Thesis (Ph. D.)--Carleton University, 2001. / Includes bibliographical references (p. 141-144). Also available in electronic format on the Internet.

Thesis (Doctoral)--Universität Bonn, 1990. / Includes bibliographical references.

Soit X1 une courbe projective lisse et géométriquement connexe sur un corps fini Fq avec q = pn éléments où p est un nombre premier. Soit X le changement de base de X1 à une clôture algébrique de Fq. Nous donnons une formule pour le nombre des systèmes locaux ℓ-adiques (ℓ ≠ p) irréductibles de rang donné sur X fixé par l’endomorphisme de Frobenius. Nous montrons que ce nombre est semblable à une formule de point fixe de Lefschetz pour une variété sur Fq, ce qui généralise un résultat de Drinfeld en rang 2 et prouve une conjecture de Deligne. Pour ce faire, nous passerons du côté automorphe, utiliserons la formule des traces d’Arthur non-invariante, et relierons le nombre cherché avec le nombre Fq-points de l’espace des modules des fibrés de Higgs stables. / Let X1 be a projective, smooth and geometrically connected curve over Fq with q = pn elements where p is a prime number, and let X be its base change to an algebraic closure of Fq.We give a formula for the number of irreducible ℓ-adic local systems (ℓ ≠ p) with a fixed rank over X fixed by the Frobenius endomorphism.We prove that this number behaves like a Lefschetz fixed point formula for a variety over Fq, which generalises a result of Drinfeld in rank 2 and proves a conjecture of Deligne. To do this, we pass to the automorphic side by Langlands correspondence, then use Arthur’s non-invariant trace formula and link this number to the number of Fq-points of the moduli space of stable Higgs bundles.

Ce mémoire porte sur l’étude du laplacien sur des surfaces de Riemann. En particulier, nous nous intéressons à ses valeurs propres qui représentent les notes que jouerait la surface si elle était un tambour. Les valeurs les plus étudiées sont la première valeur propre non nulle λ1 ainsi que sa multiplicité m1 (la dimension de l’espace propre). Notamment, Colin de Verdière conjecturait que m1 est toujours borné supérieurement par le nombre chromatique moins 1. Des travaux de Fortier Bourque et Petri ont montré que parmi toutes les surfaces hyperboliques de genre 3, c’est la quartique de Klein qui maximise la multiplicité et atteint la borne supérieure conjecturée par Colin de Verdière. Cette surface est la première d’une suite de surfaces hautement symétriques, les surfaces de Hurwitz. Nous montrons à l’aide de la formule des traces de Selberg que pour la prochaine surface dans la suite, la surface de Fricke–Macbeath F, nous avons m1(F) = 7. Une recherche indépendante menée par Chul-hee Lee arrive au même résultat à propos de la multiplicité. Le chapitre 1 introduit des notions géométriques comme la géométrie hyperbolique, les surfaces hyperboliques et triangulaires ainsi que le théorème de Hurwitz. Le chapitre 2 présente des concepts de base de théorie spectrale ainsi que des outils comme la formule des traces de Selberg et la théorie de la représentation. Le chapitre 3 est dédié à l’étude de la surface de Fricke–Macbeath et à la preuve de notre résultat principal à l’aide des outils des chapitres précédents. Dans le chapitre 4, nous discutons de nouvelles techniques de calcul de m1 qui ont été utilisées pour montrer l’existence de contre-exemples à la conjecture de Colin de Verdière dans des travaux conjoints avec Fortier Bourque, Gruda-Mediavilla et Petri. / This master’s thesis studies the Laplace operator on Riemann surfaces. We are especially interested in its eigenvalues, which correspond to the notes that the surface would play if it were a drum. In particular, the first non-zero eigenvalue λ1 and its multiplicity m1 (the dimension of the corresponding eigenspace) have been well studied. For instance, Colin de Verdière conjectured that m1 is bounded above by the chromatic number minus 1 based on a few examples. Later work by Fortier Bourque and Petri showed that among hyperbolic surfaces of genus 3, the Klein quartic maximizes the multiplicity, and attains the upper bound conjectured by Colin de Verdière. This surface is the first of a sequence of highly symmetrical surfaces named Hurwitz surfaces. We will show using the Selberg trace formula that for the next surface in the sequence, the Fricke–Macbeath surface F, we have m1(F) = 7. This result was also obtained independently by Chul-hee Lee. Chapter 1 introduces some geometric notions including hyperbolic geometry, hyperbolic surfaces, and triangular surfaces, followed by Hurwitz’s automorphism theorem. Chapter 2 covers some basic concepts in spectral theory as well as some useful tools like the Selberg trace formula and a bit of representation theory. Chapter 3 focuses on the study of the Fricke–Macbeath surface and the proof of our main result using the techniques introduced in previous chapters. Finally, Chapter 4 discusses new methods for computing m1 which were used to show the existence of counterexamples to Colin de Verdière’s conjecture in joint work with Fortier Bourque, Gruda-Mediavilla, and Petri.