Cette thèse concerne des systèmes hybrides et le théorème des petits-gains. Plus précisément, d'une part, nous avons calculé les lois de commande hybrides pour les systèmes non-linéaires lesquels les techniques de synthèse par backstepping ne s'applique pas et nous avons réussi à combiner les lois de commande locales et globales pour la stabilisation d'un ensemble «proche» de l'origine. La seconde contribution est sur ​​le théorème des petits-gains, en traitant avec des systèmes pour lesquels les conditions des petits-gains sont satisfaites seulement au niveau régional. Nous avons réussi à combiner ces conditions régionales pour le petit-gain pour la stabilité asymptotique et pour la presque stabilité asymptotique globale. / This theses concerns hybrid systems and small gain theorems. More precisely, firstly we computed hybrid stabilizers for nonlinear control systems for which the backstepping techniques do not apply, and we succeeded to combine local feedback laws and global controllers stabilizing a set "close" to the origin. The second contribution is on small gains theorem, by dealing with systems for which small gains conditions are satisfied only regionally. We were able to combine such region-dependent small-gain conditions for the global asymptotic stability and for the almost global asymptotic stability.

Dans ce travail, deux problèmes issus de la théorie de la stabilité ont été étudiés: la synthèse de loi de commandes stabilisantes et l'analyse de la stabilité des systèmes interconnectés sous contraintes locales et globales. En ce qui concerne la synthèse, la problématique a été de concevoir une loi de commande pour les systèmes où la technique de Backstepping ne peut pas être appliquée pour stabiliser globalement l'origine mais s'avère utile pour stabiliser le système autour d'un ensemble désiré. Ensuite, il a été considéré le problème de concevoir une loi de commande qui stabilise localement l'origine de telle sorte que le bassin d'attraction contienne l'ensemble attracteur global. La stabilité globale est obtenue à travers une commutation des lois de commande. Pour l'analyse, il a été considéré le cas où le théorème des petits gains ne peut pas être appliqué dans un intervalle fini des réels positifs. L'approche consiste à utiliser l'analyse des petits gains où il est applicable et, dehors de ces regions, il a été étudié la variation de la mesure de l'ensemble des solutions. Des conditions suffisantes sont fournies pour que l'ensemble des conditions initiales pour lesquelles les solutions correspondantes ne convergent pas à l'origine ait une mesure de Lebesgue à zéro.