étudions enfin certaines formes quadratiques de champs à longue mémoire. Cela nous permet d'obtenir en application la loi limite des covariances empiriques et constitue une première étape dans l'étude de l'estimateur de Whittle des paramètres de longue mémoire d'un champ.

L'objet de ce travail de recherche est de construire un modèle approché en vue de simuler les trajectoires d'un processus stochastique non gaussien strictement stationnaire sous la seule donnée (incomplète) de sa loi marginale d'ordre un, ou des N premiers moments de cette loi, et de sa fonction d'autocorrélation. La méthode de simulation développée au cours de cette thèse s'appuie sur deux méthodes bien connues de simulation de processus gaussiens : la méthode spectrale et la markovianisation. D'autre part, si seuls les N premiers moments de la loi marginale sont donnés, le principe de maximum d'entropie est utilisé pour choisir cette loi. A partir de la loi marginale est construite une transformation non linéaire qui est ensuite projetée sur la base des polynomes d'Hermite. Le modèle construit consiste donc en une transformation polynomiale d'un processus gaussien stationnaire standard dont la fonction d'autocorrélation est déterminée à l'aide d'un problème de minimisation. Cette méthode de simulation est mise en oeuvre dans des exemples numériques inspirés de l'ingénierie mécanique. Enfin, les convergences en moyenne quadratique et presque-sure du modèle ont été étudiées.

On établit d'abord une approximation forte du processus empirique composé par une combinaison linéaire d'un pont brownien et d'un processus de Wiener.Ensuite le module d'oscillation du processus empirique composé est étudié et en particulier on établit une loi limite sur le comportement des oscillations de ce processus.Une loi fonctionnelle est démontrée pour le processus empirique composé indexé par des intervalles. Enfin on établit une nouvelle démonstration de la loi du logarithme itéré pour l'estimateur non paramétrique de la régression par la méthode des noyaux.

Dans cette thèse, nous nous intéressons à trois développements des arbres de ramification("splitting trees") introduits par Geiger & Kersting (1997), et aux processus de branchement de Crump-Mode-Jagers (CMJ) qui y sont associés. Ces arbres aléatoires modélisent une population où tous les individus ont des durées de vie indépendantes et identiquement distribuées et qui donnent naissance à taux constant b durant leurs vies à des copies d'eux-mêmes. Le processus comptant le nombre d'individus vivants au cours du temps est un processus CMJ binaire et homogène qui peut être vu comme une généralisation du processus de vie et de mort markovien dans lequel les durées de vie sont exponentielles. Dans un premier chapitre, nous considérons un modèle île-continent, généralisant celui de Karlin et McGregor, et dans lequel des individus portant des types immigrent à taux T vers une île et y fondent des familles qui évoluent indépendamment et suivant le mécanisme décrit précédemment. Différentes hypothèses sont faites sur la façon dont les types sont choisis (soit chaque nouvel immigrant est d'un type différent des précédents, soit il est de type i avec une proba pi, etc.) et nous déterminons les proportions asymptotiques de chacun des types dans la population totale. Dans le cas "nouvel immigrant=nouveau type", la limite suit une distribution GEM de paramètre T/b et nous remarquons qu'elle ne dépend que de ce rapport et pas de loi de la durée de vie des individus. Dans un second temps, nous étudions un autre modèle de population dans des mutations pouvant se produire à la naissance des individus avec une certaine probabilité. Nous considérons un modèle dit à une infinité d'allèles, c'est-à-dire que chaque mutant est d'un type (ou allèle) jamais rencontré auparavant, et neutre car quels que soient leurs types, les individus évoluent tous de la même manière. Nous étudions la partition allélique de la population en considérant son spectre de fréquence qui décrit le nombre de types d'âge donné et portés par un nombre donné d'individus. Nous obtenons des résultats concernant son comportement asymptotique en utilisant les caractéristiques aléatoires de Jagers & Nerman. Nous donnons également la convergence en loi des abondances des plus grandes familles et des âges des plus vieilles familles. Dans le dernier chapitre, nous nous intéressons à des processus de Lévy spectralement positifs (ou sans sauts négatifs), ne dérivant pas vers l'infini et que l'on conditionne à rester positifs en un nouveau sens. Pour cela, un processus X partant de x > 0 est conditionné à atteindre des hauteurs arbitrairement grandes avant de toucher 0 où le terme hauteur est à comprendre au sens du processus des hauteurs de Duquesne & Le Gall (2002). La loi du processus conditionné est définie à l'aide d'une h-transformée via une martingale. Lorsque X est à variation finie, l'argument principal est que X peut être vu comme le processus de contour d'un arbre de ramification et ainsi conditionner le processus de Lévy revient à conditionner l'arbre à atteindre des générations arbitrairement grandes. Lorsque X est à variation infinie, le processus des hauteurs est défini à l'aide de temps locaux et la martingale est construite à partir du processus d'exploration de Duquesne et Le Gall, qui est un processus de Markov à valeurs mesures.

Cette thèse est consacrée à l'étude de trois modèles combinatoires intervenant dans la théorie des probabilités. Nous nous intéressons tout d'abord à la hauteur d'arbres de fragmentation. À mesure de dislocation fixée, deux régimes bien différents peuvent apparaître selon la capacité des sommets : au-delà d'une capacité critique, les hauteurs ont même asymptotique tandis que, en deçà de ce paramètre critique, les arbres sont de plus en plus hauts à mesure que le seuil de rupture diminue. Nous présentons ensuite des résultats obtenus avec Nicolas Curien sur le quadtree. Nous explicitons les comportements asymptotiques des coûts moyens des requêtes partielles. La théorie des fragmentations joue encore un rôle clé. Nous étudions enfin les grands graphes aléatoires, critiques pour le modèle de configuration. Sous certaines hypothèses, nous prouvons que, correctement remises à l'échelle, les suites des tailles des composantes connexes de ces graphes convergent en un certain sens vers une suite aléatoire non triviale que nous caractérisons. La situation est bien différente selon que la loi des degrés d'un sommet a un moment d'ordre 3 fini ou est une loi de puissance d'exposant compris entre 3 et 4.

Ce document de synthèse présente différents travaux de recherche centrés sur le comportement asymptotique de processus stochastiques. Ces travaux analysent des équations différentielles stochastiques ou des systèmes d'EDS dirigés par des mouvements browniens. Ils font effectivement appel au calcul asymptotique: dans les questions posées, il s'agit bien souvent de considérer la limite d'un paramètre du système dynamique. Cela peut être: le coefficient de diffusion qui tend vers $0$, le temps qui croît à l'infini, le nombre de particules dans un système de particules en interaction qui tend vers l'infini, le pas de temps d'une marche aléatoire qui tend vers $0$. Les techniques utilisées sont donc spécifiques à ces passages à la limite: grandes déviations, estimation d'intégrales par la méthode de Laplace, limite de McKean-Vlasov, propagation du chaos, critère de tension des lois de processus, décomposition spectrale des semi-groupes.

Cette thèse est constituée de 5 chapitres. Le chapitre 1 est divisé en deux parties; la première autour des généralités sur les processus de Lévy et la deuxième sur le cas particulier des processus symétriques stables. Le chapitre 2 porte sur la théorie des fluctuations dans le cas stable et concentre la plupart des résultats originaux de cette thèse. Dans ce chapitre, on s'intéresse premièrement à la loi conjointe du premier temps de passage au-dessus d'une barrière et de la position du processus en cet instant ainsi qu'à des questions autour de l'absolue continuité de la loi du supremum. Dans un deuxième temps, dans le cas stable, on s'intéresse à la loi conjointe du processus au temps t, de son supremum avant t et du dernier temps d'atteinte du supremum avant t. Le chapitre 3 est aussi constitué des deux parties, une partie sur les temps locaux et une autre partie sur la théorie des excursions. Les deux parties sont traitées dans le cas des processus symétriques stables d'indice supérieur à 1. Concernant les temps locaux, on rappelle leur définition et leurs principales propriétés. Concernant la théorie des excursions, on présente la théorie de façon semblable aux cas classiques en passant entre autres par les définitions d'excursion normalisée et de méandre, et en donnant des constructions simples pour ces objets. On présente aussi quelques développements récents de la théorie dus à K.Yano, Y. Yano et M. Yor. Les chapitres 4 et 5 portent sur des applications (dans le cas symétrique stable) de la théorie des excursions à l'étude respectif des temps passés positif et négatif et des valeurs principales généralisées.

Dans une première partie, après avoir rappelé les principales caractéristiques statistiques des séries financières, en particulier l'existence de corrélations non linéaires à longue portée et d'une asymétrie fortement persistante, nous mettons en évidence la pertinence des processus multifractals pour la modélisation de ces faits stylisés. Les constructions récemment proposées dans la littérature demeurent cependant exclusivement symétriques et nous montrons comment introduire de l'asymétrie dans ces modèles sans sacrifier leurs propriétés d'échelle. Il est alors possible de rendre compte du phénomène de smile de volatilité. Dans une deuxième partie, nous proposons une méthode numérique pour la valorisation et la couverture d'options en marché incomplet. Notre algorithme peut en outre être généralisé sans difficulté pour tenir compte d'autres imperfections du marché comme les frais de transaction.