Ce travail de thèse s'intéresse au développement de stratégies de calcul pour résoudre les problèmes de Helmholtz, en moyennes fréquences, dans les milieux hétérogènes. Il s'appuie sur l'utilisation de la Théorie Variationnelle des Rayons Complexes (TVRC), et enrichit l'espace des fonctions qu'elle utilise par des fonctions d'Airy, quand le carré de la longueur d'onde du milieu varie linéairement. Il s'intéresse aussi à une généralisation de la prédiction de la solution pour des milieux dont la longueur d'onde varie d'une quelconque autre manière. Pour cela, des approximations à l'ordre zéro et à l'ordre un sont définies, et vérifient localement les équations d'équilibre selon une certaine moyenne sur les sous domaines de calcul.Plusieurs démonstrations théoriques des performances de la méthodes sont menées, et plusieurs exemples numériques illustrent les résultats. La complexité retenue pour ces exemples montrent que l'approche retenue permet de prédire le comportement vibratoire de problèmes complexes, tel que le régime oscillatoire des vagues dans un port maritime. Ils montrent également qu'il est tout à fait envisageable de mixer les stratégies de calcul développées avec celles classiquement utilisées, telle que la méthode des éléments finis, pour construire des stratégies de calcul utilisables pour les basses et les moyennes fréquences, en même temps. / This thesis develops numerical approaches to solve mid-frequency heterogeneous Helmholtz problem. When the square of wave number varies linearly in the media, one considers an extended Variational Theory of Complex Rays(VTCR) with shape functions namely Airy wave functions, which satisfy the governing equation. Then a general way to handle heterogeneous media by the Weak Trefftz Discontinuous Galerkin (WTDG) is proposed. There is no a priori restriction for the wave number. One locally develops general approximated solution of the governing equation, the gradient of the wave number being the small parameter. In this way, zero order and first order approximations are defined, namely Zero Order WTDG and First Order WTDG. Their shape functions only satisfy the local governing equation in average sense.Theoretical demonstration and academic examples of approaches are addressed. Then the extended VTCR and the WTDG are both applied to solve a harbor agitation problem. Finally, a FEM/WAVE WTDG is further developed to achieve a mix use of the Finite Element method(FEM) approximation and the wave approximation in the same subdomains, at the same time for frequency bandwidth including LF and MF.

La stratégie de calcul proposée est une approche fréquentielle dans laquelle la partie basses fréquences est traitée grâce aux éléments finis classiques, alors que les moyennes fréquences sont calculées grâce à la Théorie Variationnelle des Rayons Complexes (TVRC) initialement introduite pour des problèmes de vibration forcée.

Les méthodologies actuelles permettant d’évaluer les effets d’ébranlement d’une structure de génie civil reposent sur des analyses EF transitoires par intégration directe ou projection sur la base modale, rarement non linéaires. L’aspect linéaire n’est pas remis en question dès lors que l’on se place hors de la zone de choc, néanmoins la non linéarité de la partie de la structure impactée peut avoir une influence non négligeable. Les méthodologies actuelles permettant d’évaluer les effets d’ébranlement d’une structure de génie civil reposent sur des analyses EF transitoires par intégration directe ou projection sur la base modale, rarement non linéaires. Les accélérations induites servent à établir les spectres de réponse d’oscillateurs simples. L’aspect linéaire n’est pas remis en question dès lors que l’on se place hors de la zone de choc, néanmoins la non linéarité de la partie de la structure impactée peut avoir une influence non négligeable. Une démarche découplée d’analyse, consistant à traiter dans une première phase les aspects non linéaires de la zone de choc doit faire dans un premier l’objet d’une étude paramétrique visant à déceler l’influence des non linéarités dans le signal d’ébranlement.Cette première analyse a pour but de déterminer la modification du signal source de l’ébranlement en amplitude et en fréquence. En conclusion de cette première phase la quantification des modifications apportées au signal d’entrée par la nature de la cible doit pouvoir être estimée. Pour cela, différentes modélisations non linéaires de la zone d’impact seront testées en s’appuyant sur les travaux déjà réalisés. A l’issue de cette première étape, la mise en œuvre d’une méthode de traitement de l’ébranlement par l’utilisation de la TVRC (Théorie Vibrationnelle des Rayons Complexes) sera entreprise. Cette méthode consiste en une première décomposition FFT (Fast Fourier Transform) du signal de chargement. La TVRC assure le transfert du signal décomposé dans la structure. Les signaux obtenus sont ensuite traités en FFT inverse (IFFT) pour reconstituer un signal temporel puis un spectre de réponse. Les verrous scientifiques et points à résoudre susceptibles d’apparaître dans cette phase portent essentiellement sur : -la caractérisation de l’amortissement en fonction de la fréquence, donnée nécessaire à la bonne application de la TVRC - la caractérisation de la discrétisation de l’IFFT de sortie afin de reconstituer un signal juste. Cette démarche reposera sur des solutions analytiques connues sur des gammes de fréquence variées, -l’adaptabilité au GCN des « éléments » de TVRC disponibles actuellement dans la littérature: plaques, coques, tronc de cône. L’usage d’un spectre de sortie en pseudo-accélération doit être mis en question au regard des recommandations NRC vis-à-vis de son contenu corrélé aux pseudo-déplacements correspondants. / In the design of nuclear engineering structures security and safety present a crucial aspect. Civil engineering design and the qualification of materials to dynamic loads must consider the accelerations which they undergo. These accelerations could integrate seismic activity and shaking movements consecutive to aircraft impact with higher cut-off frequency. Current methodologies for assessing this shock are based on transient analyses using classical finite element method associated with explicit numerical schemes or projection on modal basis, often linear. In both cases, to represent in meaningful way a medium -frequency content, it should implement a mesh refinement which is hardly compatible with the size of models of the civil engineering structures. In order to extend industrial methodologies used and to allow a better representation of the behavior of the structure in medium-frequency, an approach coupling a temporal and non-linear analysis for shock area with a frequency approach to treatment of shaking with VTCR (Variational Theory of Complex Rays) has been used. The aim is to use the computational efficiency of the implemented strategy, including medium frequency to describe the nuclear structures to aircraft impact.

Récemment, les industries aérospatiale et automobile sont de plus en plus intéressées par les tests virtuels, car ils accélèrent le processus de conception et ils réduisent les coûts. C’est particulièrement vrai dans le cas des industries spatiales où les maquettes sont très coûteuses car les fusées sont uniques ou produites en nombre limité. Ariane 5 (et 6 dans l'avenir) est un lanceur qui est fabriqué par CNES et Airbus DS. Pendant le lancement, la coiffe est détachée par des charges pyrotechniques quand la fusée est à une hauteur suffisante (généralement au-dessus de 100 km). Les vibrations générées par les explosions se propagent dans les coques de la fusée jusqu'à la charge utile qui peut être endommagé. Le test au sol età pleine échelle HSS3+ a été effectué par CNES et Airbus DS pour enquêter sur cette éventualité. Cette thèse développe un logiciel capable de simuler le test HSS3+ pour caractériser les efforts produits par les charges pyrotechniques et pour réduire dans l'avenir le nombre de tests réels nécessaires. La tâche est difficile car la bande de fréquence considérée est très large (jusqu'à moyenne fréquence), les efforts des explosions sont inconnus, la géométrie est complexe et la maquette est composé des coques composites et sandwich. Le logiciel appelé Transient Analysis for PYROtechnic Shocks in Shells (TAPYROSS) est basée sur la Théorie variationnelle des Rayons Complexes (TVRC) qui est une méthode de Trefftz spécifiquement développé pour analyser la moyenne fréquence. De nombreuses améliorations de la théorie et des performances ont été introduits pour étudier ce cas réel de complexité industriel. Le dernier chapitre est dédié aux comparaisons entre les données réelles et les simulations pour valider TAPYROSS et caractériser les efforts des explosions. / Recently, aerospace and automotive industries are increasingly interested in virtual testing since it speeds-up the design process and reduces costs. This is particularly true in case of space industries where specimens are very costly because rockets are unique or produced in limited number. Ariane 5 (and 6 in the future) is a heavy lift launch rocket manufactured by CNES and Airbus DS. During launch the protective fairing is severed from the rocket by pyrotechnic charges once sufficient altitude is reached (typically above 100 km). Shock vibrations propagate throughout rocket shell structure to the payload which can be damaged. The HSS3+ ground full-scale test was developed by CNES and Airbus DS to investigate such eventuality. This thesis develops a software capable of simulating the HSS3+ test to characterize explosion loads and to reduce the number of future required real tests. The task is difficult since the interesting frequency band is wide (up to mid-frequency), the explosion loads are unknown, the geometry is complex, and the specimen is composed of sandwich composite shells. The software called Transient Analysis for PYROtechnic Shocks in Shells (TAPYROSS) is based on the Variational Theory of Complex Rays (VTCR) which is a Trefftz method specifically developed to analyze the mid-frequency band. Many theory and performance improvements are introduced to address this real industrial test case. At the end, comparisons between real data and simulations validate TAPYROSS and characterize explosion loads.

Dans les problèmes de calcul de structures, la simulation du comportement en vibrations moyennes fréquences soulève plusieurs difficultés. Parmi elles, on peut citer des problèmes liés l'hypersensibilité de la réponse de la structure, des difficultés tenant à la modélisation de la géométrie, de l'amortissement et des liaisons, et des difficultés sur le plan numérique, les méthodes éléments finis classiques devenant trop coûteuses lorsque la fréquence augmente. Ce travail de thèse se concentre sur le problème de la modélisation des liaisons et de l'identification des paramètres des modèles. La méthode proposée envisage de s'appuyer sur des travaux déjà développés au LMT. Nous adoptons une méthode de recalage initialement basée sur les travaux sur l'erreur en relation de comportement, qui a montré sa robustesse pour la correction de modèles éléments finis, et qui ici est utilisée pour le recalage des modèles de liaison. Sur le plan numérique, la théorie variationnelle des rayons complexes (TVRC), dédiée au calcul des vibrations en moyennes fréquences, sera l'approche privilégiée. Pour pouvoir utiliser conjointement ces deux approches, la contribution majeure de ce travail propose « une version sous structurée » de la TURC qui considère l'interface comme une sous structure à part entière, possédant ses propres inconnues et équations. La validation de cette variante, ainsi que la robustesse de la méthode de recalage sont étudiées en s'appuyant sur des essais simulés numériquement.