Orientador: Manoel Ferreira Borges Neto / Banca: Waldir Leite Roque / Banca: José Márcio Machado / Resumo: Nesta dissertação, além da apresentação de um ensaio teórico sobre a fundamentação da Mecânica Quântica, Computação, Informação Quântica, Criptografia e Entropias Quânticas, serão mostradas, de forma inédita, algumas implementações sobre o efeito da Entropia no Emaranhamento Quântico, importante para processos de transmissão da Informação Quântica, com o uso dos programas Mathematica e Matlab. Primeiramente e apresentado um breve histórico sobre a Computação Quântica e a Informação Quântica, junto com uma perspectiva do futuro. Logo em seguida uma breve introdu cão sobre a Mecânica Quântica, com o estudo de autovetores e autovalores e seus postulados, produtos tensoriais e o micro-universo. Na sequência um texto sucinto com os conceitos fundamentais da Computação Quântica como os bits quânticos, e portas lógicas. Além dos principais algoritmos quânticos. Depois passa-se a estudar a Informa ção Quântica, as operações quânticas, canais de inversão e polarização, para então chegar-se a Entropia, quando e feito um estudo comparativo entre as entropias de Von Neumann e Tsallis. E por fim um pouco de Criptografia Quântica. / Abstract: In this dissertation, beyond the presentation of a theoretical essay on the basis of the Quantum Mechanics, Computation, Quantum information, Quantum Criptografy and Entropies, it will also be shown, for rst time, some implementations on the e ect of the Entropy tests on Quantum Entanglement for processes of transmission of Quantum Information, through the uses Mathematica and Matlab Programs. First I present a historical brie ng on the Quantum Computation and Quantum Information, together with a perspective of the future. Afterwards it will shown on introduction on the Quantum Mechanics, and its postulates, and the micro-universe. In sequence, a brief text with the fundamental concepts of the Quantum Computation, as the quantum bits, logic gates, and the main quantum algorithms. Later we will start to study Quantum Information, the quantum operations, channels of inversion and polarization. Furthermore we will go to discuss Entropy, where it is made a comparative study of Entropies of Von Neumann and Tsallis. And nally a little of Quantum Criptografy will be worked out. / Mestre

Este trabalho descreve a utilização de um software livre educacional do interferômetro de Mach-Zehnder (IMZ), em português, como instrumento motivador, ilustrativo, de fácil manuseio e compreensão, para ajudar no ensino e aprendizagem de Física. Salientamos que este software educacional foi desenvolvido através de um projeto coordenado pelas professoras Fernanda Ostermann e Flávia Rezende, do Instituto de Física da Universidade Federal do Rio Grande do Sul (UFRGS) e da Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ) e foi utilizado como principal instrumento para introduzir conceitos fundamentais de física quântica em uma disciplina do curso Mestrado Profissional de Ensino de Física. No entanto, podemos dizer que esta foi a primeira vez que o IMZ foi aplicado a uma turma de professores não ligados profissionalmente à UFRGS. Em acréscimo ao software, foram elaborados e remodelados como produtos educacionais, textos de apoio e guias experimentais que poderão ser usados tanto por professores, como por alunos do Ensino Médio. Fenômenos ondulatórios foi o assunto explorado e um de seus subtemas, a interferência da luz, foi bastante enfatizada. Colocamos à disposição dos professores um material didático de fácil interpretação, podendo, também, ser utilizado com alunos do Ensino Médio. O desenvolvimento desse material tem caráter estratégico para que sirva de base a futuras transposições de temas da física quântica, em particular, o fenômeno da dualidade onda-partícula, para este nível de ensino. Este material de apoio e o software compreendem um curso de quarenta horas, para um grupo de seis professores da rede estadual, mais especificamente para os professores que lecionam Física, nas escolas que representam a 6ª Coordenadoria Regional de Educação (6ª CRE), com o apoio da mesma. O curso aconteceu em 2006, na Escola Estadual de Ensino Médio “Ernesto Alves de Oliveira”, em Santa Cruz do Sul, RS. Embasado na Teoria de Aprendizagem Significativa de Ausubel, o material servirá, também, como base ou conhecimento prévio para futuras investidas em outros temas relacionados à física quântica. O conteúdo da teoria ondulatória da luz, trabalhado sobre o aparato do interferômetro virtual de Mach-Zehnder proporcionou a interação entre o conhecimento novo (física quântica e dualidade ondapartícula, desenvolvida sobre o interferômetro virtual de Mach-Zehnder no regime quântico) e o prévio (teoria ondulatória da luz desenvolvida sobre o interferômetro virtual de Mach- Zehnder clássico), possibilitando uma aprendizagem significativa e dando sentido às novas informações. No decorrer do curso, ao analisarmos o comportamento e as atitudes dos professores, pudemos perceber que este assunto não é trabalhado no Ensino Médio, e que eles apresentam dificuldades em relação aos conceitos fundamentais da teoria. Entretanto, parte do grupo mostrou interesse em obter novos conhecimentos, pois em todos os encontros havia questionamentos relacionando novos conceitos com os pré-existentes. Enfim, o software gerou visível entusiasmo com as novas possibilidades de aulas “práticas”, com a aprendizagem dos novos conceitos e também a proposta de se avaliar com a utilização de mapas conceituais, estratégia desenvolvida por Novak. / In this work it is shown how the utilization of a free educational software can be useful as a motivating and illustrative tool to help the teaching and understanding of fundamental concepts on quantum mechanics. Besides being available also in Portuguese, the virtual Mach-Zehnder Interferometer (MZI) is easy to handle. The software has been developed under a project coordinated by Professor Ostermann (UFRGS) and Professor Rezende (UFRJ) and has been used as a main tool to introduce students from Mestrado Profissional em Ensino de Física to fundamental concepts on quantum physics. Here, it is reported the first time the software was used in an environment that is not university. Concepts of quantum physics were discussed in a 40 hours course given to a group of six secondary level school teachers in 2006. They were teachers working under the 6ª Coordenadoria Regional de Educação (6ª CRE). The course took place in Santa Cruz do Sul (RS) at Escola Estadual de Ensino Médio “Ernesto Alves de Oliveira”. In order to help the students with the software itself and physical concepts that could help the understanding of the simulations results, supporting materials like helping texts and experimental guides were prepared based on Ausubel framework. We were also concerned about an educational product that could also be helpful to secondary level school students. The texts are available in an easy language and straightforward physics. Although the number of students were relatively small, the group was representative in the sense it reproduces the reality of public secondary schools in Brazil. Physics is not, in general, taught by people that are graduated in Licenciatura em Física and the ones that are, are in general, not very well prepared. It was clear that no one in the group had enough confidence “to touch” subjects related to quantum physics in classes having the excuse this is a very difficult topic to overcome. Using optical physics as basis and the virtual MZI, we could see some enthusiasm when the students realize it is possible, for example, to discuss some concepts related to wave-particle duality without unreachable mathematics.

Ordem topológica descreve fases da matéria que não são caracterizadas apenas pelo esquema de quebra de simetria de Landau. Em 2-dimensões ordem topológica é caracterizada, entre outras propriedades, pela existência de uma degenerescência do estado fundamental que é robusta sobre perturbações locais arbitrarias. Com o proposito de entender o que caracteriza e classifica ordem topológica 3-dimensional o presente trabalho apresenta um modelo quântico exatamente solúvel em 3-dimensões que generaliza os modelos em 2-dimensões baseados em teorias de gauge. No modelo proposto o grupo de gauge é substituído por um 2-grupo. A Hamiltonia, que é dada por uma soma de operadores locais, é livre de frustrações. Provamos que a degenerescência do estado fundamental nesse modelo é dado pelo invariante de Yetter da variedade 4-dimensional Sigma × S¹, onde Sigma é a variedade 3-dimensional onde o modelo está definido. / Topological order describes phases of matter that cannot be described only by the symmetry breaking theory of Landau. In 2-dimensions topological order is characterized, among other properties, by the presence of a ground state degeneracy that is robust to arbitrary local perturbations. With the purpose of understanding what characterizes and classify 3-dimensional topological order this works presents an exactly soluble quantum model in 3-dimensions that generalize 2-dimensional models constructed using gauge theories. In the model we propose the gauge group is replaced by a 2-group. The Hamiltonian, that is given by a sum of local commuting operators, is frustration free. We prove that the ground state degeneracy of this model is given by the Yetters invariant of the 4-dimensional manifold Sigma × S¹, where Sigma is the 3-dimensional manifold the model is defined.

Nesta tese apresentamos três problemas interligados: a quântização de teorias não-Lagrangianos, a mecânica quântica não-comutativa (MQNC) e a construção do produto estrela atravéz do ordenamento de Weyl. No contexto do primeiro problema foi elaborada uma abordagem da quantização canônica de sistemas com as equações de movimento não-Lagrangianas. Construímos um princípio da ação mínima para um sistema equivalente das equações diferenciais de primeira ordem. Existe uma ambiguidade não-trivial (que não se reduz a uma derivada total) na definição da função de Lagrange para os sistemas de equações de primeira ordem. Apresentamos uma descrição completa desta ambiguidade. O esquema proposto é aplicado para a quantização da teoria quadrática geral. Também foi construida a quantização do oscilador harmônico amortecido e da carga elétrica com radiação. No contexto da MQNC elaboramos uma formulação da integral de trajetória da MQNC relativística e construímos a generalização não-comutativa da ação da super-partícula. A quantização da ação proposta fornece as equações de Klein-Gordon e de Dirac nas teorias de campo não-comutativas. No contexto do terceiro problema desenvolvemos uma abordagem para a quantização por deformação no plano real com uma estrutura de Poisson arbitrária baseada no ordenamento simétrico dos produtos dos operadores. É formulado um procedimento iterativo simples e efetivo para a construção do produto estrela. Este procedimento nos permitiu calcular o produto estrela em ordens altas (em terceira e quarta ordens), algo que foi feito pela primeira vez. Exceto por uma análise da cohomologia, que não consideramos no artigo, o método proposto dá uma descrição explicita, na linguagem matemática usual da física, do produto estrela. / We present here three interrelated problems: quantization of non-Lagrangian theories, noncommutative quantum mechanics (NCQM) and a constructions of the star product trough the the Weyl ordering. In the context of the first problem an approach to the canonical quantization of systems with non-Lagrangian equations of motion is proposed. We construct an action principle for an equivalent first-order equations of motion. There exists an ambiguity (not reducible to a total time derivative) in associating a Lagrange function with the given set of equations. We give a complete description of this ambiguity. The proposed scheme is applied to quantization of a general quadratic theory. Also the quantization of a damped oscillator and a radiating point-like charge is constructed. In the context of NCQM we propose a path integral formulation of relativistic NCQM and construct a noncommutative generalization of superparticle action. After quantization, the proposed action reproduces the Klein-Gordon and Dirac equations in the noncommutative field theories. In the context of the third problem we develop an approach to the deformation quantization on the real plane with an arbitrary Poisson structure which based on Weyl symmetrically ordered operator products. A simple and effective iterative procedure of the construction of star products is formulated. This procedure allowed us to calculate the third and the fourth order star products. Modulo some cohomology issues which we do not consider here, the method gives an explicit and physics-friendly description of the star products.

Efeitos de solventes tem sido um tema de grande interesse científco. Em particular, o estudo dos efeitos de solventes no espectro eletrônico de absorção tem sua própria motivação e complexidade. Neste trabalho, nós estudamos os efeitos da solução aquosa na estabilidade conformacional e no espectro eletrônico de absorção da molécula Óxido Mesitil (OM). Essa molécula pertence a família das cetonas ,-insaturadas e, semelhantemente aos outros membros da família, ela apresenta transições eletrônicas sensíveis ao solvente. Inicialmente, estudamos os isômeros syn e anti do OM isoladamente usando cálculos quânticos para determinar a energia livre relativa, a barreira de rotação, os momentos de dipolo e as transições eletrônicas de absorção. Nosso melhor resultado mostra que o isômero syn do OM é a conformação mais estável, por cerca de 1.3 kcal/- mol calculado com nível MP2/aug-cc-pVDZ. Com o mesmo nível de cálculo, obtivemos os momentos de dipolo de 2.80 e 3.97 D para os isômeros syn e anti respectivamente, que estão em boa concordância com os valores experimentais de 2.8 e 3.7 D. Para o espectro eletrônico de absorção, analisamos a banda mais intensa, -*, com diferentes funcionais de densidade e funções base. Obtivemos o comprimento de transição de 229 nm calculado com nível TD-B3LYP/6-311++G** para o isômero syn em muito boa concordância com o valor experimental de 231 nm medido em solução de iso-octano (solvente de baixa polaridade). Para realizar os estudos em solução, geramos estruturas supermoleculares dos isômeros do OM em solução aquosa usando simulações computacionais com o método Monte Carlo. Usamos os potenciais Lennard-Jones e Coulomb para descrever as interações intermoleculares com os parâmetros do campo de força OPLS. Verifcamos que as cargas atômicas OPLS não descrevem bem o potencial eletrostático do OM. Portanto, realizamos um processo iterativo para incluir a polarização do soluto na presença do solvente para descrever melhor as interações entre o OM e as moléculas de água. Assim, obtivemos um aumento de cerca de 80% nos momentos de dipolo dos isômeros isolados. Adicionalmente, calculamos a energia livre relativa entre os isômeros em solução aquosa usando teoria de perturbação termodinâmica. Obtivemos que o isômero anti do OM é a conformação mais estável, por cerca de 2.8 kcal/mol. Examinando os efeitos de solvente no espectro eletrônico de absorção do OM, identificamos que existem duas contribuições competindo para o deslocamento da banda -*. Uma contribuição vem da mudança conformacional syn anti do OM devido a mudança de polaridade, baixa alta, do solvente. Essa mudança conformacional provoca um deslocamento para o azul de 1210 cm-1 na transição -*. A outra contribuição vem do efeito do solvente na estrutura eletrônica do OM, que provoca um deslocamento para o vermelho de - 4460 cm-1 nessa transição. Adicionando essas duas contribuições, temos o efeito do solvente total no espectro eletrônico de absorção do OM em solução aquosa. Nosso melhor resultado é um valor médio de 248 nm obtido com 75 cálculos TD-B3LYP/6-311++G** de estruturas supermoleculares estatisticamente descorrelacionadas compostas por um anti-OM rodeado por 14 moléculas de água explícitas embebidas no campo eletrostático de 236 moléculas de água tratadas como cargas pontuais simples. Esse resultado está em muito boa concordância com o resultado experimental de 243 nm em solução aquosa. Sendo assim, este trabalho demonstra que a mudança conformacional syn anti é essencial para entender o deslocamento espectral da transição -* do OM em água. / Solvent effects have been the subject of considerable scientifc interest. In particular, the study of solvent effects in electronic absorption spectroscopy has its own motivation and complexities. In this work we study the effects of the aqueous solution in the conformational stability and the electronic absorption spectrum of the Mesityl Oxide (OM) molecule. This molecule belongs to the family of the ,-unsaturated ketones and, like other members of the family, presents sensitivity to solvent in the absorption transitions. Initially we studied the isolated syn and anti isomers of OM by performing quantum mechanical calculations to obtain the relative free energy, the rotational barrier, the dipole moments and the electronic absorption transitions. Our best result showed that the OM syn isomer is the most stable conformer, by approximately 1.3 kcal/mol calculated with the MP2/aug-cc-pVDZ level. With the same level of calculation, we obtained the dipole moments of 2.80 and 3.97 D for the syn and anti isomers respectively, which are in good agreement with the experimental values of 2.8 and 3.7 D. For the electronic absorption spectrum, we analyzed the most intense band, -*, with different density functional and basis sets. We obtained a transition wavelength of 229 nm calculated with TD-B3LYP/6-311++G** level for the syn isomer in good agreement with the experimental value of 231 nm measured in iso-octane (solvent of low polarity). For performing the in-solution studies, we generated supermolecular structures of the OM isomers in aqueous solution using computer simulations with the Monte Carlo method. We used the Lennard-Jones and Coulomb potentials to describe the intermolecular interactions with the OPLS force field parameters. We found that the OPLS atomic charges do not describe well the electrostatic potential of OM. Therefore we performed an iterative process for including the solute polarization in the presence of the solvent to better describe the interactions between the OM and the water molecules. We obtained an increase of about 80% in the dipole moments of the isolated isomers. Additionally, we calculated the relative free energy between the isomers in aqueous solution using thermodynamic perturbation theory. We found that the anti isomer is the most stable conformer in aqueous solution, by about 2.8 kcal/mol. Examining the solvent effects in the electronic absorption spectrum of OM, we found that there are two competing contributions to the -* band shift. One contribution is due to the syn anti conformational change of OM caused by the low high polarity change of the solvent. This conformational change led to a blue shift of 1210 cm-1 in the * band. The remaining contribution is due to the solvent effect in the electronic structure of OM, which led to a red shift of -4460 cm-1. Adding these two contributions, we obtained the total solvent effect in the electronic absorption spectrum of OM in aqueous solution. Our best result was an average wavelength transition of 248 nm obtained using 75 TD-B3LYP/6-311++G** quantum calculations on statistically uncorrelated supermolecular structures composed by one anti-OM surrounded by 14 explicit water molecules in the electrostatic embedding composed of 236 water molecules described as simple point charges. This result is in very good agreement with the experimental result of 243 nm in aqueous solution. Thus, this work demonstrates that the syn anti conformational change is the essential ingredient to understand the spectral shift of the - * absorption transition of OM in water.

Este trabalho consiste em um estudo teórico da coexistência de condensados de Bose-Einstein atômicos acoplados. Esta mistura de condensados pode consistir em átomos de um mesmo elemento em vários estados hiperfinos (estado interno). Outra situação em que esta mistura ocorre é quando um átomo em um único estado interno pode ocupar mais de um estados externo. As semelhanças e diferenças entre condensados de Bose-Einstein com vários estados internos e externos serão analisadas cuidadosamente. Somente na aproximação de Bose-Hubbard os estados externos serão tratados como internos. Condensados envolvendo duas ou mais espécies serão estudados com a aproximação de Thomas-Fermi com estados coerentes. Esta aproximação implica em desprezar o termo de energia cinética. Muitos resultados analíticos serão exibidos para a condição em que todos os comprimentos de espalhamento são iguais entre si. Esta condição é bastante próxima da observada em um condensado de vários estados internos. Além disso serão apresentados alguns resultados anaíticos onde o comprimento de espalhamento para espécies diferentes é zero. Esta condição é verificada para a aproximação de Bose-Hubbard para misturas de condensados com estados externos. O objetivo principal destes cálculos é estudar o papel da fase relativa entre as funções de onda nas soluções estacionárias e na evolução temporal destes sistemas. / This work consists of a theoretical study of the coexistance of coupled atomic Bose-Einstein condensates. These mixed condensates can consist of atoms of the same element in different hyperfine internal states. A different situation is that in which an atom in one internal state can ocupate different single particle external states. The similarities and differences between mixed Bose-Einstein condensates involving internal and external states will be analysed carefully. Only in the Bose-Hubbard approximation the external states can be treated like internal states. Condensates involving two or more species will be studied with in a Thomas- Fermi\'s approximation with coherent states. This approximation involves in discarding of the Hamiltonian the kinetic energy term. A number of analytical results are given for the case in which the different channel scatering lenghts are equal to each other. This condition is which well approximated in condensates involving many internal states. Beside some results will also be given for situations where the scatering lenghts for different species vanishes. This condiction is verified for the Bose-Hubbard approximation to externally mixed condensates. The principal goal of this calculations is to study the role of relative phase between the wave functions in the stationary solutions and in the time evolution of the systems.

A presente tese de Doutorado refere-se a problemas em teoria de campos e mecânica quântica no espaço não comutativo (NC). Abordamos alguns sistemas físicos bem estudados em física teórica, como a teoria de Maxwell na presença de fontes externas, equação de Pauli, equação de Dirac em campos externos e o espectro do átomo de hidrogênio relativístico. Como um primeiro problema estudamos a teoria de calibre U(1)* e extendemos o mapa de Seiberg-Witten para incluir uma corrente externa e formulamos equações clássicas para os campos no espaço não comutativo. Soluções no vácuo e em um campo magnético externo para uma carga estática de tamanho finito a foram determinadas. Encontramos que uma carga estática além de ser um monopolo elétrico comporta-se como um dipolo magnético e um campo magnético externo modifica o campo de Coulomb a longas distâncias bem como alguns fatores de forma eletromagnéticos, comportamentos inerentes a consideração de uma geometria NC. Nesta direção analisamos a ambiguidade no mapa de Seiberg-Witten e mostramos que, no mínimo até a ordem estudada aqui, isto é equivalente a ambiguidade de se adicionar uma solução homogênea à condição de conservação da corrente. Demandando que o momento magnético NC seja menor que o erro existente na medida do momento magnético de léptons, obtemos uma estimativa superior para o parâmetro e seu comprimento fundamental associado l. Estudamos os níveis de energia do átomo de hidrogênio relativístico no formalismo da equação de Dirac no espaço NC para o campo de Coulomb. Demonstramos que no caso relativístico a não comutatividade quebra totalmente a degenerescência dos níveis 2S1/2; 2P1/2 e 2P3/2, abrindo novos canais de transição permitidos. Por fim construímos uma equação de onda não relativística para partículas de spin 1/2 através do limite não relativístico da equação de Dirac no espaço NC. Apresentamos um modelo pseudoclássico (à-la Berezin-Marinov) cuja quantização coincide com as equações de onda não relativísticas. Através da interação entre um spin não-relativístico e o campo magnético, através da equação de Pauli no espaço NC, construímos uma generalização para o modelo de Heisenberg para dois spins acoplados no espaço NC. Em tal modelo calculamos a amplitude de probabilidade de transição entre dois estados ortogonais do tipo EPR (Einstein-Podolsky-Rosen) submetidos em um campo magnético oscilatório e mostramos que, algumas de tais transições, que são proibidas no espaço comutativo são possíveis devido a não comutatividade do espaço. / The present PhD thesis refers to problems in field theory and quantum mechanics in noncommutative (NC) space. We study some well known physical systems in theoretical physics, such as the Maxwell theory in the presence of external sources, the Pauli equation, the Dirac equation with external fields and the relativistic Hydrogen atom. First we study the U(1)* gauge theory and extend the Seiberg-Witten map to include an external current and formulate classical field equations in NC space. Solutions in the vacuum and in an external magnetic field for a static charge of finite size a is determined. We find that a static charge in NC space, besides being an electric monopole, behaves as a magnetic dipole and the external magnetic field modifies the Coulomb law at large distances, as well as some electromagnetic form factors. In this direction we analyse the arbitrariness in the Seiberg-Witten map and show that, at least to the order studied here, this is equivalent to adding a homogeneous solution to the charge conservation condition. Demanding that the NC magnetic moment be less than the existing error in the measurement of leptons magnetic moment we obtain an upper bound for the NC parameter and its associated fundamental length l. In addition we consider the energy levels of a hydrogen-like atom in the framework of a -modified, due to space noncommutativity, Dirac equation with a Coulomb field. It is shown that the noncommutativity completely breaks the degeneracy of the 2S1/2; 2P1/2 and 2P3/2 levels, allowing for new transition channels. At last, but not least, we construct a nonrelativistic wave equation for spin 1/2 particles through the nonrelativistic limit of the NC Dirac equation. We present a pseudoclassical model (à-la Berezin-Marinov) whose quantization coincides with the nonrelativistic wave equations. By extracting the interaction between a nonrelativistic spin and the magnetic field, from the obtained Pauli equation in NC space, we construct a generalization of the Heisenberg model for two coupled spins in NC space. In such model, it is calculated the transition probability amplitude between two orthogonal EPR (Einstein-Podolsky-Rosen) states submitted in the presence of an oscilatory magnetic field and we shown that some of such transitions, which are forbidden in NC space are possible due to space noncommutativity.

CoordenaÃÃo de AperfeiÃoamento de Pessoal de NÃvel Superior / Nesse trabalho apresentamos as soluÃÃes clÃssicas e quÃnticas de duas classes de osciladores harmÃnicos dependentes de tempo, a saber: (a) o oscilador log-periÃdico e (b) o oscilador tipo Caldirola-Kanai. Para a classe (a) estudamos os seguintes osciladores: (I) $m(t)=m_0frac{t}{t_0}$, (II) $m(t)=m_0$ e (III) $m(t)=m_0ajust{frac{t}{t_0}}^2$. Nesses trÃs casos $omega(t)=omega_0frac{t_0}{t}$. Para a classe (b) estudamos o oscilador (IV) de Caldirola-Kanai onde $omega(t)=omega_0$ e $m(t)=m_0 ext{Exp}ajust{gamma t}$ e osciladores com $omega(t)=omega_0$ e $m(t)=m_0ajust{1+frac{t}{t_0}}^alpha$, para (V) $alpha=2$ e (VI) $alpha=4$. Para obter as soluÃÃes clÃssicas de cada oscilador resolvemos suas respectivas equaÃÃes de movimento e analisamos o comportamento de $q(t)$, $p(t)$ assim como do diagrama de fase $q(t)$ vs $p(t)$. Para obter as soluÃÃes quÃnticas usamos uma transformaÃÃo unitÃria e o mÃtodo dos invariantes quÃnticos de Lewis e Riesenfeld. A funÃÃo de onda obtida à escrita em termos de uma funÃÃo $ ho$, que à soluÃÃo da equaÃÃo de Milne-Pinney. Ainda, para cada sistema resolvemos a respectiva equaÃÃo de Milne-Pinney e discutimos como o produto da incerteza evolui no tempo. / In this work we present the classical and quantum solutions of two classes of time-dependent harmonic oscillators, namely: (a) the log-periodic and (b) the Caldirola-Kanai-type oscillators. For class (a) we study the following oscillators: (I) $m(t)=m_0frac{t}{t_0}$, (II) $m(t)=m_0$ and (III) $m(t)=m_0ajust{frac{t}{t_0}}^2$. In all three cases $omega(t)=omega_0frac{t_0}{t}$. For class (b) we study the Caldirola-Kanai oscillator (IV)where $omega(t)=omega_0$ and $m(t)=m_0 ext{exp}ajust{gamma t}$ and the oscillator with $omega(t)=omega_0$ and $m(t)=m_0ajust{1+frac{t}{t_0}}^alpha$, for $alpha=2$ (V) and $alpha=4$ (VI). To obtain the classical solution for each oscillator we solve the respective equation of motion and analyze the behavior of $q(t)$, $p(t)$ as well as the phase diagram $q(t)$ vs $p(t)$. To obtain the quantum solutions we use a unitary transformation and the Lewis and Riesenfeld quantum invariant method. The wave functions obtained are written in terms of a function ($ ho$) which is solution of the Milne-Pinney equation. Futhermore, for each system we solve the respective Milne-Pinney equation and discuss how the uncertainty product evolves with time.

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Conselho Nacional de Desenvolvimento CientÃfico e TecnolÃgico / A formulaÃÃo e comprovaÃÃo experimental de uma teoria consistente de GravitaÃÃo QuÃntica à um dos maiores desafios da FÃsica atualmente. Entre as candidatas a ocupar este posto està a GravitaÃÃo QuÃntica de LaÃo, ela sugere a reinterpretaÃÃo do espaÃo-tempo que, em escala planckiana, assume a forma de uma rede de pontos espaÃados por um comprimento mÃnimo caracterÃstico da natureza. Neste trabalho tratamos de um modelo recentemente introduzido que incorpora o conceito de comprimento mÃnimo e o aplica no contexto de baixas energias, a MecÃnica QuÃntica PolimÃrica, discutimos a diferenÃa entre a fÃsica deste modelo e dos modelos de incerteza mÃnima, em especial o PrincÃpio de Incerteza Generalizado, onde a discretizaÃÃo espacial e consequÃncia de alteraÃÃes nas relaÃÃes de comutaÃÃo canÃnicas. Usamos o mÃtodo perturbativo para calcular correÃÃes de primeira ordem nos espectros de energia de alguns potenciais conhecidos, observamos atravÃs de grÃficos as escalas de energia envolvidas e comparamos os resultados com outras correÃÃes que surgem no contexto de altas energias. / The formulation and experimental verication of a consistent theory of Quantum Gravitation is one of the greatest challenges in Physics nowadays. Between the candidates for this post is the Loop Quantum Gravity, it suggests a reinterpretation of space-time, that in planckian scale, would assume the form of a net of points spaced by a minimal length characteristic of nature. In this work we deal with a model that incorporates this concept and applies it to the context of low energies, the Polymer Quantum Mechanics, we discuss the dierences on the physics of this model an that of the model on minimal uncertainty, in special the Generalized Uncertainty principle, where the spacial discretization is a consequence of modications in canonical commutation relations. We use the perturbative method to calculate rst order corrections in the energy spectra of some known potentials, we observe through graphics the energy scales involved and compare the results with other corrections that arise in the context of high energies.