This master thesis studies the problem of parameter identification for system biology. Two methods have been studied. The method of interval analysis uses subpaving as a class of objects to manipulate and store inner and outer approximations of compact sets. This method works well with the model given as a system of differential equations, but has its limitations, since the analytical expression for the solution to the ODE is not always obtainable, which is needed for constructing the inclusion function. The other method, studied, is SDP-relaxation of a nonlinear and non-convex feasibility problem. This method, implemented in the toolbox bio.SDP, works with system of difference equations, obtained using the Euler discretization method. The discretization method is not exact, raising the need of bounding this discretization error. Several methods for bounding this error has been studied. The method of ∞-norm optimization, also called worst-case-∞-norm is applied on the one-step error estimation method. The methods have been illustrated solving two system biological problems and the resulting SCP have been compared. / Det här examensarbetet studerar problemet med parameteridentifiering för systembiologi. Två metoder har studerats. Metoden med intervallanalys använder union av intervallvektorer som klass av objekt för att manipulera och bilda inre och yttre approximationer av kompakta mängder. Denna metod fungerar väl för modeller givna som ett system av differentialekvationer, men har sina begränsningar, eftersom det analytiska uttrycket för lösningen till differentialekvationen som är nödvändigt att känna till för att kunna formulera inkluderande funktioner, inte alltid är tillgängliga. Den andra studerade metoden, använder SDP-relaxering, som ett sätt att komma runt problemet med olinjäritet och icke-konvexitet i systemet. Denna metod, implementerad i toolboxen bio.SDP, utgår från system av differensekvationer, framtagna via Eulers diskretiserings metod. Diskretiseringsmetoden innehåller fel och osäkerhet, vilket gör det nödvändigt att estimera en gräns för felets storlek. Några felestimeringsmetoder har studerats. Metoden med ∞-norm optimering, också kallat worst-case-∞-norm är tillämpat på ett-stegs felestimerings metoder. Metoderna har illustrerats genom att lösa två system biologiska problem och de accepterade parametermängderna, benämnt SCP, har jämförts och diskuterats.

Les travaux de cette thèse traite de la modélisation de systèmes par fonctions de transfert non entières à partir de données fréquentielles incertaines et bornées. A cet effet, les définitions d'intégration et de dérivation non entières sont d'abord étendues aux intervalles. Puis des approches ensemblistes sont appliquées pour l'estimation de l'ensemble des coefficients et des ordres de dérivation sous la forme d'intervalles. Ces approches s'appliquent pour l'estimation des paramètres de systèmes linéaires invariants dans le temps (LTI) certains, systèmes LTI incertains et systèmes linéaires à paramètres variant dans le temps (LPV). L'estimation paramétrique par approche ensembliste est particulièrement adaptée à la modélisation de la dynamique du conducteur, car les études sur un, voire plusieurs, individus montrent que les réactions recueillies ne sont jamais identiques mais varient d'une expérience à l'autre, voire d'un individu à l'autre. / This thesis deals with system identification and modeling of fractional transfer functions using bounded and uncertain frequency responses. Therefor, both of fractional differentiation and integration definitions are extended into intervals. Set membership approaches are then applied to estimate coefficients and derivative orders as intervals. These methods are applied to estimate certain Linear Time Invariant systems (LTI), uncertain LTI systems and Linear Parameter Varying systems (LPV). They are notably adopted to model driver's dynamics, since most of studies on one or several individuals shave shown that the collected reactions are not identical and are varying from an experiment to another.

Les travaux de cette thèse porte sur le calcul d’un espace d’état navigable d’un véhicule routier, ainsi que sur l’observation et l’estimation de son état, à l’aide des méthodes ensemblistes par intervalles. Dans la première partie de la thèse, nous nous intéressons aux problèmes d’estimation d’état relevant de la dynamique du véhicule. Classiquement, l’estimation se fait en utilisant le filtrage de Kalman pour des problèmes d’estimation linéaires ou le filtrage de Kalman étendu pour les cas non-linéaires. Ces filtres supposent que les erreurs sur le modèle et sur les mesures sont blanches et gaussiennes. D’autre part, les filtres particulaires (PF), aussi connus comme Méthodes de Monte-Carlo séquentielles, constituent souvent une alternative aux filtres de Kalman étendus. Par contre, les performances des filtres PF dépendent surtout du nombre de particules utilisées pour l’estimation, et sont souvent affectées par les bruits de mesures aberrants. Ainsi, l’objectif principal de cette partie de travail est d’utiliser une des méthodes à erreurs bornées, qui est le filtrage par boites particulaires (Box Particle Filter (BPF)), pour répondre à ces problèmes. Cette méthode généralise le filtrage particulaire à l’aide des boites remplaçant les particules. A l’aide de l’analyse par intervalles, l’estimation de certains variables fortement reliées à la dynamique du véhicule comme le transfert de charge latérale, le roulis et la vitesse de roulis est donnée, à chaque instant, sous forme d’un intervalle contenant la vraie valeur simulée. Dans la deuxième partie de la thèse, une nouvelle formalisation du problème de calcul de l’espace navigable de l’état d’un véhicule routier est présentée. Un algorithme de résolution est construit, basé sur le principe de l’inversion ensembliste par intervalles et sur la satisfaction des contraintes. Nous cherchons à caractériser l’ensemble des valeurs de la vitesse longitudinale et la dérive au centre de gravité qui correspondent à un comportement stable du véhicule : pas de renversement ni dérapage. Pour décrire le risque de renversement, nous avons utilisé l’indicateur de transfert de charge latéral (LTR). Pour décrire le risque de dérapage, nous avons utilisé les dérives des roues. Toutes les variables sont liées géométriquement avec le vecteur d’état choisi. En utilisant ces relations, l’inversion ensembliste par intervalles est appliquée afin de trouver l’espace navigable de l’état tel que ces deux risques sont évités. L’algorithme Sivia est implémenté, approximant ainsi cet espace. Une vitesse maximale autorisée au véhicule est déduite. Elle est associée à un angle de braquage donné sur une trajectoire connue. / In this thesis, we aim to characterize a vehicle stable state domain, as well as vehicle state estimation, using interval methods.In the first part of this thesis, we are interested in the intelligent vehicle state estimation.The Bayesian approach is one of the most popular and used approaches of estimation. It is based on the calculated probability of the density function which is neither evident nor simple all the time, conditioned on the available measurements.Among the Bayesian approaches, we know the Kalman filter (KF) in its three forms(linear, non linear and unscented). All the Kalman filters assume unimodal Gaussian state and measurement distributions. As an alternative, the Particle Filter(PF) is a sequential Monte Carlo Bayesian estimator. Contrary to Kalman filter,PF is supposed to give more information about the posterior even when it has a multimodal shape or when the noise follows non-Gaussian distribution. However,the PF is very sensitive to the imprecision due by bias or noise, and its efficiency and accuracy depend mainly on the number of propagated particles which can easily and significantly increase as a result of this imprecision. In this part, we introduce the interval framework to deal with the problems of the non-white biased measurements and bounded errors. We use the Box Particle Filter (BPF), an estimator based simultaneously on the interval analysis and on the particle approach. We aim to estimate some immeasurable state from the vehicle dynamics using the bounded error Box Particle algorithm, like the roll angle and the lateral load transfer, which are two dynamic states of the vehicle. BPF gives a guaranteed estimation of the state vector. The box encountering the estimation is guaranteed to encounter thereal value of the estimated variable as well.In the second part of this thesis, we aim to compute a vehicle stable state domain.An algorithm, based on the set inversion principle and the constraints satisfaction,is used. Considering the longitudinal velocity and the side slip angle at the vehicle centre of gravity, we characterize the set of these two state variables that corresponds to a stable behaviour : neither roll-over nor sliding. Concerning the roll-over risk,we use the lateral transfer ratio LTR as a risk indicator. Concerning the sliding risk, we use the wheels side slip angles. All these variables are related geometrically to the longitudinal velocity and the side slip angle at the centre of gravity. Using these constraints, the set inversion principle is applied in order to define the set ofthe state variables where the two mentioned risks are avoided. The algorithm of Sivia is implemented. Knowing the vehicle trajectory, a maximal allowed velocityon every part of this trajectory is deduced.