Cette thèse porte sur la définition d'une stratégie robuste pour le diagnostic des processus industriels à modèle non linéaire. La stratégie définie repose sur l'utilisation d'observateurs non linéaires non seulement pour le diagnostic mais aussi pour la commande de ces systèmes. L'objectif est triple. L'observateur synthétisé devra reconstruire les variables d'état, être sensible aux défauts pour le diagnostic tout en étant robuste aux perturbations et autres incertitudes paramétriques pour la commande. Deux observateurs ont été étudiés à cet effet. Le premier observateur est un observateur de type Kalman. Cet observateur a été appliqué au diagnostic de défauts multiplicatifs pour un moteur à courant continu série. La stabilité de l'observateur pour la commande et le diagnostic a été prouvée pour deux cas de défauts paramètres multiplicatifs. Le second observateur étudié est un observateur Grand Gain. Il a été appliqué au diagnostic de défauts de courts-circuits statoriques pour une machine asynchrone. L'observateur Grand Gain synthétisé a servi au diagnostic de la machine asynchrone avec puis sans capteur mécanique. La performance des algorithmes de détection de défauts pour la machine asynchrone a été évaluée sur un benchmark spécifique " Observateur pour le Diagnostic " défini dans le cadre du groupe de travail Inter GDR CE2. Ce benchmark est implanté à l'IRCCyN.

L'homogénéité des systèmes est un outil qui a montré son efficacité pour l'étude de la stabilité en temps fini mais également pour la construction d'approximations qui préservent une propriété aussi fondamentale que l'accessibilité. Dans cette thèse nous utilisons cet outil d'homogénéité pour obtenir deux nouveaux résultats majeurs. Le premier est la synthèse d'un observateur global en temps fini pour la classe des systèmes uniformément observables, globalement Lipschitz et à entrée bornée. La deuxième contribution est une méthodologie pour la construction d'une approximation homogène préservant la propriété d'observabilité au sens du rang. Nous avons réinvesti la construction d'approximations homogènes pour le problème de la commandabilité en l'adaptant au problème de l'observabilité. Nous avons considéré des systèmes non linéaires, sans entrée et satisfaisant la condition du rang. Cette approximation est ensuite utilisée dans la synthèse d'un observateur local pour la classe des systèmes non linéaires sans entrée et vérifiant la condition du rang. Nous avons illustré les performances de l'observateur local proposé dans ce mémoire en le comparant sur plusieurs exemples avec un observateur local issu de l'approximation linéaire. Ces observateurs sont notamment utilisés pour la surveillance, la détection de défaillance et la synchronisation.

Cette thèse étudie l'approche LPV pour la commande robuste des systèmes non linéaires. Son originalité est de proposer pour la première fois un cadre rigoureux permettant de résoudre efficacement des problèmes de synthèse non linéaire. L'approche LPV a été proposée comme une extension de l'approche H-infini dans le contexte des systèmes LPV (" Linéaires à Paramètres Variant dans le temps "), voire non linéaires. Quoique prometteuse, cette approche pour la commande des systèmes non linéaires restait peu utilisée. En effet, au-delà même de certaines limitations théoriques, la nature des solutions obtenues semblait inadéquate. Cette question ouverte est notre point de départ. Nous montrons tout d'abord que la faible variation des correcteurs constatée est due avant tout à la nature du schéma informationnel utilisé traditionnellement lors de la synthèse LPV, et que sous des hypothèses raisonnables, le cadre LPV peut permettre de recouvrir des stratégies de type " linéarisation par bouclage ". Ce point étant acquis, une deuxième difficulté réside dans l'obtention effective de correcteurs non linéaires donnant des garanties de performance. Nous proposons un cadre rigoureux permettant de résoudre efficacement un problème de synthèse incrémentale pondérée, par la résolution d'un problème LPV associé à un schéma informationnel spécifique compatible avec celui identifié dans la première partie. Cette étude et son aboutissement à la définition d'un cadre formel et d'une procédure complète d'obtention de correcteurs, incluant des méthodes de réduction de complexité, donnent des arguments puissants en faveur de l'approche LPV pour la commande robuste de systèmes non linéaires.

Dans ce mémoire nous avons donné un nouveau résultat sur la stabilisation des systèmes non linéaires qui sont seulement continus, il s'agit des systèmes définis par un champ de vecteur qui n'est pas dérivable. L'application de ce résultat, nous l'avons effectuée pour la stabilisation des systèmes électrohydrauliques en tenant compte de la dynamique du ou des distributeurs utilisés, ceci sans effectuer aucune linéarisation des modèles représentants. En e et, nous avons traité le cas d'un système électrohydraulique commandé par un et deux distributeurs, ceci en tenant compte de leur dynamique. Les simulations effectuées montrent que les résultats obtenues sont très satisfaisants. Afin d'effectuer une comparaison nous avons étudié différentes lois de commande linéaires, notamment, la commande par retour d'état ainsi la commande par retour de sortie ou encore par un correcteur PID. Ce type de commande s'avère donner des bons résultats. En effet, elles ont permis de répondre à plusieurs critères, par exemple le temps de réponse, dépassement, etc. Et elles ont conduit à des bons résultats de simulation. Néanmoins, elles présentent quelques inconvénients. Par exemple une linéarisation autour d'un point de fonctionnement révèle un caractère local, et donc cette technique devient inappropriée si l'on cherche à opérer sur une plage de fonctionnement. Ces travaux pourraient aussi s'appliquer à la stabilisation des actionneurs électropneumatiques.

Ce mémoire d'HDR concerne l'étude des systèmes non linéaires en théorie du contrôle par les fonctions de Lyapunov. On y étudie notamment l'observation en temps fini, la stabilisation des systèmes homogènes, l'obstruction topologique, le contrôle du flux magnétique dans les plasmas de tokamak et les équations de Schrödinger d'ordre supérieur.

Cette thèse est consacrée à l'étude de la théorie des barrières pour les systèmes non linéaires sous contraintes d'entrées et d'état. La principale contribution concerne la généralisation au cas de contraintes mixtes, c'est-à-dire dépendant des entrées et de l'état de façon couplée. Ce type de contraintes apparaît souvent dans les applications et dans les systèmes différentiellement plats sous contraintes. On prouve un théorème du type principe du minimum qui permet de construire la barrière et l'ensemble admissible associé. De plus, dans le cas d'intersection de plusieurs trajectoires ainsi construites, on démontre que les points intersections transversaux sont des points d'arrêt de la barrière. Ces résultats sont utilisés pour calculer l'ensemble admissible d'un pendule inversé avec un câble non-rigide monté sur un chariot, la contrainte correspondant au fait que le câble reste tendu. Ce problème correspond en fait à la détermination de l'ensemble potentiellement sûr dans le cadre des systèmes hybrides. / This thesis deals with the theory of barriers in input and state constrained nonlinear systems. Our main contribution is a generalisation to the case where the constraints are mixed, that is they depend on both the input and the state in a coupled way. Constraints of this type often appear in applications, as well as in constrained flat systems. We prove a minimum-like principle that allows the construction of the barrier and the associated admissible set. Moreover, in case of intersection of some of the trajectories involved in this principle, we prove that such transversal intersection points are stopping points of the barrier.We demonstrate the utility of all the theoretical contributions by finding the admissible set for the inverted pendulum on a cart with a non-rigid cable, the constraint being that the cable remains taut. Note that this problem corresponds to the determination of potentially safe sets in hybrid systems.

La plupart des systèmes non linéaires loin de l'équilibre sont sensibles aux fluctuations internes. Dans ce travail, les effets stochastiques dans des modèles génériques de réaction-diffusion sont étudiés à deux échelles différentes. Dans l'approche mésoscopique, l'évolution du système est gouvernée par une équation maîtresse résolue par des simulations de Monte Carlo cinétique. A l'échelle microscopique, des simulations de dynamique des particules sont réalisées. Ces approches stochastiques sont comparées à des équations macroscopiques, déterministes de réaction-diffusion. Dans l'introduction, les différentes échelles, les concepts concernant les systèmes non linéaires et les méthodes numériques utilisées sont présentés. La première partie du chapitre consacré aux résultats est dédiée à l'étude de la perturbation de la distribution des vitesses des particules induite par la réaction pour un système bistable et la propagation d'un front d'onde. Une équation maîtresse incluant cette perturbation est écrite et comparée à des simulations de la dynamique microscopique. La seconde partie concerne la formation de structures dans les systèmes réaction-diffusion dans le contexte de la biologie du développement. Une méthode pour simuler des structures de Turing à l'échelle microscopique est développée à partir de l'algorithme DSMC (direct simulation Monte Carlo). Ensuite, des expériences consistant à perturber la formation de la colonne vertébrale sont expliquées dans le cadre du mécanisme de Turing. Enfin, un modèle de réaction-diffusion associé à un mécanisme différent, connu sous le nom de "Clock and wavefront", est proposé pour rendre compte de la segmentation. / Many nonlinear systems under non-equilibrium conditions are highly sensitive to internal fluctuations. In this dissertation, stochastic effects in some generic reaction-diffusion models are studied using two approaches of different precision. In the mesoscopic approach, evolution of the system is governed by the master equation, which can be solved numerically or used to set up kinetic Monte Carlo simulations. On the microscopic level, particle computer simulations are used. These two stochastic approaches are compared with deterministic, macroscopic reaction-diffusion equations.In the Introduction, key information about the different approaches is presented, together with basics of nonlinear systems and a presentation of numerical algorithms used.The first part of the Results chapter is devoted to studies on reaction-induced perturbation of particle velocity distributions in models of bistability and wave front propagation. A master equation including this perturbation is presented and compared with microscopic simulations.The second part of the Results deals with pattern formation in reaction-diffusion systems in the context of developmental biology. A method for simulating Turing patternsat the microscopic level using the direct simulation Monte Carlo algorithm is developed. Then, experiments consisting of perturbing segmentation of vertebrate embryo’s bodyaxis are explained using the Turing mechanism. Finally, a different possible mechanism of body axis segmentation, the “clock and wavefront” model, is formulated as a reaction-diffusion model.

Les méthodologies de l'automatique ont joué au cours des dernières décennies un ´r^ole essentiel au sein de nombreux secteurs technologiques avancées. Cependant, de nombreuse questions restent ouvertes. Parmi celles-ci, celles concernant la stabilité et la stabilisation de systèmes non linéaires sont d'intérêt primordial. Afin de stabilizer un système (physique ou non), il est nécessaire de capter et interpreter en temps réel les informations hétérogènes caractérisant son fonctionnement afin intervenir efficacement. Actuellement ces informations ne sont pas captées en temps continu, mais de façon synchrone ou asynchrone et ceci est valable aussi pour les actuateurs. De façon très naturelle, on définit donc un système hybride, caractérisé par des dynamiques à la fois discrètes et continues. Dans ce contexte, cette thèse est orientée au développement de nouvelles méthodologies pour la stabilisation de systèmes échantillonnés non linéaires en se focalisant sur la stabilisation de formes cascades qui se retrouvent dans de nombreuse situations concretes. Pour cela, on étudiera l'effet de l'échantillonnage sur les propriétés de la dynamique continue et l'on proposera des méthodologies pour la conception de lois de commande qui ne requièrent pas d'assumptions supplémentaires au cas continu.Enfin, on étudiera l'effet de l'échantillonnage sur des systèmes présentant de retards sur les entrées. On développera des lois de commande stabilisantes exploitant la structure en cascade induite par l'échantillonnage. Des exemples académiques illustreront les calcules des solutions et leur performances tout au long du manuscript. / Over the last decades the methodologies of dynamical systems and control theory have been playing an increasingly relevant role in a lot of situations of practical interest. Though, a lot of theoretical problem still remain unsolved. Among all, the ones concerning stability and stabilization are of paramount importance. In order to stabilize a physical (or not) system, it is necessary to acquire and interpret heterogeneous information on its behavior in order to correctly intervene on it. In general, those information are not available through a continuous flow but are provided in a synchronous or asynchronous way. This issue has to be unavoidably taken into account for the design of the control action. In a very natural way, all those heterogeneities define an hybrid system characterized by both continuous and discrete dynamics. This thesis is contextualized in this framework and aimed at proposing new methodologies for the stabilization of sampled-data nonlinear systems with focus toward the stabilization of cascade dynamics. In doing so, we shall propose a small number of tools for constructing sampled-data feedback laws stabilizing the origin of sampled-data nonlinear systems admitting cascade interconnection representations. To this end, we shall investigate on the effect of sampling on the properties of the continuous-time system while enhancing design procedures requiring no extra assumptions over the sampled-data equivalent model.Finally, we shall show the way sampling positively affects nonlinear retarded dynamics affected by a fixed and known time-delay over the input signal by enforcing on the implicit cascade representation the sampling process induces onto the retarded system. Academic examples will illustrate the computational aspects together with their performances throughout the whole manuscript.

Dans ce mémoire, nous avons proposé une méthode basée sur l'utilisation de la généralisation du lemme de Gronwall-Bellman pour garantir des conditions suffisantes de stabilisation asymptotique pour une classe de systèmes non linéaires fractionnaires. Nous avons étendu ces résultats dans la stabilisation asymptotique des systèmes non linéaires singuliers fractionnaires et proposé des conditions suffisantes de stabilité asymptotique de l'erreur d'observation dans le cas de l'étude des observateurs pour les systèmes non linéaires fractionnaires et singuliers fractionnaires. Pour les systèmes non linéaires à dérivée d'ordre entier, nous avons proposé par l'application de la généralisation du lemme de Gronwall-Bellman des conditions suffisantes pour : - la stabilisation exponentielle par retour d'état statique et par retour de sortie statique, - la stabilisation exponentielle robuste en présence d'incertitudes paramétriques, - la commande basée sur un observateur. Nous avons étudié la stabilisation des systèmes linéaires fractionnaires avec les lois de commande suivantes~: retour d'état statique, retour de sortie statique et retour de sortie basé sur un observateur. Puis, nous avons proposé des conditions suffisantes de stabilisation lorsque le système linéaire fractionnaire est affecté par des incertitudes non linéaires paramétriques. Enfin, nous avons traité la synthèse d'un observateur pour ces systèmes. Les résultats proposés pour les systèmes linéaires fractionnaires ont été étendus au cas où ces systèmes fractionnaires sont singuliers. La technique de stabilisation basée sur l'utilisation de la généralisation du lemme de Gronwall-Bellman est étendue aux systèmes non linéaires fractionnaires et aux systèmes non linéaires singuliers fractionnaires. Des conditions suffisantes de stabilisation asymptotique, de stabilisation asymptotique robuste et de commande basée sur un observateur ont été obtenues pour les classes de systèmes non linéaires fractionnaires et non linéaires singuliers fractionnaires. Par ailleurs, une méthode de synthèse d'observateurs pour ces systèmes non linéaires fractionnaires et non linéaires singuliers fractionnaires est proposée. Cette approche est basée sur la résolution d'un système d'équations de Sylvester. L'avantage de cette méthode est que, d'une part, l'erreur d'observation ne dépend pas explicitement de l'état et de la commande du système et, d'autre part, qu'elle unifie la synthèse d'observateurs de différents ordres (observateurs d'ordre réduit, d'ordre plein et d'ordre minimal).

L'objectif de cette thèse est l'étude du problème de Cauchy pour les solutions faibles de trois problèmes (systèmes paraboliques dégénérés et fortement couplés) modélisant des écoulements diphasiques et compressibles en milieu poreux. La motivation de ce travail est un "benchmark" du GNR MoMaS pour l'étude de l'impact de l'écoulement du gaz d\^{u} à la corrosion des matériaux ferreux dans un site de stockage de déchets radioactifs. Cette thèse est divisée en trois chapitres indépendants. Premièrement, on s'intéresse à l'analyse mathématique d'un problème modélisant l'écoulement de deux phases immiscibles et en considérant qu'une phase est compressible et l'autre est incompressible (eau/gaz). Deuxièmement, on traite le cas général du déplacement de deux fluides compressibles et immiscibles dans un milieu poreux. Enfin, le dernier chapitre est consacré à la construction et à la convergence de la méthode des volumes finis pour le système eau-gaz sous l'hypothèse que la densité du gaz est une fonction de la pression globale.