Tableau d'honneur de la Faculté des études supérieures, 2018-2019 / Dans un article récent de Aleman, Hartz, McCarthy et Richter, les auteurs ont montré que toute fonction dans un espace avec la propriété de Pick complète peut s’écrire comme un quotient de deux multiplicateurs. Ce résultat était un des deux points clé manquant dans la démonstration d’une version du théorème de Gleason–Kahane–Zelazko pour l’espace de Dirichlet. Le but de ce mémoire est de développer la théorie des espaces de Hilbert à noyau reproduisant et d’utiliser celle-ci afin d’étudier trois espaces importants de fonctions holomorphes sur D, soit l’espace de Hardy, l’espace de Dirichlet et l’espace de Bergman, et de bien comprendre le résultat de Aleman, Hartz, McCarthy et Richter. On est par la suite en mesure de démontrer le théorème GKZ pour l’espace de Dirichlet. iii

Introduit par Dodge and Romig [1959] et rendu populaire par Valadez [1991]), le Lot Quality Assurance Sampling (LQAS) est une méthode beaucoup utilisée par les organismes dans le suivi de leurs activités (Robertson and Valadez [2006]). Le LQAS est utilisé dans le contexte comme une approche simple et peu coûteuse pour prendre rapidement des décisions par rapport à l’allocation des ressources. L’approche proposée par Valadez consiste à réaliser le test usuel de la binomiale exacte sur une proportion où on contrôle à la fois les erreurs a et b pour choisir une taille n et un seuil critique c. Pour rendre accessible son utilisation, Valadez et al. [2002] ont développé un manuel des praticiens qui présente une méthodologie d’utilisation du LQAS plus complexe que l’approche proposée par Valadez. Plusieurs problèmes liés à l’utilisation du LQAS en pratique sont identifiés et nous avons évalué leurs impact sur les erreurs de type I et II. Nous avons proposé d’autres solutions comme le test exact de Fisher, le test exact de Barnard, un test basé sur l’approximation par la loi normale avec et sans transformation arcsin( p x) en contrôlant pour chacun de ces tests a et b. Nous avons aussi soulevé le problème de la comparaison multiple et nous avons proposé une correction, celle de Bonferroni. Au terme de l’étude, nous avons développé une application Shiny sur R (https://lqasdesign. shinyapps.io/app1/) pour faciliter la conception et l’analyse selon le LQAS. / Introduced by Dodge and Romig [1959] and popularized by Valadez [1991], Lot Quality Assurance Sampling (LQAS) is a method widely used by tremendous organizations to tracking their activities (Robertson and Valadez [2006]). It is a simple and economical approach which allow them to make quick decisions about resource allocation. The approach proposed by Valadez consists in carrying out the usual exact binomial test on a proportion where we control both the a and b errors to choose a n size and a critical c threshold. In this study, several issues related to the use of LQAS in practice have been identified and we assessed their impact on Type I and Type II errors. Then, we proposed several solutions such as Fisher’s exact test, Barnard’s exact test, as well as a test based on the normal approximation with and without transformation arcsin( p x) by checking for each of them a and b. We also raised the problem of multiple comparison and proposed a correction using the Bonferroni framework. Finally, we developed a Shiny application on R (https://lqasdesign.shinyapps.io/app1/) to facilitate the practical implementation of each these methods.

Tableau d'honneur de la Faculté des études supérieures et postdoctorales, 2018-2019 / La modélisation de la dépendance entre les risques pour un portefeuille d’une assurance ou d’une entité financière est devenue de plus en plus importante pour la solvabilité des institutions financières et l’examen de solvabilité dynamique et l’analyse financière dynamique des compagnies d’assurance. L’hypothèse d’indépendance entre les risques est parfois réaliste et facilite l’évaluation, l’agrégation et l’allocation des risques. Cependant, dans la majorité des cas, les risques individuels sont influencés par un ou plusieurs facteurs communs, tels que l’environnement économique, les régions géographiques ou les conditions climatiques et il est donc moins réaliste, voire dangereux, de supposer l’indépendance entre les risques d’un même portefeuille. Dans la littérature, un tel cas peut être modélisé par des modèles avec mélange commun. Ces modèles ont de nombreuses applications en assurance et en finance. L’objectif de cette thèse est donc d’explorer les modèles de dépendance construits à l’aide des mélanges communs et de faire sortir, à l’aide de plusieurs applications, la dangerosité de considérer l’indépendance entre les risques au sein d’un portefeuille. En particulier, la focalisation est mise sur un modèle souvent considéré pour modéliser le montant de sinistres, notamment la loi exponentielle mélange. Cette thèse considère les modèles de risque basés sur la loi exponentielle mélange. Le premier chapitre constitue une introduction générale aux modèles avec mélanges communs et introduit les notions qui seront utilisées dans les autres chapitres. Dans le deuxième chapitre, nous considérons un portefeuille de risques représentés par un vecteur de variables aléatoires dont la fonction de répartition conjointe est définie par une copule Archimédienne ou une copule Archimédienne imbriquée. Nous examinons le calcul de la fonction de répartition de la somme ou une variété de fonctions de ces variables aléatoires. En nous basant sur la méthodologie computationnelle présentée dans ce chapitre, nous examinons plusieurs problèmes reliés à différents modèles de risque en actuariat, tels que l’agrégation et l’allocation du capital. De plus, en utilisant une telle structure de dépendance avec des marginales spécifiques, nous obtenons des expressions explicites pour plusieurs quantités relatives au risque agrégé telles que sa fonction de masse de probabilité, sa fonction de répartition, sa TVaR, etc. L’échangeabilité des copules Archimédiennes implique que toutes les marginales sont égales. Afin de généraliser les copules Archimédiennes pour permettre les asymétries, plusieurs chercheurs utilisent une structure hiérarchique obtenue en imbriquant plusieurs copules Archimédiennes. Toutefois, il est difficile de valider la condition d’imbrication permettant d’assurer que la structure résultante est une copule, lorsque les copules impliquées appartiennent à des familles Archimédiennes différentes. Afin de remédier à ce problème, nous présentons, au troisième chapitre, une nouvelle méthode d’imbrication basée sur la construction des lois composées multivariées exponentielles mélange. En introduisant plusieurs paramètres, un large spectre de structures de dépendance peut être couvert par cette nouvelle construction, ce qui semble être très intéressant pour des applications pratiques. Des algorithmes efficients de simulation et d’agrégation sont également présentés. En nous inspirant à la fois des chapitres 2 et 3, nous proposons et examinons en détail au quatrième chapitre une nouvelle extension au modèle collectif de risque en supposant une certaine dépendance entre la fréquence et la sévérité des sinistres. Nous considérons des modèles collectifs de risque avec différentes structures de dépendance telles que des modèles impliquant des lois mélanges d’Erlang multivariées ou, dans un cadre plus général, des modèles basés sur des copules bivariées ou multivariées. Nous utilisons également les copules Archimédiennes et Archimédiennes hiérarchiques afin de modéliser la dépendance entre les composantes de la somme aléatoire représentant le montant de sinistre global. En nous basant encore une fois sur la représentation de notre modèle sous forme d’un mélange commun, nous adaptons la méthodologie computationnelle présentée au chapitre 2 pour calculer la fonction de masse de probabilité d’une somme aléatoire incorporant une dépendance hiérarchique. Finalement, dans le cinquième chapitre, nous soulignons l’utilité des modèles avec mélange commun et nous étudions plus en détail les lois exponentielles mélange dans leurs versions univariée et multivariée et nous expliquons leur lien étroit avec les copules Archimédiennes et Archimédiennes hiérarchiques. Nous proposons également plusieurs nouvelles distributions et nous établissons leurs liens avec des distributions connues. / Risk dependence modelling has become an increasingly important task for the solvency of financial institutions and insurance companies. The independence assumption between risks is sometimes realistic and facilitates risk assessment, aggregation and allocation. However, in most cases individual risks are influenced by at least one common factor, such as the economic environment, geographical regions or climatic conditions, and it is therefore less realistic or even dangerous to assume independence between risks. In the literature, such a case can be modelled by common mixture models. These models have many applications in insurance and finance. The aim of this thesis is to explore the dependence models constructed using common mixtures and to bring out, with the use of several applications, the riskiness of considering the independence between risks within an insurance company or a financial institution. In particular, the focus is on the exponential mixture. Exponential mixture distributions are on the basis of this thesis. The first chapter is a general introduction to models with common mixtures and introduces the concepts that will be used in the other chapters. In the second chapter, we consider a portfolio of risks represented by a vector of random variables whose joint distribution function is defined by an Archimedean copula or a nested Archimedean copula. We examine the computation of the distribution of the sum function or a variety of functions of these random variables. Based on the computational methodology presented in this chapter, we examine risk models regarding aggregation, capital allocation and ruin problems. Moreover, by using such a dependency structure with specific marginals, we obtain explicit expressions for several aggregated risk quantities such as its probability mass function, its distribution function, and its TVaR. The exchangeability of the Archimedean copulas implies that all margins are equal. To generalize Archimedean copulas to allow asymmetries, several researchers use a hierarchical structure obtained by nesting several Archimedean copulas. However, it is difficult to validate the nesting condition when the copulas involved belong to different Archimedean families. To solve this problem, we present, in the third chapter, a new imbrication method via the construction of the multivariate compound distributions. By introducing several parameters, a large spectrum of dependency structures can be achieved by this new construction, which seems very interesting for practical applications. Efficient sampling and aggregation algorithms are also presented. Based on both Chapters 2 and 3, we propose and examine in detail, in the fourth chapter, a new extension to the collective risk model assuming a certain dependence between the frequency and the severity of the claims. We consider collective risk models with different dependence structures such as models based on multivariate mixed Erlang distributions, models involving bivariate or multivariate copulas, or in a more general setting, Archimedean and hierarchical Archimedean copulas. Once again, based on the common mixture representation, we adapt the computational methodology presented in Chapter 2 to compute the probability mass function of a random sum incorporating a hierarchical Archimedean dependency. Finally, in the last chapter, we study, in more details, the exponential mixture distributions in their univariate and multivariate versions and we explain their close relationship to Archimedean and hierarchical Archimedean copulas. We also derive several new distributions, and we establish their links with pre-existent distributions. Keywords : Common mixture models, Exponential mixture, Bernoulli mixture, Archimedean copulas, Nested Archimedean copulas, Compounding, Marshall-Olkin, Hierarchical dependence structures.